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2010全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含解析)


2010 年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的评 阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参考 本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次.

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1、已知条件 p : 1 ? sin 2? ? A、充分但不必要条件 C、充要条件 解:因为 1 ? sin 2? ?

4 4 和条件 q : sin ? ? cos ? ? .则 p 是 q 的( C ) . 3 3
B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ?

4 , 3

故 p 是 q 的充要条件.故选 C. 2、在 5 件产品中有 4 件正品、1 件次品.从中任取 2 件,记其中含正品的个数个数为随机变 量 ? ,则 ? 的数学期望 E? 是( C ) . A、

6 5

B、

7 5

C、

8 5

D、

9 5

解:数学期望是: 1?

1 2 C4 C4 8 ? 2 ? ? .故选 C. 2 2 C5 C5 5

3、设正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 3,侧棱长为 2,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成的角的大 小是( A ) A、 30
?

B、 45

?

C、 60

?

D、 arctan 2

解:设顶点 S 在底面 ?ABC 的射影是 H ,则 H 为 ?ABC 的外心. 从而 AH ?

2 3 ? 3? ? 3 ,于是可得 ?SAH ? 30? .故选 A. 3 2
x 4 ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 的最小值是 0,则非零实数 k 的值是( B x4 ? 2x2 ? 4
C、2 D、4 ) .

4、已知函数 f ( x) ? A、 ? 4

B、 ? 2

x2 解: f ( x) ? 1 ? (k ? 2k ? 6) 4 , x ? 2x2 ? 4
2

因为 x ? 4 ? 4 x ,故 0 ?
4 2

x2 1 ? 4 2 x ? 2x ? 4 6
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当 k ? 2k ? 6 ? 0 时, f min ? 1 ,不合题意;
2

2 当 k ? 2k ? 6 ? 0 时, f max ? 1, f min ? 1 ?

1 2 ( k ? 2 k ? 6) , 6

由条件知 1 ?

1 2 (k ? 2k ? 6) ? 0 ,解得 k ? ?2 或 0(舍去) .故选 B. 6

5、长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的八个顶点都在球 O 的球面上,其中 AA 1 ? 1,

AB ? 2 2 , AD ? 3 3 ,则经过 B、C 两点的球面距离是(
2? 3 4? 3
C、 2? D、 4?

C )

A、

B、

解:球 O 的半径 R?

1 1 ? (2 2 ) 2 ? (3 3 ) 2 ? 3 , 在 ?O B C 中 OB ? OC ? 3 , 2 1 2? . BC ? AD ? 3 3 ,则 cos ?BOC ? ? ,从而 ?BOC ? 2 3 1 所以,经过 B、C 两点的球面距离是 2? ? 3 ? ? 2? .故选 C. 3

6、对任意实数 m ,过函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 图象上的点 (2, f (2)) 的切线恒过一定点 P , 则点 P 的坐标为( B ) A、 (0, 3) B、 (0, ? 3) C、 ( , 0 )

3 2

D、 ( ?

3 , 0) 2

解 : 因 为 f ?( x) ? 2 x ? m , 故 f ?(2) ? 4 ? m . 于 是 过 (2, f (2)) 的 切 线 方 程 是 :

y ? (5 ? 2m) ? (4 ? m)(x ? 2)
即 y ? (m ? 4) x ? 3 ,因此切线方程恒过 (0, ? 3) .故选 B.

7、设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的 a2 b2

点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( D ) A、 (0,

1 ) 2

B、 (0,

2 ) 2

C、 ( , 1)

1 2

D、 (

2 , 1) 2

a 2 a2 2 解:由题设知∠ OPA2=90°,设 P(x,y)(x>0),以 OA2 为直径的圆方程为 ( x ? ) ? y ? , 2 4
与椭圆方程联立得 (1 ?

b2 2 ) x ? ax ? b 2 ? 0 .由题设知,要求此方程在(0, a )上有实根. 2 a
第 -2- 页 共 8 页

由此得 0 ?

a 2(1 ? b ) a2
2

? a 化简得 e 2 ?

