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2014年高三数学10月份百题精练(1)


2014 年 10 月份百题精练(1) 数学试题
(一) (理) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求.
2 1. 已知全集 M ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z ,集合 N ? ?0, a? , 若 M ? N ? ? ,则 a 等于(

?

/>
?



A. ?1

B. 2

C. ?1 或 2 )

D. ?1 或 ?2

2. 已知 a 是实数, A. ?1

a?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
B. 1 C.

2

D. ? 2

3.有关命题的说法中正确的是( ) A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为 “若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”;
2 2

B.命题“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的 ? p 形式是“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”;
2 2

C.若“ ? p ? ? q ”为真命题,则 p 、 q 至少有一个为真命题;
2 2 D.对于命题 p : 存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : 对任意 x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 。

2 2 n 4 .函数 f ? x ? ? x ? n ? 1, 2,3, , ?1? 具有如下性质: f ?1? ? f ? ?1? ? 2 ? ? f ?1? ? f ? ?1? ? 1? ? ,则函数

? ?

1 2

? ?

f ? x? (

) D.既不是奇函数,又不是偶函数

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数

5 . 已 知 ?ABC 的 三 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 长 分 别 为 是 a 、 b 、 c , 设 向 量 m ? ? a ? b, sinC? ,

n?
A.

?

3a ? c,sin B ? sin A ,若 m ? n ,则角 B 的大小为(
B.

?



2? ? ? C. D. 3 6 3 6.若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于( 5? 6
A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内 )

)

7. 已知函数 y ? sin ax ? b ? a ? 0? 的图象如图所示,则函数 y ? log a ? x ? b ? 的图像可能是(

y 2 1 ?1 y 2 1 ?1
C
O
O

y 2 1

1
A

2 3

x

?1 y 2 1
B

O

1

2

3

x

1

2

3

x

?1
D

O

1

2

3

x

8.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是钝角三角形的两 个锐角,则下列不等式中正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) 9.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 则下列结论正确的( 2 3 4 2013
B. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个零点



A. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有一个零点 C. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有一个零点

D. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有两个零点

10.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x. 若存在 a ? ?? 3, 3? ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个不相等的实 数根,则实数 t 的取值范围是( A. ? , ? ) B. ?1,

?9 5? ?8 4?

? 25 ? ? ? 24 ?

C. ?1, ?

? 9? ? 8?

D. ?1, ?

? 5? ? 4?

(二) (文) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求.
2 1. 已知全集 M ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z ,集合 N ? ?0, a? , 若 M ? N ? ? ,则 a 等于(

?

?



A. ?1

B. 2

C. ?1 或 2 )

D. ?1 或 ?2

2. 已知 a 是实数, A. ?1

a?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
B. 1 C.

2

D. ? 2 )

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式为( A.

an ? 2n ? 3
?1, n ? 1 ?2n ? 3, n ? 2


B. an ? 2n ? 3 D. an ? ?

C. an ? ?

?1, n ? 1 ?2n ? 3, n ? 2

4.有关命题的说法中正确的是(
2

A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”;
2

B.命题“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的 ? p 形式是“若 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”;
2 2

C.若 ? p ? ? q 为真命题,则 p 、 q 至少有一个为真命题;
2 2 D.对于命题 p : 存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : 对任意 x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 。

5. 如图,一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩 形和正三角形,则这个三棱柱的俯视图为( )

3
2 正视图 侧视图

3
2 A 6.若对正数 x ,不等式 2 B
2

3
2 C

2
2 D

2

1 a ? 都成立,则 a 的最小值为( x ?1 x
C.



A. 1

B. 2

2 2

D.

1 2

7 . 已 知 ?ABC 的 三 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 长 分 别 为 是 a 、 b 、 c , 设 向 量 m ? ? a ? b, sinC? ,

n?
A.

?

3a ? c,sin B ? sin A ,若 m ? n ,则角 B 的大小为(
B.

?

) D.

? 3 8. 已知各项均为正数的的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a3 ? 9 , 则 ?an ? 的公比 q 等于 ( S3 ? 13 ,
5? 6
C.

? 6

2? 3



A. ?

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是钝角三角形的两 个锐角,则下列不等式中正确的是( A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (cos ? ) ? f (cos ? ) ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? ) .

4 3

B. 3

C. 3 或 ?

4 3

D.

1 3

10.点 P 是函数 y ? x2 ? 2ln x 的图象上任意一点,则点 P 到直线 y ? 3x ? 1 的最小距离是

A.

10 10

B.

? 2 ? 2ln 2 ?
10

10

C.

? 2 ? ln 2 ?
10

10

D.

ln 2 10 10

参考答案 (一) 1.答案:D 解析:由题意知 M ? ??2, ?1 ? ,欲使 M ? N ? ? ,则 a ? ?1 或 ?2 。

2.答案:B 解析:

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? i ? ? 是纯虚数,所以 a ? 1 。 1? i 2 2

2 3.答案:D 解析:对于 A:逆否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”,对于 B:非 p 形式不是将条件和

结论都同时进行否定;对于 C: ? p ? ? q 为真命题,其否定形式“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 至少有一 个为假命题;对于 D 是正确的。 4.答案:B 解析:由题意可知 n ? 2 ,故 f ? x ? ? x 是一个偶函数。
2

5.答案:A 解析:因为 m ? n ,所以 ? a ? b ?? sin B ? sin A? ? 为 ? a ? b ?? b ? a ? ?

