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北京市东城区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)

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2013 年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1. 分) (5 (2013?东城区一模)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},那么集合?UA 为( A.{3} B.{3,4} C.{1,2} D.{2,3} 考点

:补集及其运算. 专题:计算题. 分析:直接利用补集的定义,求出 A 的补集即可. 解答:解:因为全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},那么集合?UA={3,4}. 故选 B. 点评:本题考查补集的运算,补集的定义,考查基本知识的应用.
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2. 分) (5 (2013?东城区一模)“a=1”是“直线 x+2y=0 与直线 x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件



考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:直线与圆. 分析:当 a=1 时,经检验,两直线平行,故充分性成立;当两直线平行时,由斜率相等得到 a=1, 故必要性也成立. 解答:解:当 a=1 时,直线 x+(a+1)y+4=0 即 x+2y+4=0,显然两直线平行,故充分性成立.
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当直线 x+2y=0 与直线 x+(a+1)y+4=0 平行,由斜率相等得﹣ =﹣

,a=1,

故由直线 x+2y=0 与直线 x+(a+1)y+4=0 平行,能推出 a=1,故必要性成立. 综上,“aa=1”是“直线 x+2y=0 与直线 x+(a+1)y+4=0 平行”的充分必要条件, 故选 C. 点评:本题考查两直线平行的条件和性质,充分条件、必要条件的定义和判断方法.

3. 分) (5 (2013?东城区一模) 已知 ABCD 为平行四边形, 若向量 A. ﹣ B. + C. ﹣



, 则向量 D. ﹣ ﹣

为 (



考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:如图所示,利用向量的减法法则即可得出. 解答:解:如图所示, 由向量的减法法则可得:
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= 故选 C.

=



点评:熟练掌握向量的减法法则是解题的关键.

4. 分) (5 (2013?东城区一模)执行如图所示的程序框图,输出的结果是 ,则判断框内应填入的条 件是( )

A.n≤5?

B.n<5?

C.n>5?

D.n≥5?

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析: 本循环结构是经过 n 次循环,计算 S=
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+

+…+

,由此能求出结果.

解答:解:经过 n 次循环, 计算 S= + +…+ , =1﹣ = ,

∵程序框图输出的结果是 ∴ = ,

∴n=5. ∴n=6 时,跳出循环. 故选 A. 点评:本题考查循环结构的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5. 分) (5 (2013?东城区一模)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,那么这个几何体的 侧面积是( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由题可知,图形是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱的三视图,求出表面积即可. 解答:解:由题可知,三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱,
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所以几何体的侧面积 S= =4+ 故选 C. 点评:本题考查学生的空间想象能力,是基础题.

(cm ) .

2

6. 分) (5 (2013?东城区一模)已知点 A(2,1) ,抛物线 y =4x 的焦点是 F,若抛物线上存在一点 P,使得|PA|+|PF|最小,则 P 点的坐标为( ) A.(2,1) B.(1,1) C. D.

2

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用抛物线的定义,得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|.因此问题转化为求|PA|+|PQ|取最小值时 P 点的坐 标,再利用 P、A、Q 三点共线时距离最小,即可求出满足条件的 P 点坐标. 解答:解:根据抛物线的定义,点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离 设点 P 到准线 l:x=﹣1 的距离为 PQ, 则所求的|PA|+|PF|最小值,即|PA|+|PQ|的最小值; 根据平面几何知识,可得当 P、A、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小, ∴|PA|+|PQ|的最小值为 A 到准线 l 的距离;
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此时 P 的纵坐标为 1,代入抛物线方程得 P 的横坐标为 ,得 P 故选:D

点评:本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的定义,考查距离最小问题,关键是利用 抛物线的定义,将点 P 到焦点的距离转化为它到准线的距离.