1 2 ,所以 e 的取值范围为 ( ,1) .故选 D. 2 2

8、记 F ( x, y ) ? ( x ? y ) ? (
2

x 3 2 ? ) , ( y ? 0) ,则 F ( x, y) 的最小值是( 3 y
C、

A、

12 5

B、

16 5

18 5

D、4
2

解:设动点 P ( x,? ) 与 Q( y, ) ,则 F ( x, y ) ? PQ ,点 P 的轨迹为直线 y ? ?

x 3

3 y

x ,点 Q 的 3

轨迹为双曲线 y ?

3 3 ,双曲线上的任一点 ( x0 , ) 到直线 x ? 3 y ? 0 的距离 x x0

x0 ? 3 ? d? 10

3 x0

?

18 6 ,当 x0 ? ?3 时等号成立.故 F ( x, y) 的最小值为 .故选 C. 5 10

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

)? 1、 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? f (1 ? x) ,则 f (2010



解:由条件知 f (0) ? 0 , f ( x ? 1) ? f (? x) ? ? f ( x) ,于是 f ( x ? 2) ? f ( x) ,

) ? f (0) ? 0 .故填 0. 即 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数.所以, f (2010
2、实数 x, y 满足 3 | x ? 1 | ?2 | y ? 1 |? 6 ,则 2 x ? 3 y 的最大值是 解:由 3 | x ? 1 | ?2 | y ? 1 |? 6 确定的图形是以四边形 ABCD 及其内部, .

其中 A(?1, 4) 、 B(1, 1) 、 C (?1, ? 2) 、 D(?3, 1) . 由线性规划知识知, 2 x ? 3 y 的最大值是 4,当 x ? ?1, y ? ?2 时可取到.故填 4.

1 2 成等比数列,则 lim n a n ? n ? ? 2 1 1 2 解:由条件知当 n ? 2 时, S n ? a n ( S n ? ) ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) 2 2
3、在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a n , S n , S n ? 从而



1 1 1 1 1 ? ? 2 ,于是 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,所以 S n ? . 2n ? 1 S n S n ?1 S n S1

第 -3- 页 共 8 页

于是 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3)
2n 2 ? lim? (2n ? 1)(2n ? 3) n??
1 1 ? ? .故填 ? . 1 3 2 2 (2 ? )(2 ? ) n n

所以, lim n a n ? lim?
2 n??

2

n ??

4、集合的容量是指集合中元素的和.则满足条件“ A ? {1,2,3,4,5,6,7} ,且若 a ? A 时, 必有 8 ? a ? A ”的所有非空集合 A 的容量的总和是 解:先找出满足条件的单元素和二元素的集合有: . (用具体数字作答)

A1 ? {4} , A2 ? {1,7} , A3 ? {2,6} , A4 ? {3,5} ,将这四个集合中的元素任意组合起来
也满足要求,则所有符合条件的集合 A 中元素的总和是 : (4 ? 8 ? 8 ? 8) ? 2 3 ? 224. 故填 224.. 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、已知函数

f ( x) ? sin( x ?

?
4

) ? 2 sin( x ?

?
4

) ? 4 cos 2 x ? 3 cos( x ?

3? ). 4

(I)试判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (II)求 f ( x) 在 [ 解: (I) f ( x) ?

?
2

, ? ] 上的最小值与最大值.

2 3 2 (sin x ? cos x) ? 2 (sin x ? cos x) ? 4 cos 2 x ? (cos x ? sin x) 2 2
......5 分

? ?2 2 cos x ? 4 cos2 x

f (? x) ? ?2 2 cos(?x) ? 4 cos(?2x) ? ?2 2 cos x ? 4 cos2x ? f ( x)
所以, f ( x) 为偶函数. (II) f ( x) ? ?2 2 cos x ? 4(2 cos2 x ? 1) ......10 分

? ?8 cos2 x ? 2 2 cos x ? 4
? ?8(cosx ?
因为 x ? [

2 2 17 ) ? 8 4

......15 分

?
2

, ? ] ,故 ? 1 ? x ? 0 ,

第 -4- 页 共 8 页

所以,当 cos x ? 0 时, f ( x) 有最小值 4 ;

当 cos x ? ?

