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3.2.1 用数学归纳法证明不等式 教学案 2

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3.2.1 用数学归纳法证明不等式 教学案 2 教学目标: 1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明的过程. 2、通过事例,学生掌握运用数学归纳法,证明不等式的思想方法. 3、培养学生的逻辑思维能力,运算能力和分析问题,解决问题的能力. 重点、难点: 1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解,并能正确表达解题过程,以及掌握用数学 归纳法证明不等式的基本思路. 2、

应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧. 教学过程: 一、复习导入: 1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤,请同学们回顾,说出数学 归纳法的步骤? (1)数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法. (2)步骤:1)归纳奠基; 2)归纳递推. 2、作业讲评: (出示小黑板) 习题:用数学归纳法证明:2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 如采用下面的证法,对吗? 证明:①当 n=1 时,左边=2=右边,则等式成立. ②假设 n=k 时, (k∈N,k≥1)等式成立, 即 2+4+6+8+……+2k=k(k+1) 当 n=k+1 时, 2+4+6+8+……+2k+2(k+1) ∴ n=k+1 时,等式成立. 由①②可知,对于任意自然数 n,原等式都成立. (1)学生思考讨论. (2)师生总结:1)不正确 2)因为在证明 n=k+1 时,未用到归纳假设,直接用等差数列求和公式,违背了数学归 纳法本质:递推性. 二、新知探究 明确了数学归纳法本质,我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式. (出示小黑板) 例 1 观察下面两个数列,从第几项起 an 始终小于 bn?证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… (1)学生观察思考 (2)师生分析 (3)解:从第 5 项起,an < bn ,即 n? <2n,n∈N+(n≥5) 证明: (1)当 n=5 时,有 52<25,命题成立. (2)假设当 n=k(k≥5)时命题成立 即 k2<2k 当 n=k+1 时,因为 (k+1)2=k2+2k+1<k2+2k+k=k2+3k<k2+k2=2k2<2× 2k=2k+1 所以, (k+1)2<2k+1 即 n=k+1 时,命题成立. 由(1) (2)可知 n? <2n(n∈N+,n≥5) 学生思考、小组讨论:①放缩技巧:k2+2k+1<k2+2k+k;k2+3k<k2+k2 ②归纳假设:2k2<2× 2k 例 2 证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+) 分析:这是一个涉及正整数 n 的三角函数问题,又与绝对值有关,在证明递推关系时, 应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式. 证明: (1)当 n=1 时,上式左边=│Sinθ│=右边,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立, 即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│ 当 n=k+1 时, │Sin (k+1)θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =(k+1)│Sinθ│ 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1) (2)可知,不等式对一切正整数 n 均成立. 学生思考、小组讨论:①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│ ②三角函数的

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