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一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.4 基本不等式课时规范训练


【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证 明 6.4 基本不等式课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015·宁波模拟)下列函数中,最小值为 4 的个数为( 4 ①y=x+ )

x
-x

4 ②y=sin x+ (0<x<π ) sin x ④y=log3x+4logx3

B.3 D.1

③y=e +4e A.4 C.2

x

解析:①中,由于 x 的符号不确定,故不满足条件;②中,0<sin x≤1,而应用不等 式时等号成立的条件为 sin x=2,故不满足条件;③正确;④中 log3x,logx3 的符合不确 定,故不满足条件,综上只有③满足条件. 答案:D 2.(2015·高考福建卷)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于 ( ) A.2 C.4 B.3 D.5

x y a b

x y 1 1 解析:将(1,1)代入直线 + =1 得 + =1,a>0,b>0, a b a b b a ?1 1? 故 a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2=4,等号当且仅当 a=b 时取到,故选 C.

?a b?

a b

答案:C 3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 C. 9 2 B.4 D. 11 2 )

8-x 解析:法一:因为 x+2y+2xy=8,所以 y= , 2x+2 8-x -?x+1?+9 9 所以 x+2y=x+ =x+ =(x+1)+ -2≥2 9-2=4 x+1 x+1 x+1

?当且仅当x+1= 9 ,即x=2时等号成立,此时y=1?, ? ? x+1 ? ?
故选 B. 法二:因为 x+2y≥2 2xy,

1

所以 2xy≤?

?x+2y?2, ? ? 2 ?
?x+2y? , 4
2 2

所以 x+2y+2xy≤x+2y+

设 x+2y=A,则 A+ ≥8.即 A +4A-32≥0, 4 解此不等式得 A≤-8(舍去)或 A≥4, 即 x+2y≥4,故选 B. 答案:B 1 1 + x 4.(2016·日照模拟)已知 a,b∈R ,函数 y=2ae +b 的图像过点(0,1),则 + 的最

A2

a b

小值是__________. 1 1 2a+b 2a+b b 2a 解析:因为函数过点(0,1),所以 2a+b=1,所以 + = + =3+ + ≥3

a b

a

b

a

b

b 2a +2 2,当且仅当 = 时取等号,故填 3+2 2. a b
答案:3+2 2 1 1 x y 5.(2016·杭州模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =4 且 a+b=2 2,则 + 的

x y

最大值为________. 1 1 1 1 x y 解析:由 a =b =4 得 x=loga4,y=logb4,故 + = + =log4a+log4b= x y loga4 logb4 log4ab. 又∵a>1,b>1,a+b=2 2, 故 log4ab≤log4?

?a+b?2=log 2=1, ? 4 2 ? 2 ?

1 1 1 ∴ + ≤ ,等号当且仅当 a=b= 2, x y 2 1 1 1 即 x=y=4 时等号成立.∴ + 的最大值为 . x y 2 1 答案: 2 6.已知函数 f(x)=log2[k(x+4)+2]+1 恒过定点 P,且点 P 在直线 - =2(a,b 属 于正实数)上,则 3a+2b 的最小值为________. 解析:由函数 f(x)=log2[k(x+4)+2]+1 可知, 当 x=-4 时,f(x)=2,即 P 点坐标为(-4,2),

y x b a

2

又 P 在直线 - =2(a,b∈R )上, 2 4 2 1 故 + =2,即 + =1,

y x b a



b a

a b

3a 4b ?2 1? ∴3a+2b=(3a+2b)? + ?=8+ + ≥8+2 12=8+4 3,

?a b?

b

a

2 3 2 2 当且仅当 3a =4b ,即 a=2+ ,b= 3+1 时等号成立. 3 ∴3a+2b 的最小值为 8+4 3. 答案:8+4 3 7.(1)当点(x,y)在直线 x+3y-4=0 上移动时,求表达式 3 +27 +2 的最小值; (2)已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0,求 xy 的最小值. 解:(1)由 x+3y-4=0 得 x+3y=4, ∴3 +27 +2=3 +3 +2 ≥2· 3 ·3 +2=2· 3 =2· 3 +2=20, 2 x 3y 当且仅当 3 =3 且 x+3y-4=0,即 x=2,y= 时取“=”. 3 (2)由 x+y-3xy+5=0 得 x+y+5=3xy. ∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. ∴3xy-2 xy-5≥0,∴( xy+1)(3 xy-5)≥0, 5 25 ∴ xy≥ ,即 xy≥ ,等号成立的条件是 x=y. 3 9 5 25 此时 x=y= ,故 xy 的最小值是 . 3 9 8.若 x,y∈R,且满足(x +y +2)(x +y -1)-18≤0. (1)求 x +y 的取值范围; (2)求证:xy≤2. 解:(1)由(x +y ) +(x +y )-20≤0, 得(x +y +5)(x +y -4)≤0, 因为 x +y +5>0,所以有 0≤x +y ≤4,即 x +y 的取值范围为[0,4]. (2)证明:由(1)知 x +y ≤4,由基本不等式得 xy≤
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

x

y

x

y

x

3y

x

3y

x+3y

+2

x2+y2 4
2

≤ =2,所以 xy≤2. 2

[B 级 能力突破] 1 1 1. (2016·福建漳州联考)若正实数 x, y 满足 x+y+ + =5, 则 x+y 的最大值是(

x y

)