17 2 时, f ( x) 有最大值 . 4 8

......20 分

14、已知 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, M 点的坐标为(4,0),过点 F 作斜率为 k 1 的直线与抛物 线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率为 k 2 . (I)求

k1 的值; (II)求直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围. k2

解: (I) 由条件知 F (1, 0) , 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y 2 ) 、C( x3 , y3 ) 、D( x4 , y 4 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? 1) ,与 y 2 ? 4 x 联立得 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 k1 所以 y1 y2 ? ?4 , x1 x2 ? 1 . ① 当 x1 ? 4 时,则 A(4, 4) ,故 y 2 ? ......5 分

1 1 ?4 ? ?1 , x 2 ? ,即 B ( ,?1) . 4 4 y1

直线 AM 的方程为 x ? 4 ,从而 C (4, ? 4) ;直线 BM 的方程为: y ?
2 2

4 ( x ? 4) , 15

与 y ? 4 x 联立得 y ? 15y ? 16 ? 0 ,得 y 4 ? 16 , x4 ? 64 ,即 D(64, 16) . 于是 k1 ?

k 4 16 ? (?4) 1 ? .所以. 1 ? 4 . , k2 ? 3 64 ? 4 3 k2

......10 分

② 当 x1 ? 4 时,直线 AM 方程为 y ?

y1 2 ( x ? 4) 与抛物线方程 y ? 4 x x1 ? 4

联立得 y12 ( x ? 4) 2 ? 4 x( x1 ? 4) 2 ,又由 y12 ? 4 x1 ,化简上述方程得 x1 x 2 ? ( x12 ? 16) x ? 16x1 ? 0 此方程有一根为 x1,所以另一根 x3 ?

? 16 .即 C (16 ,? 16) ,同理, D( 16 ,? 16 ) . 16 , y3 ? x2 y 2 x1 y1 y1 x1

16 16 ? y 2 y1 x x y ? y1 1 k ?? 1 2 ? 2 ? k1 ,即 1 ? 4 . 所以, k 2 ? 16 16 y1 y 2 x 2 ? x1 4 k2 ? x 2 x1 ?
由①、②可知

......15 分

k1 ? 4. k2
第 -5- 页 共 8 页

(II) tan? ?

k1 ? k 2 3k1 3 3 ? ? ,故 ? ? arctan . 2 4 1 ? k1 k 2 4 4 ? k1
3 ]. 4

所以,直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围是 (0, arctan 15、已知函数 f ( x) ? x 3 ? mx2 ? x ? 1 ,其中 m 为实数 (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II) 若对一切的实数 x , 有 f ?( x) ?| x | ? 的取值范围. 解: (I)因为 f ?( x) ? 3x 2 ? 2mx ? 1 , ? ? 4m ? 12 ? 0
2

......20 分

7 成立, 其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数. 求实数 m 4

所以 f ?( x) ? 0 有两个不等实根:

x1 ?

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 . 3 3

......5 分

当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 单调递减; 当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 单调递增; 综上所述,有 f ( x) 的单调递减区间为: [

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 , ]; 3 3
......10 分

单调递增区间为: (??,
2

m ? m2 ? 3 m ? m2 ? 3 )、( ,??) . 3 3
7 , 4

(II)由条件有: 3 x ? 2mx ? 1 ?| x | ?
2 ①当 x ? 0 时, 3 x ? (2m ? 1) x ?

3 3 ? 0 ,即 3 x ? ? 2m ? 1 在 x ? 0 时恒成立 4 4x

因为 3x ?