7. 分) (5 (2013?东城区一模)对于函数 y=f(x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7 4 5 8 1 3 5 2 6 数列{xn}满足 x1=2,且对任意 n∈N ,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013 的值为( ) A.9394 B.9380 C.9396 D.9400 考点:数列的求和. 专题:计算题. 分析:利用已知函数的关系求出数列的前几项,得到数列是周期数列,然后求出通过周期数列的和, 即可求解本题. * 解答:解:因为数列{xn}满足 x1=2,且对任意 n∈N ,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上, xn+1=f(xn) 所以 x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,x5=4,x6=8,x7=2,x8=4… 所以数列是周期数列,周期为 3,一个周期内的和为 14, 所以 x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013=671×(x1+x2+x3)=9394. 故选 A. 点评:本题考查函数与数列的关系,周期数列求和问题,判断数列是周期数列是解题的关键.
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*

8. 分) (5 (2013?菏泽二模)已知定义在 R 上的函数 f(x)的对称轴为 x=﹣3,且当 x≥﹣3 时,f(x) =2 ﹣3.若函数 f(x)在区间(k﹣1,k) (k∈Z)上有零点,则 k 的值为( ) A.2 或﹣7 B.2 或﹣8 C.1 或﹣7 D.1 或﹣8 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:先作出当 x≥﹣3 时函数 f(x)=2x﹣3 的图象,观察图象的交点所在区间,再根据对称性得出 另一个交点所在区间即可. x 解答:解:作出当 x≥﹣3 时函数 f(x)=2 ﹣3 的图象,观察图象的交点所在区间在(1,2) . 1 ∵f(1)=2 ﹣3=﹣1<0, 2 f(2)=2 ﹣3=1>0, ∴f(1)?f(2)<0,∴有零点的区间是(1,2) , 因定义在 R 上的函数 f(x)的对称轴为 x=﹣3, 故另一个零点的区间是(﹣8,﹣7) , 则 k 的值为 2 或﹣7. 故选 A.
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x

点评:本题主要考查了根的存在性及根的个数判断.二分法是求方程根的一种基本算法,其理论依 据是零点存在定理:一般地,若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 分) (5 (2013?东城区一模)已知 i 是虚数单位,那么 i(1+i)等于 ﹣1+i . 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:利用复数的运算法则即可得出. 解答:解:i(1+i)=i﹣1=﹣1+i. 故答案为﹣1+i. 2 点评:熟练掌握复数的运算法则和 i =﹣1 是解题的关键.
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10. 分) (5 (2013?东城区一模)如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是 84 ,乙 5 次测试成绩的平均数与中位数之差是 2 .

考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题:图表型. 分析:先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据,再根据中位数和平均数的求法进行运算即得. 解答:解:由图可知,甲,乙两人共有 5 次测试成绩,分别是: 甲:76、83、84、87、90 乙:79、80、82、88、91 则甲、乙两人 5 次体育测试成绩的中位数分别为 84、82,
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平均数分别为

=

=84,

=

=84

故乙 5 次测试成绩的平均数与中位数之差是 2. 故答案为:84,2.

点评:茎叶图的茎是高位,叶是低位,所以本题中“茎是十位”,叶是个位,从图中分析出参与运算 的数据,代入相应公式即可解答.从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键.

11. 分) (5 (2013?东城区一模) 不等式组

表示的平面区域为 D, 则区域 D 的面积为 2



z=x+y 的最大值为

2 .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出可行域,再利用三角形面积公式求第一问;第二问需由 z=x+y,再变形为 y=﹣x+z,则 过点 B 时 z 最大. 解答:解:不等式组所表示的平面区域如图所示 解得 A(2,﹣2) 、B(2,0) 、C(0,0) ,
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所以 S△ ABC= ×2×2=2; 由 z=x+y,则 y=﹣x+z, 所以直线经过点 B 时 x+y 取得最大值,最大值为 2+0=2. 故答案为:2,2.

点评:本类题是解决线性规划问题,本类题常用的步骤有两种:一是:由约束条件画出可行域,求 出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.二是:画出可行 域,标明函数几何意义,确定最优解. 12. 分) (5 (2013?东城区一模)从 1,3,5,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组 成的两位数是 5 的倍数的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:根据所抽取的数据拼成两位数,得出总数及是 5 的倍数的数,求概率. 解答:解:如下表,任意抽取两个不同数字组成一个两位数,共 12 种情况,其中是 5 的倍数的有 15,35,75 三种,
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∴组成两位数能被 3 整除的概率为 1 1 3 5 7 31 51 71 3 13 53 73 5 15 35 75

= . 7 17 37 57

故答案为: . 点评:本题考查了求概率的方法:列表法和树状图法.关键是通过画表格(图)求出组成两位数的 所有可能情况及符合条件的几种可能情况.

