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2013版高中全程复习方略配套课件:8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(人教A版·数学理)浙江专用


第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

三年8考

高考指数:★★★

1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系;
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;

3.初步了解用代数方法处理几何问题.

1.直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点; 2.常与直线与

圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结 合,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系; 3.题型以选择题和填空题为主,属中低档题目.有时与其他知识 点交汇在解答题中出现.

1.直线与圆的位置关系

(1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系:即把圆的方程与
直线的方程联立组成方程组,转化成一元二次方程,利用判别

式Δ 判断位置关系.

Δ 位置关系

Δ >0
相交

Δ =0
相切

Δ <0
相离

(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系:即利用圆心到直线 的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.

d 与r
的关系 位置 关系

d<r
相交

d=r
相切

d>r
相离

【即时应用】

(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的___________
条件. (2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点, 则直线x0x+y0y=r2与此圆的位置关系是_____________.

【解析】(1)当k=1时,圆心到直线的距离
2 此时直线与圆相交; ? 1 ? r, 2 2 12 ? ? ?1? k 若直线与圆相交,则 解得- 2 <k< 2 ; ? 1, 2 12 ? ? ?1? d? ? 1

所以,“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”
的充分不必要条件.

(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内的一点,
2 2 所以 x 0 ? y0 ? r 2 ,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离

d?

r2 所以直线与圆相离. ? ? r, 2 2 r x 0 ? y0

r2

答案:(1)充分不必要

(2)相离

2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= r12 (r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= r22(r2>0).

方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含

几何法:圆心距d 与r1,r2 的关系 d >r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2)

代数法:两圆方程 联立组成方程组 的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

0≤d<|r1-r2| (r1 ≠ r2)

【即时应用】 (1)思考:若两圆相交时,公共弦所在的直线方程与两圆的方 程有何关系? 提示:两圆的方程作差,消去二次项得到关于x、y的二元一次 方程,就是公共弦所在的直线方程.

(2)判断下列两圆的位置关系 ①x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是_____________. ②x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是 ____________. ③x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是 ______________.

【解析】①因为两圆的方程可化为:(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4, 所以,两圆圆心距|O1O2|= ?1 ? 0 ?2 ? ? 0 ? 2 ?2 ? 5; 而两圆的半径之和r1+r2=1+2=3;

两圆的半径之差r2-r1=2-1=1;所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,
即两圆相交;

②因为两圆的方程可化为:(x+1)2+(y+2)2=4,(x-2)2+(y-2)2=9,
所以,两圆圆心距|O1O2|=

? ?1 ? 2 ?

2

? ? ?2 ? 2 ? ? 5; 而两圆的半径
2

之r1+r2=2+3=5;|O1O2|=r1+r2,即两圆外切;

③因为两圆的方程可化为: (x-2)2+(y+1)2=9,(x-2)2+(y-1)2=1, 所以,两圆圆心距|O1O2|= ? 2 ? 2 ?2 ? ? ?1 ? 1?2 ? 2; 而两圆的半径之差r1-r2=3-1=2;|O1O2|=r1-r2,

即两圆内切.
答案:①相交 ②外切 ③内切

直线与圆的位置关系 【方法点睛】 ⒈代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立,消去x(或y)得到关于y (或x)的一元二次方程;(2)求上述方程的判别式,并判断 其符号;(3)得出结论.

2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离d;(2)判断d与半径的大小关系;

(3)得出结论.
【提醒】如果能判断直线过定点,则可由定点到圆心的距离 (即点在圆内、圆上、圆外)判断直线与圆的位置关系, 小于半径相交;等于半径相切或相交;大于半径相交、相切、 相离都有可能.

【例1】(1)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程 为____________; (2)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的 斜率的取值范围为_______________. (3)(2012·温州模拟)已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点 M(4,-8). ①过M作圆的割线交圆于A、B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程; ②过M作圆的切线,切点为C、D,求切线长及CD所在直线的方程.

【解题指南】(1)因为已知直线过点P(2,4),所以确定直线方程 斜率的存在性,进而利用条件,求出直线方程; (2)直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,利用圆心到直 线的距离小于等于半径即可. (3)①设出直线的方程,由条件可得圆心到直线的距离,再利 用圆心到直线的距离求直线的斜率;②求出以PM为直径的圆的

方程,两圆方程相减可得CD所在直线的方程.

【规范解答】(1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2, 此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;

当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),
即:kx-y+4-2k=0,因为直线与圆相切,所以,

圆心到直线的距离等于半径,
即: ? d
k ? 1 ? 4 ? 2k
2 2

k ? ? 1) ( k ?1 解得:k= 4 ,所以所求切线方程为: 3 4 x-y+4-2〓 4 =0,即:4x-3y+4=0. 3 3
2

?

