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数学竞赛教案讲义(4)——几个初等函数的性质


第四章

几个初等函数的性质

一、基础知识 1. 指数函数及其性质: 形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数, 其定义域为 R, 值域为 (0, +∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1) 。
1 m n
<

br />2 分数指数幂: a n ?

a , a n ? n a m , a ?n ?

1 ?n ,a ? an

m

1
n

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

am

3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;

M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N log c b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ? 1). log c a n a 5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 ? ?,? a 和 a ,?? ,单调递减区间为 ? a ,0 x 和 0, a 。 (请读者自己用定义证明)
3)loga(

?

?

?

? ?

?

?

?

6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

例 2 (柯西不等式) a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,?,bn∈R, ( 若 b 则 ≥(

· ( ? ai2 ) ? bi2 )
i ?1 i ?1

n

n

?a b
i ?1 i

n

i

)2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。

例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x ?

? ?

1 ?? 1? ?? y ? ? 的最小值。 ? x ?? y? ?

2.指数和对数的运算技巧。 例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

q 的值。 p

例 5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 证:a+b=c.

1 1 1 1 ? ? ? ,求 x y z w

例 6 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab.

例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

例 8 解方程组: ?

? x x ? y ? y 12 ? (其中 x, y∈R+). x? y 3 ?y ?x ?

例 9 已知 a>0, a ? 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0”的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1) ,B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它 的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。

1? a2 <0,则 a 取值范围是_________。 1? a a ? ? 5.命题 p: 函数 y=log2 ? x ? ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1) x ? ?
4.若 log2a 的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。 6.若 0<b<1, a>0 且 a ? 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。 8.若 x=

1 1 log 1 3 2

?

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数 y ? log 1 ? 10.函数 f(x)=

1 ? ? 1 ? ? 的单调递增区间是_________。 1? x 1? x ? 2?

x ?1 ? ?3 ?? ? x ? ? ,2? ? 的值域为_________。 ? ? x ? 2x ? 5 ? ?2 ??
2

11. f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x· 其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(-∞,1] 设 a], 时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x ? a)

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是_________. x

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是_________. 3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln

? ?

1? 2?

1? x ,则使 f(a)+f(b)= 1? x
? ?

? a?b ? f? ? _________. ? 1 ? ab ?

5. 命题 p: 函数 y=log2 ? x ?

a ? ? 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1) x ?

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ? 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

8.若 x=

1 1 log 1 3 2

?

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y= log 1 ? 10.函数 f(x)=

1 ? ? 1 ? ? 的单调递增区间是_________. 1? x 1? x ? 2?
2

x ?1 ? ?3 ?? ? x ? ? ,2? ? 的值域为_________. ? ? x ? 2x ? 5 ? ?2 ??

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n≥2,a∈R。若 f(x) 在 x∈(∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x ? a)

8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是__________. x

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是 ________. 3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________.

? ?

1? 2?

1? x ? a?b ? ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? 成立的 a, b 的取值范围是________. 1? x ? 1 ? ab ? 1023 1 q ? ,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q 的值为 5.已知 an=logn(n+1),设 ? p n ? 2 log a n 100
4.若 f(x)=ln _________. 6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________. 8.函数 f(x)= ?

?| lg | x ? 1 || ?0

x ?1 x ?1

的定义域为 R,若关于 x 的方程 f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不

同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0; (2)b>0 且 c<0; (3)b<0 且 c=0; (4)b≥0 且 c=0。

1? ? 1 ? ? x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ? 0),则 F(x)是________函数(填奇偶性). x ? 2 ?1 2 ? ?1? x ? ? a?b ? ? a?b ? 10.已知 f(x)=lg ? ? ,若 f ? ? =1, f ? ? =2,其中|a|<1, |b|<1,则 ?1? x ? ? 1 ? ab ? ? 1 ? ab ?
9.已知 f(x)= ? f(a)+f(b)=________. 11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f ? (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0; (2)3<b<4. 13.设 a>0 且 a ? 1, f(x)=loga(x+ x ? 1 )(x≥1), (1)求 f(x)的反函数 f-1(x); (2)若
2

?a?b? ? ,求证: ? 2 ?

f-1(n)<

3n ? 3?n (n∈N+),求 a 的取值范围。 2

五、联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到大排列
2 3 5

为___________. 2. 设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0, 都有 log x 1993+ log x 1993+ log x 1993> klog x 1993 恒成
0 10 2 0

x1

x2

x3

x3

立,则 k 的最大值为___________. 3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则

1 S max

?

1 S min

的值为___________.

4.已知 0<b<1, 00<α <450,则以下三个数:x=(sinα )logbsina, y=(cosα ) logbsina, z=(sinα ) logbsina 从 小到大排列为___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为___________. 7. f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数, x∈[0,1]时, 若 当 f(x)= x 由小到大排列为___________. 8.不等式 log 2 x ? 1 ?
1 1998 , 则

? 98 ? ? 101 ? ? 104 ? f ? ? ,f ? ?, f ? ? ? 19 ? ? 17 ? ? 15 ?

1 log 1 x 2 +2>0 的解集为___________. 2 2

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

lg(6 ? x) ? lg( x ? 2) ? log 1 ( x ? 2)
10. (1)试画出由方程 (2)若函数 y=ax+
10

lg 2 y

?

1 所确定的函数 y=f(x)图象。 2

1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 2 11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ n ]+[ 3 n ]+?+[ n n ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题 1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z ? ? 的最小值。 1? x2 1? y2 1? z2
2

2.当 a 为何值时,不等式 log 1 ( x ? ax ? 5 ? 1) ·log5(x2+ax+6)+loga3≥0 有且只有一个解 (a>1 且 a ? 1) 。 3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及
1 1

n

u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] 4 u [f(y)] 4 v ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x). 4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:

?n ? m ? 14 ? f(n)= ? ? f ( f ( n ? m ? 13)) ?

n ? m2 n ? m2

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合) ,使对 x 轴上的某个长为

p 1 1 ? 2. 的开区间中的每一个数 x, 有 f ( x) ? q q q

9.设α ,β 为实数,求所有 f: R+→R,使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f ? ? ? x f ? 立。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? x? ?2?

?

?f? ?成 ?2?


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