?

3a ? c sin C ,根据正弦定理,上式可化

?

?

5? c 2 ? a 2 ? b2 3 3a ? c c ,所以 ?? ? cos B ,所以 B ? . 6 2ac 2

?

6.答案:A 解析: f ? a ? ? ? a ? b ?? a ? c ? ? 0 , f ? b ? ? ? b ? c ?? b ? a ? ? 0 , f ? c ? ? ? c ? b ?? c ? a ? ? 0 ,这是 一个二次函数。 7.答案:C 解析:由图可知周期扩大,所以 0 ? a ? 1 ,而且 0 ? b ? 1 ,所以 y ? log a ? x ? b ? 为减函数,而 且定义域为 ? ?b, ?? ? 。

8.答案:D 解析:由题意可知,函数 f ( x ) 周期为 2,所以函数在 [?1,0] 上为减函数,又因为是偶函数, 所以在 ? 0,1? 内为增函数,而 ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ?

?
2

?? ?

?

?? ? ,所以 0 ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? 1 。 2 ?2 ?

9.答案:C 解析:可以求得 f ' ? x ? ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? ... ? x2012 ,令 f ' ? x ? ? 0 得

1 ? x2 ? ... ? x2012 ? x ? x3 ? ... ? x 2011 ,分析可以知道左边是一个偶函数,右边是一个奇函数,且左边比右边
多一项,即 x ? 0 时总有 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数,且 f ? 0? ? 1 ? 0 ,排除选项 A 和 B,当 x ? 0 时,依然 有 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数, f ? ?1? ? ? ? ?

1 1 1 1 1 ? ... ? ? ?0。 2 3 4 2012 2013

10 . 答 案 : B 解 析 : 方 程 f ( x) ? tf (a) 等 价 于 x x ? a ? 2ta ? 2x , 故 本 题 等 价 于 函 数
2 ? ? x ? ax g ? x? ? x x ? a ? ? 2 ? ?? x ? ax

? x ? a? 和函数 h ? x ? ? ?2 x ? 2at 有三个交点, 分 a ??0,3? 和 a ?? ?3,0? 两种情 ? x ? a?

形画出 g ? x ? 的图像, h ? x ? 是一组斜率为 ?2 的直线,欲使两函数有三个交点,则必位于切线和过点 ? a,0 ? 的直线之间的所有直线。经计算可得。 (二) 1.答案:D 解析:由题意知 M ? ??2, ?1 ? ,欲使 M ? N ? ? ,则 a ? ?1 或 ?2 。

2.答案:B 解析:

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? i ? ? 是纯虚数,所以 a ? 1 。 1? i 2 2

3.答案:C 解析: ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 3 。
2 4.答案:D 解析:对于 A:逆否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”,对于 B:非 p 形式不是将条件和

结论都同时进行否定;对于 C: ( ? p )或( ? q )为真命题,其否定形式“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 至少有一个为假命题;对于 D 是正确的。 5.答案:D 解析:由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的一个正三棱柱,底面三角形的高为 3 , 底面边长为 2 。 6.答案:D 解析:因为 x ? 0 ,所以

1 a x ? 可以化为 2 ? a ,由基本不等式的性质得: x ?1 x x ?1 1 x 1 1 ? ? ,即 a 的最小值为 。 2 2 x ?1 x ? 1 2 x
2

7.答案:A 解析:因为 m ? n ,所以 ? a ? b ?? sin B ? sin A? ?

?

3a ? c sin C ,根据正弦定理,上式可化

?

为 ? a ? b ?? b ? a ? ?

?

3a ? c c ,所以

?

5? c 2 ? a 2 ? b2 3 . ?? ? cos B ,所以 B ? 6 2ac 2

2 ? ?a3 ? 9 ?a1q ? 9 8.答案:B 解析:由题意可知 ? ,即 ? ,消去 a1 的 4q 2 ? 9q ? 9 ? 0 ,解得 q ? 3 2 S ? 13 a 1 ? q ? q ? 13 ? ? 3 ? ? 1?

3 3 ,又数列各项均为正数,所以 q ? ? 应舍去。 4 4 9.答案:D 解析:由题意可知,函数 f ( x ) 周期为 2,所以函数在 [?1,0] 上为减函数,又因为是偶函数,
或者 q ? ? 所以在 ? 0,1? 内为增函数,而 ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ?

?
2

?? ?

?

?? ? ,所以 0 ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? 1 。 2 2 ? ?

2 ' 10. 答案: B 解析: 由几何特征知, 点 P 是切点时, 距离最小, 设 P x0 , x0 ? 2 ln x0 , 由 y ? 2 x0 ?

?

?

2 ? 3, x0
所 以





x0 ? 2



x0 ? ?

1 2





) ,









? 2,4 ? 2ln 2?



d?

6 ? ?4 10

2 ? l 3? n 2ln 22
=

10

?

3 ? 2ln 2 ? ?1 10

10




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