13. 分) (5 (2013?东城区一模)函数 ①图象 C 关于直线 ②图象 C 关于点 ③函数 f(x)在区间 对称; 对称; 内是增函数,

的图象为 C,有如下结论:

其中正确的结论序号是 ①②③ . (写出所有正确结论的序号) 考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题. 分析:由题意可解出该函数的所有对称轴,对称区间和单调递增区间,取整数 k 的特殊值,比较选 项即可得答案. 解答: 解:由 =kπ+ ,可得 x=kπ+ ,k∈Z,
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当 k=0 时,可得其中一条对称轴为 x= 由 =kπ,可得 x=kπ+ ,k∈Z,

,故①正确;

当 k=1 时,可得其中一个对称点的横坐标为 x= 由 2kπ﹣ ≤ ≤2kπ+ 得 2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ,

,故②正确; ,k∈Z, ],

当 k=0 时,可得其中一个单调递增区间为[ 因为 所以函数在 真包含于[ , ],

上单调递增,故③正确.

故答案为:①②③ 点评:本题考查命题真假的判断,涉及三角函数的对称性和单调性,属基础题.

14. 分) (5 (2013?东城区一模)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行 增加两项,若 行的第 77 列 (a≠0) ,则位于第 10 行的第 8 列的项等于 a . (填第几行的第几列)
89

,a2013 在图中位于 第 45

考点:数列的函数特性;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:①由于每行的所有数的个数形成等差数列,故可得到前 9 行的数的个数,从而得出答案;
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②由①可知前 k 行所有 ai 的个数为 b1+b2+…bk=1+3+…(2k﹣1)=k .解出(k﹣1) ≤2013 即 可得出答案. 解答:解:①设每行的数的个数为数列{bn},则此数列为首项为 1,公差为 2 的等差数列,∴bn=1+ (n﹣1)×2=2n﹣1. 于是前 9 行所有 an 的个数为 b1+b2+…+b9= ∴位于第 10 行的第 8 列的项等于 a81+8= .
2

2

2

=81.

②由①可知:前 k 行所有 ai 的个数为 b1+b2+…bk=1+3+…(2k﹣1)=k . 由(k﹣1) <2013,解得 , 2 2 而 44 <2013<45 ,∴k<1+44=45. 2 ∴前 44 行的所有数 ai 的个数为 44 =1936. 而 1936+77=2013, ∴a2013 在图中位于第 45 行的第 77 列. 89 故答案分别为 a ,第 45 行的第 77 列. 点评:正确理解每行的所有数的个数形成等差数列,利用等差数列的通项公式和前可知前 k 行所有 ai 的个数为 b1+b2+…bk=1+3+…(2k﹣1)=k 是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分) (2013?东城区一模)在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 ,求 ac 的最大值. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析:(Ⅰ)因为 ,由正弦定理求得 ,从而求得 B 的值. 2 2 (Ⅱ)由余弦定理求得 12=a +c ﹣ac,再利用基本不等式求得 ac 的最大值. 解答:解: (Ⅰ)因为 ,由正弦定理可得 . 因为在△ ABC 中,sinA≠0,所以 .
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2

2

又 0<B<π,所以
2


2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,因为
2 2



,所以 12=a +c ﹣ac.

2

2

因为 a +c ≥2ac,所以 ac≤12. 当且仅当 时,ac 取得最大值 12. 点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用,属于中档题. 16. (14 分) (2013?东城区一模)如图,已知 AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC,F 为 BC 的中点, 若 .

(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BCE.

