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上海市虹口区2013届高三一模数学试题


虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学 学科 期终教学质量监控测试卷(一模)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B ? 2、已知向量 a ? (1, 2013.1

?

/>
?

?

?



? 2) , b ? (1, 1) , m ? a ? b , n ? a ? ? b ,如果 m ? n ,则实数

??

. .

3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是 4、双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的 两条渐近线的夹角大小等于 3
cos 2? ? 1 ? sin 2?




5、已知 sin ? ? 3 cos ? ,则

6、 在下面 的程序框图中, 输出的 y 是 x 的函数, 记为 y ? f (x) , f 则
否 是

?1

1 ( )? 2



开始

输入实数

输出

结束

1? i
7、关于 z 的方程 ? i

1? i

0 1 2 0

z
,则方程的解 z ? i ? 2 ? i 2013 (其中 i 是虚数单位) .

z
x ? a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2
n??

8、 若对于任意 x ? 0 , 不等式

. .

9、在等比数列 ?an ? 中,已知 a1a2 ? 32 ,a3a4 ? 2 ,则 lim ( a1 ? a2 ? ? ? an ) ?

10 、 在 ?A B C中 , AB ? 2 3 , AC ? 2 且 ?B ? 30? , 则 ?A B C的 面 积 等 于 . . .

11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值等于
2 12、 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,S2m ?1 ? 38 , m ? 若 则

13 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 最 小 正 周 期 为 2? 的 偶 函 数 , 当 x ?[0, ? ] 时 ,

0 ? f ( x) ? 1,且在 [0,

?

] 上单调递减,在 [ , ? ] 上单调递增, 则函数 y ? f ( x) ? sin x 2 2


?

在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为

14、 设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 2 上, Q 在曲线 y ? 点
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

则 x ? 2 上, PQ 的最小值等于



15、 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 的一根, 若 则该方程两根的模的和为 (
2



A.

5

B. 2 5

C. 5

D. 10


16、已知 l1 、 l 2 、 l3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(

A. 如果 l1 ? l2 , l2 // l3 .则 l1 ? l3 . C. 如果 l1 ? l2 , l2 ? l3 .则 l1 ? l3 .
面.

B. 如果 l1 // l2 , l2 // l3 .则 l1 、 l2 、 l3 共面. D. 如果 l1 、 l2 、 l3 共点.则 l1 、 l2 、 l3 共

17、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax2 ? b x ? c ( a ? 0) 有四个单调区间,则实数 a, b, c 满足
( )

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
18 、 数 列

B. b 2 ? 4ac ? 0
?n, 当n ? 2k ? 1 an ? ? ?ak , 当n ? 2k

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

{an } 满 足

, 其 中

k ?N?





) f (n) ? a1 ? a2 ? ?? a2n ?1 ? a2n ,则 f (2013 ? f (2012) 等于(
A. 22012 B. 22013 C. 4 2012

).

D. 42013

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的
P

角的大小等于 arccos

10 . 5
A

D

C

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积;
B

(2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.

20、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x .

(1)求函数 f (x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?

?
2

,求 f (x) 的取值范 围.

21、 (本题满分 14 分)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l1 : 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个

y

动点,点 M 关于原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于 x 轴的对 称 点 为 M 2 , 如 果 直 线 PM1 、 PM 2 与 y 轴 分 别 交 于

M P x O

(0, m) 和 (0, n) ,问 m? n 是否为定值?若是求出该定
值;若不是,请说明理由.

22、 (本题满分 16 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
0 1 2 n (2)求和 S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn ? ? ? Sn ?1 ? Cn ;

(3)设有 m 项的数列 ?bn ?是连续的正整数数列,并且满足:

lg 2 ? lg(1 ?

1 1 1 ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) ? lg(log2 am ) . b1 b2 bm

问数列 ?bn ?最多有几项?并求这些项的和.

23、 (本题满分 18 分)如果函数 y ? f (x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实 数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P (a ) 性质” .

(1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P (a ) 性质” ,若具有“ P (a ) 性质”求出所有 a 的值; 若不具有“ P (a ) 性质” ,请说明理由. (2) 已知 y ? f (x) 具有 P (0) 性质”且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m)2 , y ? f (x) 在 [0, 1] “ , 求 上的最大值. (3)设函数 y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g( x) ? x .若 y ? g (x) 2 2


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