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高三公开课 等差数列定义及性质


高 三 数 学 第 一 轮 复 习

教师:李小艺 贵州省瓮安中学高三数学组集体备课

教学复习目标:
1、理解等差数列的概念、通项公式、等 差中项公式,灵活运用公式解决问题. 2、掌握等差数列的前n项和公式,体会等 差数列的通项及等差数列的前n项和可 分别表示为一次函数和二次函数. 3、探索并总结等差数列的性质,灵活运 用性质

解决有关问题.

本节重、难点:
1、重点:等差数列的有关概念、公式及 性质. 2、难点:等差数列的判定及性质应用.

学习活动1:梳理基础知识
1.等差数列的定义及公式:
(1)、定义:一般地,如果一个数列从 第2项起, 每一项与它前一项的差都 等于同一个常数d,那么这 个数列就叫做等差数列.其中常数d是 (2)、通项公式: 公差 .

an=

a1+(n-1)d



推广:an=am+ (n-m)d

.

学习活动1:梳理基础知识
2.等差中项: 定义:若a,A,b成等差数列,则A称 a与b的等差中项.记:A = a + b 2 结论:a,A,b成等差数列 ? 2 A ? a ? b 3.等差数列前n项和公式: n(a1 ? an ) n( n ? 1) Sn ? na1 ? d Sn ? 2 2

学习活动1:梳理基础知识
4.等差数列的判定方法: (1)定义法: ? an?1 ? an ? d (常数)(n ∈ N ) ? {an }等差数列 (2)中项公式法: ? 2an?1 ? an ? a n? 2 ? n ? Ν ? ? {an }等差数列 (3)通项公式法: ? an ? kn ? b(k , b常数)(n ? N ) ? {an }等差数列 (4)前n项和公式法: 2 ? Sn ? ?n ? ?n (n ? N ) ? {an }等差数列

(其中A,B为常数)

性质 性质1

等差数列{an}常用的性质 * (p,q,m,n ? N ) p ? q ? m ? n ? a p ? aq ? am ? an 2m ? p ? q ? 2am ? a p ? aq

性质2

{an}为等差数列, 公差为d ? an,an+m,an+2m, ?是等差数列, 公差为md
{an}等差数列, 公差d,前n项和Sn ? Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, ?是等差 数列, 公差为n2d

性质3

学习活动1:梳理基础知识

1、数列中an与Sn的关系: ,n = 1 ? Sn an ? ? S ? S , n>1 n n ? 1 ?
(n ? N )
*

学习活动2:赏析例题
题型1:关于基本量的问题
例1:等差数列{an }的前n项和为Sn,若a1 = 2,S3 = 12, 则a6 等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14

例2:设Sn为等差数列{an }的前n项和,a12 = -8,S9 = -9, 则S16 = ?

【分析】在等差数列中有五个重要的量a1,an,d,

n,Sn,只要已知任意三个,就可求出其他两个.其中a1
和d是两个最重要的量,通常要先求出a1和d

【点评】 方程思想是解决数列问题的基本思想, 通过公差列方程(组)来求解基本量是数列中最基本 的方法,同时在解题中也要注意数列性质的应用.

题型2:等差数列的判断与证明

例2:已知数列{an }的前n项和为Sn,且满足 1 an + 2Sn ? Sn-1 = 0(n ≥ 2),a1 = . 2 1 (1)求证:{ }是等差数列; Sn (2)求an的表达式; (3)判断数列{an }是不是等差数列.

【点评】:等差数列的证明方法介绍四种,在解

答题中常应用定义法比较简单,再根据等差数列的通
项公式和前n项和公式结合求相应的通项表达式;等差 数列的判断方法也多种多样,最简单的就是定义法判 断和通项公式法去验证,不同题目选择适应的方法解 答会达到事半功倍的效果,灵活运用。

题型3:等差数列性质的简单应用

例3:等差数列{an }中,a1 + 3a8 + a15 = 120,
则2a9 - a10的值是( A.20 B.22 C.24 ) D.- 8

例4:已知等差数列{an} 的前n项和为Sn, 且S10 = 10,S20 = 30,则S30 = ( )
A.20 B.40 C.60 D.80

【点评】:等差数列的性质应用主要体现在角标

关系转化为项之间的关系,在计算时注意项的个数,
等差数列在一些变化之后仍是等差数列,仍可以运用 等差数列的性质,前提条件必须满足等差数列,才能 运用相应的性质。

学习活动3:过模拟,试真题
1、(2010.全国卷2,理数,4)等差数列{an }中, a3 + a4 + a5 = 12,则a1 + a2 + ? + a7为( ) A.14 B.21 C.28 D.35 2、(2013.广东,12)在等差数列{an }中,已知 a3 + a8 = 10,则3a5 + a7 = ? 3、(2013.山东济南一模,18,12分)已知数列{an } 满足a1 = 3,an+1 - 3an = 3 ,数列{bn }满足bn =
n

an
n

3 证明:数列{bn }是等差数列并求出其通项公式bn .

.

课时小结 1.等差数列的定义,紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两 点. 2.由五个量a1,d,n,an,Sn中的三个量可求出其余两个量,要求 选用公式要恰当,要善于减少运算量,达到快速、准确的目的. 3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:

an - an-1 = d (n > 1) (1)利用定义,证明 为常数. an-1 + an+1 = 2an( n > 1)
(2)利用等差中项,即证明 .

4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用,应熟练掌握、灵

活运用.
5.复习时,要注意以下几点: (1)深刻理解等差数列的定义及等价形式. (2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想

课后作业: 1、三维设计 A本 课时跟踪检测 (三十一) A卷——夯基保分(书本作业) 2、探究等差数列前n项和Sn的有 关性质。


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