考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (I) BE 的中点 G, 取 连接 GF, GD. 利用三角形的中位线定理即可得到 GF∥EC,
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. 由

AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC,利用线面垂直的性质定理即可得到 AD∥EC,进而即可判 断四边形 AFGD 为平行四边形,得到 AF∥DG,再利用线面平行的判定定理即可证明; (II)利用等腰三角形的性质即可得到 AF⊥BC,再利用线面垂直的性质得到 GF⊥AF,利用 线面垂直的判定定理即可证明 AF⊥平面 BEC,而 DG∥AF,得到 DG⊥平面 BEC,利用面面 垂直的定理即可证明结论. 解答:证明: (Ⅰ)取 BE 的中点 G,连接 GF,GD. ∵F 是 BC 的中点, 则 GF 为△ BCE 的中位线. ∴GF∥EC, .

∵AD⊥平面 ABC,CE⊥平面 ABC, ∴GF∥EC∥AD. 又∵ ,

∴GF=AD. ∴四边形 GFAD 为平行四边形. ∴AF∥DG. ∵DG?平面 BDE,AF?平面 BDE,

∴AF∥平面 BDE. (Ⅱ)∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC. ∵EC∥GF,EC⊥平面 ABC,∴GF⊥平面 ABC. 又 AF?平面 ABC, ∴GF⊥AF. ∵GF∩BC=F, ∴AF⊥平面 BCE. ∵AF∥DG, ∴DG⊥平面 BCE. 又 DG?平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCE.

点评:熟练掌握三角形的中位线定理、线面垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行 四边形的判定和性质、面面垂直的判定定理是解题的关键. 17. (13 分) (2013?东城区一模)为了解高三学生综合素质测评情况,对 2000 名高三学生的测评结 果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表: 优秀 良好 合格 380 373 男生人数 x 370 377 女生人数 y (Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这 2000 份综合素质测评结果中随机抽取 80 份进行 比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若 x≥245,y≥245,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题:计算题;概率与统计. 分析:(I)根据样本容量为 2000,运用减法算出优秀等级的学生人数为 500,再由分层抽样的公式 即可算出应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数; (II)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A,分别列举出(x,y)的所有可 能情况和满足 x>y 的数组(x,y)的情况,再用随机事件的概率公式即可算出优秀等级的学 生中男生人数比女生人数多的概率. 解答:解: (Ⅰ)由表可知,优秀等级的学生人数为 x+y=2000﹣(380+373+370+377)=500.
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因此,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数为 即在优秀等级的学生中应抽取 20 份.



(Ⅱ)设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件 A. ∵x+y=500,x≥245,y≥245,且 x,y 为正整数, ∴数组(x,y)的可能取值为: (245,255)(246,254)(247,253) , , ,…, (255,245) , 共 11 个. 其中满足 x>y 的数组(x,y)的所有可能取值为: (255,245)(254,246)(253,247) , , , (252,248)(251,249)共 5 个,即事件 A 包含的基本事件数为 5. , 因此,所求概率为 .

答: (I)应抽取综合素质测评结果是优秀等级的 20 份; (II)优秀等级的学生中男生人数比女 生人数多的概率为 .

点评:本题给出学生成绩统计的表格,求抽取综合素质测评结果是优秀生的份数和优秀等级的学生 中男生人数比女生人数多的概率,着重考查了随机事件的概率和分层抽样计算公式等知识, 属于基础题. 18. (14 分) (2013?东城区一模)已知函数 f(x)=mlnx+(m﹣1)x(m∈R) . (Ⅰ)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f(x)的单调性; ( III)若 f(x)存在最大值 M,且 M>0,求 m 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切 线方程. 专题:综合题;分类讨论;导数的综合应用. 分析:(Ⅰ)当 m=2 时求出导数 f′(x) ,则切线斜率 k=f′(1) ,f(1)=1,利用点斜式即可求得 切线方程; (Ⅱ)先求出函数定义域,在定义域内分 m≤0,m≥1,0<m<1 三种情况解不等式 f′(x) >0,f′(x)<0 即可; ( III)分情况进行讨论:当 m≤0 或 m≥1 时 f(x)单调,最值情况易判断;当 0<m<1 时, 由单调性易求得其最大值,令其大于 0,解出即可; 解答: 解: (Ⅰ)当 m=2 时,f(x)=2lnx+x. .
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所以 f'(1)=3. 又 f(1)=1, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y﹣1=3(x﹣1) ,即 3x﹣y﹣2=0. (Ⅱ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 m≤0 时,由 x>0 知 此时 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 当 m≥1 时,由 x>0 知 此时 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当 0<m<1 时,由 f'(x)>0,得 ,由 f'(x)<0,得 , 恒成立, 恒成立, .