3

A.3 C.5

B.4 D.6

1 1 x+y x+y 4 解析:∵x,y 为正实数,∴x+y+ + =x+y+ ≥x+y+ =x+y+ , x y xy x+y ?x+y?2 ? 2 ? ? ? 1 1 又 x+y+ + =5,

x y

∴x+y+

4

x+y

≤5,解得 1≤x+y≤4.

∴x+y 的最大值是 4. 答案:B 1 1 x y 2.(2015·陕西西安二模)已知 x>0,y>0,lg 2 +lg 8 =lg 2,则 + 的最小值是 x 3y ( ) A.2 C.4 解析:由 lg 2 +lg 8 =lg 2 得 lg 2
x y

B.2 2 D.2 3
x+3y

=lg 2,

x 3y 1 1 ?1 1 ? x 3y ? ? ∴x+3y=1, + =? + ?(x+3y)=2+ + ≥4?当且仅当 = 时,等号成立?. 3y x x 3y ?x 3y? 3y x ? ?
故选 C. 答案:C 3.设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相切,则 m +n 的取值范围是( )
2 2

A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解析:因为直线与圆相切,所以 d=r, 即 |m+1+n+1-2| ?m+1? +?n+1?
2 2

=1? mn=m+n+1,
2

?m+n?2,∴m+n+1≤?m+n? , ∵mn≤? ? 4 ? 2 ?
令 m+n=t,则 t -4t-4≥0? t∈(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞),故选 D. 答案:D 1 a 4. (2016·洛阳高三统考)设正实数 a, b 满足 a+b=2, 则 + 的最小值为__________. a 8b
4
2

1 a a+b a 1 b a 1 解析:依题意得 + = + = + + ≥ +2 a 8b 2a 8b 2 2a 8b 2

b
2a

×

a
8b

=1,当且仅当

b a ? ? = , ?2a 8b ? ?a+b=2,
答案:1

4 1 a 即 a=2b= 时取等号,因此 + 的最小值是 1. 3 a 8b

5. (2015·高考重庆卷)设 a, b>0, a+b=5, 则
2

a+1+ b+3的最大值为__________.

解 析 : 令 t = a+1 + b+3 , 则 t = a + 1 + b + 3 + 2 ?a+1??b+3? = 9 + 2 ?a+1??b+3?≤9+a+1+b+3=13+a+b=13+5=18, 7 3 当且仅当 a+1=b+3 时取等号,此时 a= ,b= . 2 2 ∴tmax= 18=3 2. 答案:3 2 2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图像交于 P、Q

x

两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 2 解析:由题意可知 f(x)= 的图像关于原点对称,而与过原点的直线相交,则两交点必

x

2? ? 2? ? 关于原点对称,故可设两交点分别为 P?x, ?与 Q?-x,- ?,

?

x?

?

x?

由两点间距离公式可得 |PQ|= 时取得. 答案:4 7.某工厂去年某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元, 今年工厂第一次投入 100 万元(科技成本), 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科 技成本),预计产量年递增 10 万只.第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g(n)=

?2 2?2 2 ?x+x? +? + ? = ?x x?

?4?2 2 2 ?2x? +? ? ≥4 等号当且仅当 x =2,即 x=± 2 ? x?

k (k n+1

>0,k 为常数,n∈Z 且 n≥0),若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万 元. (1)求 k 的值,并求出 f(n)的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? (利润=销售额-固定成本 -科技成本) 解:(1)g(n)=

k , n+1
5

当 n=0 时,g(0)=

=8,解得 k=8. 0+1

k

∴f(n)=(100+10n)?10- (2)f(n)=(100+10n)?10- 80?n+10? =1 000- n+1

? ?

8 8

n+1?

? ?-100n. ? ?-100n

? ?

n+1?

? =1 000-80? n+1+ ?

9

n+1?

? ?

≤1 000-80×2 9=520. 当且仅当 n+1= 即 n=8 时取等号. ∴从今年算起第 8 年工厂的利润最高,最高利润为 520 万元. 9

n+1



6


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