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1、1、1算法的概念学案(已修改)

时间:2015-11-18


教学,重要的不是教师的“教” ,而是学生的“学” heda2007@163.com

1、1、1 算法的概念
讲义编写者:数学教师孟凡洲

一、 【学习目标】 1、正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点; 2、 会写出解二元一次方程组、 判断一个数为质数和二分法求近似解的算法; 3、把自然语言转化为算法语言. 二、 【自学内容和要

求及自学过程】 1、阅读教材第 2 页内容,回答问题(解二元一次方程组的步骤) <1>我们知道解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法, 请 你结合教材的例子 {2 x? y?1?2? 总结用加减消元法和代入消元法解二元一次 方程组的步骤. <2>请同学们总结解一般二元一次方程组 { a2 x ?b2 y ?c2 ? 2 ? 的步骤. 结论: <1> ①加减消元法解二元一次方程组:回顾二元一次方程组
a1 x ? b1 y ? c1 ?1?

x?2 y ??1?1?

{

x?2 y ??1?1? 2 x? y ?1?2? 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤:第一步,<1>+<2>×2,

得 5x=1<3>.第二步,解<3>,得:x=1/5,第三步,<2>-<1>×2 得 5y=3<4>. 第四步,解<4>,得 y=3/5.第五步: 得到方程组的解为 { y ?3 / 5 <2>代入消元法 解二元一次方程组 {2 x? y?1?2? 我们可以归纳出以下步骤:第一步,由<1>得 x=2y-1<3>.第二步,把<3>代入<2>,得 2(2y-1)+y=1<4>.第三步,解<4> 得 y=3/5<5>.第四步,把<5>代入<3>,得 x=2×3/5-1=1/5.第五步,得到方 程组的解为: { y ?3 / 5 <2> 对于一般的一元二次方程组 { a2 x ?b2 y ?c2 ? 2 ? ,其中
x ?1 / 5
a1 x ? b1 y ? c1 ?1?

x ?1 / 5

x?2 y ??1?1?

a1b2 ? a2 b1 ? 0 ,可以写出类似的求解步骤:第一步, <1>× b2 -2× b1 , 得 (a1b2 ? a2 b1 ) x ? b2 c1 ? b1c2 <3>. 第 二 步 , 解 <3> , 得 x ? (b2 c1 ? b1c2 ) /(a1b2 ? a2 b1 ) . 第 三 步 , <2> × a1 -<1> × a2 , 得 (a1b2 ? a2 b1 ) y ? a1c2 ? a2 c1 <4>. 第 四 步 , 解 <4> , 得 y ? (a1c2 ? a2 c1 ) /(a1b2 ? a2 b1 ) . 第 五 步 , 得 到 方 程 组 的 解 为 ?(b2c1 ?b1c2 ) /(a1b2 ?a2b)1 {x y ?( a1c2 ?a2c1 ) /(a1b2 ?a2b1 )
上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法,我们可以根据这一算 法编制计算机程序,让计算机来解二元一次方程组. 2、根据第一块内容,结合算法的定义,回答问题(算法) <3>根据上述实例,说说你对算法的理解. <4>请同学们总结算法的特征. 结论: <3>广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤, 那么我们可以 说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法, 菜谱是做菜的算法等等.在数 学中, 算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限点的步骤.
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现在算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.<4>①确定 性:算法的每一部都应当做到准确无误、不重复、不遗漏.不重复是指不是 可有可无的,甚至无用的步骤,不遗漏是指缺少哪一步都无法完成任务. ②逻辑性:算法从开始的第一步直到最后一步之间做到环环相扣,分工明 确,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的继续.③有穷性:算法要有 明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题有明确的结果,也 就是说必须在有限步骤内完成任务,不能无限制的持续进行. 思考:我们为什么要学习算法? 结论:在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤 来解决问题, 这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说算法实际上就是 解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的, 它的优点是一种通法, 只 要按部就班的去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的基础. 三、 【综合练习与思考探索】 练习一:教材例 1:<1>设计一个算法,判断 7 是否为质数.<2>设计一 个算法,判断 35 是否为质数. 结论:<1>根据质数的定义,可以这样判断:依次用 2—6 除 7,如果 它们中有一个能整除 7,则 7 不是质数,否则 7 是质数. 根据以上分析,可写出如下的算法: 第一步:用 2 除 7,得到余数 1,因为余数不为 0,所以 2 不能整除 7. 第二步:用 3 除 7,得到余数 1,因为余数不为 0,所以 3 不能整除 7. 第三步:用 4 除 7,得到余数 3,因为余数不为 0,所以 4 不能整除 7. 第四步:用 5 除 7,得到余数 2,因为余数不为 0,所以 5 不能整除 7. 第五步:用 6 除 7,得到余数 1,因为余数不为 0,所以 6 不能整除 7. 因此,7 是质数. <2>类似地,可写出“判断 35 是否为质数”的算法: 第一步:用 2 除 35,得到余数 1,因为余数不为 0,所以 2 不能整除 35. 第二步:用 3 除 35,得到余数 2,因为余数不为 0,所以 3 不能整除 35. 第三步:用 4 除 35,得到余数 3,因为余数不为 0,所以 4 不能整除 35. 第四步:用 5 除 35,得到余数 0,因为余数为 0,所以 5 能整除 35. 因此,35 不是质数. 引申:教材 P4 探究:请写出判断整数 n(n>2)是否为质数的算法.
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对于任意的整数 n(n>2),若用 i 表示 2—(n-1)中的任意整数,则判 断整数 n(n>2)是否为质数的算法包含下面的重复操作. 用 i 除 n,得到余数 r,判断余数 r 是否为 0,若是,则 n 不是质数; 否则,将 i 的值增加 1.再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到 i 的值等于 (n-1) 为止.因此, 判断整数 n(n>2) 是否为质数的算法可以写成: 第一步,给定大于 2 的整数 n. 第二步,令 i=2. 第三步,用 i 除 n,得到余数 r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否 则,将 i 的值增加 1,仍用 i 表示. 第五步,判断“i>(n-1) ”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法; 否则,返回第三步. 练习二:教材例 2:写出用“二分法”求方程 x -2=0(x>0)的近似解的 算法. 结论:算法分析:令 f(x)= x -2=0(x>0),则方程 x -2=0 的解就是函数 f(x)的零点. 二分法的基本思想是:把函数 f(x) 的零点所在的区间 [a,b] (满足 f(a)f(b)<0)一分为二,得到[a,m]和[m,b].根据 f(a)f(m)<0 是否成立, 取出零点所在的区间[a,m]或[m,b], 仍记为[a,b].对所得的区间[a,b], 重 复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]足够小,则[a,b]内的数可以作为 方程的近似解. 根据以上分析,可以写出如下的算法: 第一步,令 f(x)= x -2=0,给出精确度 d. 第二步,确定区间[a,b],满足 f(a)f(b)<0. 第三步,取区间中点 m=(a+b)/2. 第四步,若 f(a)f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则 ,含零点的 区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]. 第五步, 判 断 [a,b] 的长度 是否小于 d 或 f(m)是否等于 0. 若是, 则 m 是方 程的近似解; 否
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2 2 2 2