1 3 3 ? 2 3x ? ? 3 ,当 x ? 时等号成立. 2 4x 4x
......15 分

所以 3 ? 2m ? 1 ,即 m ? 1
2 ②当 x ? 0 时, 3 | x | ? (2m ? 1) | x | ?

3 3 ? 0 ,即 3 | x | ? ? 1 ? 2m 在 x ? 0 时恒成 4 4| x|

立,因为 3 | x | ?

1 3 3 ? 2 3| x |? ? 3,当 x ? ? 时等号成立. 2 4| x| 4| x|
第 -6- 页 共 8 页

所以 3 ? 1 ? 2m ,即 m ? ?1 ③当 x ? 0 时, m ? R . 综上所述,实数 m 的取值范围是 [?1, 1] . ......20 分

16、 已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项的和, 对任意的正整数 n , 都有 (1 ? b)S n ? ?ban ? 4 n 成立, 其中 b ? 0 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 c n ?

an 4n

(n ? N ? ) ,若 | cn |? 2 ,求实数 b 的取值范围.

解: (I)当 n ? 1 时,有 (1 ? b)a1 ? ?ba1 ? 4 ,故 a1 ? 4 . 当 n ? 2 时, (1 ? b)S n ? ?ban ? 4 n 及 (1 ? b)S n?1 ? ?ban?1 ? 4 n?1 于是 (1 ? b)an ? ?b(an ? an?1 ) ? 3 ? 4 n?1 即 an ? ban?1 ? 3 ? 4 n?1 ① 若 b ? 4 ,则

a n a n ?1 3 a a 3 ? n ?1 ? ,于是 n ? 1 ? (n ? 1) n n 4 4 4 4 4 4

从而 an ? (3n ? 1) ? 4 n?1 (n ? 2) 所以, an ? (3n ? 1) ? 4 n?1 (n ? 1) ② 若 b ? 4 ,则 a n ? ......5 分

3 3 ? 4 n ? b(a n ?1 ? ? 4 n ?1 ) b?4 b?4 3 3 ? 4 n ? (a1 ? ? 4 n )b n ?1 于是 a n ? b?4 b?4 12 3 )b n ?1 ? ? 4 n (n ? 2) 从而 a n ? (4 ? b?4 b?4 12 3 )b n ?1 ? ? 4 n (n ? 1) 所以, a n ? (4 ? b?4 b?4

?(3n ? 1) ? 4 n ?1 ? 综上所述, a n ? ? 12 n ?1 3 ( 4 ? ) b ? ? 4n ? b?4 b?4 ?
(II)若 b ? 4 时, c n ?

(b ? 4) (b ? 4)
......10 分

3n ? 1 ,显然不满足条件,故 b ? 4 . 4
第 -7- 页 共 8 页

当 b ? 4 时, c n ?

4(b ? 1) b n 3 . ?( ) ? b(b ? 4) 4 b?4

若 b ? 4 时,

4(b ? 1) ? 0 ,故当 n ? ?? 时, cn ? ?? ,不符合条件,舍去. b(b ? 4)
3 4(b ? 1) ? 0 ,故从而 cn 为单调递减数列,且 cn ? 0 . ? 0,? b?4 b(b ? 4)

①若 0 ? b ? 1 时,

所以,只须 c1 ?

a1 ? 1 ? 2 即可,显然成立.故 0 ? b ? 1 符合条件; ......15 分 4

②若 b ? 1 时, cn ? 1 ,显然也满足条件.\故 b ? 1 符合条件; ③若 1 ? b ? 4 时,

3 4(b ? 1) ? 0 ,从而 cn 为单调递增数列,因为 c1 ? 1 ? 0 . ? 0, ? b?4 b(b ? 4)
n ??

故 cn ? 0 ,要使 | cn |? 2 成立,只须 lim c n ? ? 故1 ? b ?

3 5 ? 2 即可.于是 1 ? b ? . b?4 2

5 符合条件. 2 5 2
......20 分

综上所述,所求的实数 b 的范围是 (0, ] .

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