3? k

? 1,

答案:x=2或4x-3y+4=0

(2)由题可设直线方程为y=k(x-4),即:kx-y-4k=0,
因为直线与圆有公共点,所以,圆心到直线的距离小于

或等于半径,即: ? 2k ? 0 ? 4k ? 1, d 2
解得:- 3 ≤k≤ 3 答案:[- 3 , 3
3 . 3 3 ] 3

k ?1

(3)①圆即(x-2)2+(y+1)2=8,

圆心为P(2,-1),半径r=2 2 .
若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4), 即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N, 则 PN ? 2k ? 1 ? 4k ? 8 ? 2k ? 7 , 2 2
k ?1 2 由 PN 2 ? AB ) ? r 2 , 得k ? ? 45 , ( 2 28 k ?1

直线AB的方程为45x+28y+44=0. 若割线斜率不存在,AB:x=4,代入圆方程得

y2+2y-3=0,y1=1,y2=-3符合题意,综上,直线AB的方程为 45x+28y+44=0或x=4. ②切线长为 PM 2 ? r 2 ? 4 ? 49 ? 8 ? 3 5. 以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)(y+8)=0, 即x2+y2-6x+9y+16=0. 又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0,

两式相减,得2x-7y-19=0,
所以CD所在直线的方程为2x-7y-19=0.

【反思·感悟】1.已知直线与圆的位置关系求解其他未知量,
一般有以下两种方法:

方法一:几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大
小关系求解; 方法二:代数法:联立直线方程与圆的方程,利用方程组的解 来解决; 2.求切线方程时,要注意讨论直线的斜率不存在的 情况,否则容易漏解.

与圆有关的弦长、中点问题 【方法点睛】 直线被圆截得弦长的求法 (1)代数方法:直线方程与圆的方程联立,消元转化为关于x 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2

? x1 ? x 2 ?

2

? 4x1x 2 ;

(2)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,
则有: ) 2 ? r 2 ? d 2 . (
l 2

【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1、C2的方程分别 为(x+3)2+(y-1)2=4和(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2 3 ,求直线l 的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无数多对互相垂直的 直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的 弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P

的坐标.

【解题指南】(1)本题求直线方程,因为直线过点A(4,0),所以 只差直线的斜率,因此可利用条件求斜率;(2)因为两直线都过 同一点P(a,b),设其中一条直线的斜率为k,由垂直及弦长相等, 即可求出点P.

【规范解答】(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜
率存在.

设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,
因为直线l被圆C1截得的弦长为2 3,所以 d ? 22 ? ( 3) 2 ? 1, 由点到直线的距离公式得: ? d 从而k(24k+7)=0,即k=0或k=1 ? k ? ?3 ? 4 ? 1? k
7 , 24
2



故直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.

(2)设点P(a,b)满足条件,由题不妨设直线l1的方程为 y-b=k(x-a)(k≠0),则直线l2的方程为y-b=- 1 (x-a),
k

因为圆C1和圆C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与
直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的

距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,
1 5 ? ?4 ? a ? ? b 1 ? k ? ?3 ? a ? ? b k 即 ? , 2 1 1? k 1? 2 k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,

从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b =-5k-4+a+bk,

即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,
因为k的取值有无穷多个,
5 3 ? ? a? a?? ? ? ? a ? b ? 2 ? 0 ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? 2 2 所以 ? 或? ,解得: 或? , ? ? b ? a ? 3 ? 0 ?a ? b ? 5 ? 0 ? b ? ? 1 ? b ? 13 ? 2 ? 2 ? ? 这样的点P只可能是点P1( 5 ,- 1 )或P2( ? 3 , 13 ), 2 2 2 2

当k=0时,对于P1点,P2点经验证符合题意. 综上可得:P点的坐标为( 5 ,- 1 )或( ? 3 , 13 ).
2 2 2 2

【反思·感悟】1.本题第一问是求直线方程,只需两个条件,题

设中已知一点,只需斜率即可,该问题易忽略斜率不存在的情况;
2.解答第二问要注意存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2, 说明弦长相等与斜率值无关,利用斜率存在(且不为0)的情况求 出点P,注意验证斜率不存在的情况也满足条件.

圆与圆的位置关系 【方法点睛】 1.两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离

公切线条数

0

1

2

3

4

2.判断两圆位置关系的方法

判断两圆的位置关系,可根据圆心距与两圆半径的和与差的
绝对值之间的关系求解.

【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数,不能判断内切 与外切、外离与内含.