此时 f(x)在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

( III)由(Ⅱ)知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 m≤0 或 m≥1 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调,此时函数 f(x)无最大值. 当 0<m<1 时,f(x)在区间 递减, 所以当 0<m<1 时函数 f(x)有最大值,最大值 因为 M>0,所以有 所以 m 的取值范围是 . ,解之得 . . 内单调递增,在区间 内单调

点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及切线问题,考查分类讨论思想,考查学生分析 解决问题的能力,属中档题.

19. (13 分) (2013?东城区一模)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,

离心率为

,且过点



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)M,N,P,Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点 F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证: 为定值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 2 2 (Ⅰ)由离心率为 ,即 可得 a =2b ,从而 C:
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,再把点



入椭圆方程即可求得 b ,进而得到 a . (Ⅱ)由(Ⅰ)写出焦点 F1,F2 的坐标,设直线 MN 的方程为 y=k(x+2) ,由直线 MN 与直 线 PQ 互相垂直得直线 PQ 的方程为 ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) .联立

2

2

直线 MN 与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理及弦长公式可用 k 表示|MN|,同理 可表示出|PQ|,计算即可得到 解答: (Ⅰ)解:由已知 所以 a =2b .
2 2

为定值.

,得



所以 C:

,即 x +2y =2b .

2

2

2

因为椭圆 C 过点 得 b =4,a =8. 所以椭圆 C 的方程为
2 2

,所以





(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1(﹣2,0) 2(2,0) ,F . 根据题意,可设直线 MN 的方程为 y=k(x+2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 由方程组 消 y 得(2k +1)x +8k x+8k ﹣8=0.
2 2 2 2









所以|MN|=

=

=



同理可得|PQ|=



所以

=

=



点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解,韦达定理及弦长公式是解决该类题 目的基础,应熟练掌握. 20. (13 分) (2013?东城区一模)设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组,记作:A=(a1,a2,…, ai,…,an) .其中 ai(i=1,2,…,n)称为数组 A 的“元”,S 称为 A 的下标.如果数组 S 中的每个“元” 都是来自 数组 A 中不同下标的“元”,则称 A=(a1,a2,…,an)为 B=(b1,b2,…bn)的子数组.定 义两个数组 A=(a1,a2,…,an) ,B=(b1,b2,…,bn)的关系数为 C(A,B)=a1b1+a2b2+…+anbn. (Ⅰ)若 的最大值; (Ⅱ)若 数组,求 C(A,S)的最大值. ,B=(0,a,b,c) ,且 a +b +c =1,S 为 B 的含有三个“元”的子
2 2 2

,B=(﹣1,1,2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组,求 C(A,S)

考点:平均值不等式在函数极值中的应用;排序不等式及应用. 专题:新定义;不等式的解法及应用. 分析:(Ⅰ)依据题意中“元”的含义,可知当 S=(﹣1,3)时,C(A,S)取得最大值为 2. (Ⅱ)对 0 是不是 S 中的“元”进行分类讨论:①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都
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相等,及 B 中 a,b,c 三个“元”的对称性,利用平均值不等式计算 的最大值,②当 0 不是 S 中的“元”时,只须计算 的最大值即可,

最后综上即可得出 C(A,S)的最大值. 解答:解: (Ⅰ)依据题意,当 S=(﹣1,3)时,C(A,S)取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a,b,c 三个“元”的对称 性,可以只计算
2 2 2 2 2 2

的最大值,其中 a +b +c =1.
2 2

2

2

2

由(a+b) =a +b +2ab≤2(a +b )≤2(a +b +c )=2, 得 当且仅当 c=0,且 于是 ②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 由于 a +b +c =1, 2 2 2 2 2 2 2 所以(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc≤3(a +b +c )=3, 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 即当 时,a+b+c 取得最大值 ,此时 .
2 2 2

. 时,a+b 达到最大值 . 的最大值, ,

综上所述,C(A,S)的最大值为 1. 点评:本小题主要考查排序不等式及应用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.


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