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则,返回第三步. 当 d=0.005 时,按照以上算法,可以得到表 1—1 和图 1.1—1 于是,开区间 (1.4140625,1.41796875)中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的近似解. 练习三: 写出一个求有限整数列中的最大值的算法. 结论:算法如下. S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”. S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最 大值” ,这时你就假定“最大值”是这个整数. S3 S4 如果序列中还有其他整数,重复 S2. 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是

这个序列中的最大值. 引申:写出对任意 3 个整数 a,b,c 求出最大值的算法. S1 S2 S3 S4 max=a 如果 b>max, 则 max=b. 如果 C>max, 则 max=c. max 就是 a,b,c 中的最大值

练习四:写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法.
可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式 1+2+…+n= 行,也可以根据加法运算律简化运算过程. 算法 1: S1:计算 1+2 得到 3; S2:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6; S3:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10; S4:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15; S5:将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21. 算法 2:
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n( n ? 1) 进 2

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S1:取 n=6; S2:计算

n( n ? 1) ; 2

S3:输出运算结果. 算法 3: S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算 3×7; S3:输出运算结果. 小结:算法 1 是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时, 比如 1+2+3+…+10000,再用这种方法是行不通的;算法 2 与算法 3 都是比 较简单的算法,但比较而言,算法 2 最为简单,且易于在计算机上执行操 作. 引申:求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法. 算法 1; 第一步,先求 1×3,得到结果 3; 第二步,将第一步所得结果 3 再乘以 5,得到结果 15; 第三步,再将 15 乘以 7,得到结果 105; 第四步,再将 105 乘以 9,得到 945; 第五步,再将 945 乘以 11,得到 10395,即是最后结果. 算法 2: 用 P 表示被乘数,i 表示乘数. S1 使 P=1. S2 使 i=3 S3 使 P=P×i S4 使 i=i+2 S5 若 i≤11,则返回到 S3 继续执行;否则算法结束. 小结 由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句.因此, 上述算法 2 不仅是正确的, 而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上 面的算法中,S3,S4,S5 构成一个完整的循环,这里需要说明的是,每经
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过一次循环之后,变量 P、i 的值都发生了变化,并且生循环一次之后都要 在步骤 S5 对 i 的值进行检验, 一旦发现 i 的值大于 11 时, 立即停止循环, 同时输出最后一个 P 的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学 习中介绍. 四、 【作业】 1、必做题:教材第 5 页练习 1、2; 2、选做题:写出通过尺规作图确定线段 AB 一个五等分点的算法. 五、 【课后练习】 1、同学要在下午到体育馆参加比赛,比赛下午 2 时开始,请写出该同 学从家里发到比赛地的算法. 2、写出解一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的一个算法. 3、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法(打印结果) 4、写出解不等式 x -2x-3<0 的一个算法. 解:第一步:x -2x-3=0 的两根是 x1=3,x2=-1. 第二步:由 x -2x-3<0 可知不等式的解集为{x | -1<x<3}. 评注:该题的解法具有一般性,下面给出形如 ax +bx+c>0 的不等式 的解的步骤(为方便,我们设 a>0)如下: 第一步:计算△= b ? 4ac ;
2
2
2 2 2 2

第二步:若△>0,示出方程两根 x1, 2 则不等式解集为{x | x>x1 或 x<x2};

? b ? b2 ? 4ac (设 x1>x2) , ? 2a
b }; 2a

第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R 且 x ? ? 第四步:若△<0,则不等式的解集为 R.

5、求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法: 第一步:取 x1= a1,y1= b1,x2= a2,y1= b2; 第二步:若 x1= x2; 第三步:输出斜率不存在;
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第四步:若 x1≠x2; 第五步:计算 k ?

y2 ? y1 ; x2 ? x1

第六步:输出结果. 6、写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个 算法. 第一步:取 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步:计算

y ? y1 x ? x1 ; ? y2 ? y1 x2 ? x1

第三步:在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m,得直线与 y 轴交点 (0,m); 第四步:在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n,得直线与 x 轴交点 (n,0); 第五步:计算 S=

1 | m | ? | n |; 2

第六步:输出运算结果

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