【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切; (2)m取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【解题指南】(1)两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和; (2)两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值,公切 线为两圆的方程之差所得的直线方程;(3)两圆公共弦所在直线 方程为两圆的方程之差所得直线方程,弦长可用几何法求解.

【规范解答】两圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=11,
(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3)、N(5,6), 半径分别为 11、61 ? m. (1)当两圆外切时,

? 5 ? 1? ? ? 6 ? 3? ? 11 ? 61 ? m,
2 2

解得:m=25+10 11 ;

(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆的圆心距5, 因此,有 61 ? m ? 11 ? 5, 解得:m=25-10 11;

因为 k MN ? 6 ? 3 ? 3 , 所以两圆公切线的斜率一定为- 4 ,
5 ?1 4 3

设切线方程为y=- 4 x+b,则有
3 4 ?1 ? 3 ? b 13 5 3 ? 11 ,解得:b ? ? 11. 3 3 4 2 ( ) ?1 3 容易验证当 b ? 13 ? 5 11 时,直线与后一圆相交,故所求公 3 3 4 13 5 切线方程为 y ? ? x ? ? 11,即4x ? 3y ? 5 11 ? 13 ? 0. 3 3 3

(3)两圆的公共弦所在直线的方程为: (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
2 即4x+3y-23=0,所以公共弦长为:( 11)( 4 ? 3 ? 3 ? 23 )2 ? 2 7. 2 ? 2 2

4 ?3

【反思·感悟】1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所 满足的圆心距与半径的几何关系求解; 2.当两圆相交时,其公共弦方程可利用两圆的一般方程相减得 到.

【创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题

【典例】(2011·江苏高考)集合
A ? {? x, y ? | m 2 ? ? x ? 2 ? ? y 2 ? m 2 , x, y ? R}, 2

B ? ?? x, y ? | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R?, 若A ? B ? ?,

则实数m的取值范围是____________.

【解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系,解题的关键 是找出集合所代表的几何意义,然后结合直线与圆的位置关系, 求得实数m的取值范围.

【规范解答】 A ? B ? ?,? A ? ?,? m 2 ? m , ?
1 ? m ? 或m ? 0.显然B ? ?. 2 2

要使 A ? B ? ?, 只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0) 与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,
2 2 2? 2 ? ? m ? 2 ? 2. 2 又∵m≥ 1 或m≤0, 2

即 2 ? 2m ? m 或 1 ? 2m ? m ,

1 ? ? m ? 2 ? 2. 2

当m=0时,(2,0)不在0≤x+y≤1内. 综上所述,满足条件的m的取值范围为[ 答案:[ 1 ,2+ 2 ]
2 1 ,2+ 2

2 ].

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议: 本题的创新点有以下两点: (1)考查形式的创新,以集合的形式给出了几何图形, 创 新 虽然两几何图形常见但不落俗套; 点 (2)考查内容的创新,本题摒弃以往考查直线与圆的位 拨 置关系的方式,而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆 环的位置关系;同时还考查分类讨论思想.

解决直线与圆的位置关系问题时,要注意以下几点:
备 (1)根据题设条件,合理选择利用代数方法还是利用几何 考 方法判断其位置关系; 建 议 (2)凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对位置 关系的影响,以便确定是否分类讨论.

1.(2011·江西高考)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0
有四个不同的交点,则实数m的取值范围是(
3 , 3) 3 3 (B)(- 3 ,0)∪(0, 3 ) 3 3 3 (C)[- 3 , ] 3 3 (D)(-∞,- 3 )∪( 3 ,+∞) 3 3

)

(A)(-

【解析】选B.如图,C1:(x-1)2+y2=1.

C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).
当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2显然只有两个交点,

当m≠0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1
与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=〒 3 ,
3

即直线处于两切线之间时满足题意,则- 3 <m<0或0<m< 3 .
3 3

2.(2012·湖州模拟)点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆

x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是(
(A)5 (B)0 (C)3 5-5

)
(D)5-2 5

【解析】选C.(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C1(4,2),半径r1=3, (x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C2(-2,-1),半径r2=2, 又C1C2=3 5 >3+2=5,显然两圆相离, 所以|PQ|的最小值为3 5 -5.

3.(2012·南通模拟)圆:x2+y2-4x+2y-k=0与y轴交于A、B两 点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数k的值是________. 【解析】圆x2+y2-4x+2y-k=0的圆心坐标为(2,-1), 半径 r ? k ? 5, 又∵∠APB=90°, ∴圆心到y轴的距离d=2= 2 r,
2

即: ? 2 k ? 5,? k ? 3. 2
2

答案:3


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