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高中数学人教A版必修三同步测试 第二章:2.1.3分层抽样


2-1-3 分层抽样 一、选择题 1.①教育局到某学校检查工作,打算在每个班各抽调 2 人参加 座谈;②某班其中考试有 10 人在 85 分以上,25 人在 60~84 分,5 人不及格,欲从中抽出 8 人参加改进教与学研讨;③某班级举行元旦 晚会,要产生两名“幸运者”,则合适的抽样方法分别为( A.系统抽样,系统抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样,简单随机抽样 C.

系统抽样,分层抽样,简单随机抽样 D.分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 [答案] C 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、 180 个、150 个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区 有 10 个特大型销售点,要从中抽取 7 个销售点调查其销售收入和售 后服务等情况,记这项调查为②,则完成①②这两项调查宜采用的抽 样方法依次为( ) )

A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 [答案] B [解析] 由调查①可知个体差异明显,故宜用分层抽样;调查② 中个体较少,故宜用简单随机抽样. 3.某工厂为了检查产品质量,在生产流水线上每隔 5 分钟就取

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一件产品,这种抽样方法是( A.抽签法 C.系统抽样 [答案] C

) B.简单随机抽样 D.随机数法

[解析] 由于生产流水线均匀生产出产品,且所拿出的产品中每 相邻的两件的“间隔”是相同的,所以是系统抽样,故选 C. 4.下列问题中,最适合用简单随机抽样方法的是( )

A.某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号 1~40.有 一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下 32 名 听众进行座谈 B.从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C.某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16 人,教师 112 人,后勤人员 32 人.教育部门为了解学校机构改革意见,要从中抽 取一个容量为 20 的样本
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D.某乡农田有山地 8 000 公顷,丘陵 12 000 公顷,平地 24 000 公顷,洼地 4 000 公顷,现抽取农田 480 公顷估计全乡农田平均产量
[来源:学优]

[答案] B [解析] 根据简单随机抽样的特点进行判断. A 的总体容量较大, 用简单随机抽样法比较麻烦,易用系统抽样 ;B 的总体容量较小, 用简单随机抽样法比较方便; C 由于学校各类人员对这一问题的看法 可能差异很大,不宜采用简单随机抽样法,宜用分层抽样;D 总体容 量较大,且各类田地的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样法, 宜用分层抽样.
[来源:学优 GKSTK]

[点评] 解答本题时,应关注两个方面的问题:(1)抽出的样本必 须准确地反映总体特征;(2)操作起来比较方便.

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5.某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分 层抽样的方法从两个班抽出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别 被抽取的人数是( A.8,8 C.9,7 [答案] C [解析] 抽样比为 16 1 =6,则一班和二班分别被抽取的人数 54+42 ) B.10,6 D.12,4

1 1 是 54×6=9,42×6=7. 6.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3500 人,其中高 三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多 300 人, 1 现在按100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生 数为( A.8 C.16 [答案] A x [解析] 若设高三学生数为 x,则高一学生数为2,高二学生数为 x x x + 300 ,所以有 x + 2 2+2+300=3 500,解得 x=1 600.故高一学生数 800 为 800,因此应抽取的高一学生数为100=8. 7.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级 有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知 在高一年级的学生中抽取了 6 名, 则在高二年级的学生中应抽取的人 数为( )
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) B.11 D.10

A.6 C.10 [答案] B

B.8 D.12

30 6 [解析] 设在高二年级学生中抽取的人数为 x,则40=x,解得 x =8. 8.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样 的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 ( ) A.7 C.25 [答案] B [解析] 由题意知,青年职工人数?中年职工人数?老年职工人 数=350:250:150=7:5:3.由样本中的青年职工为 7 人,得样本容量为 15. 9. 100 个个体分成 10 组, 编号后分别为第一组: 00,01,02,03, ?09; 第二组:10,11,12,?,19;??;第十组:90,91,92,?,99.现在 从第 k 组中抽取其号码的个位数字与(k+m-1)的个位数字相同的个 体,其中 m 是第一组随机抽取的号码的个位数字,则当 m=5 时,从 第七组中抽取的号码是( A.71 C.75 [答案] B [ 解 析 ] 第 七 组 中 的 10 个 号 码 分 别 为 ) B.61 D.65 B.15 D.35

60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,我们会发觉十位数字都是 6,只需确定
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个位数字即可.由题设可知个位数字与 7+5-1=11 的个位数字相 同,故被抽取的号码是 61. 10.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人.为了 调查它们的身体状况,从他们中抽取容量为 36 的样本,最适合抽取 样本的方法是( )

A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除 1 人,再用分层抽样 [答案] D [解析] 总体总人数为 28+54+81=163(人).样本容量为 36, 由于总体由差异明显的三部分组成,考虑用分层抽样.若按 36:163 取样本,无法得到整解.故考虑先剔除 1 人,抽取比例变为 36:162 2 2 =2:9.则中年人取 54×9=12(人),青年人取 81×9=18(人),先从老 2 年人中剔除 1 人,老年人取 27×9=6(人),组成容量为 36 的样本. 二、填空题 11.某地区有农民、工人、知识分子家庭共计 2004 户,其中农 民家庭 1 600 户,工人家庭 303 户.现要从中抽出容量为 40 的样本, 则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法中的________.(将你 认为正确的选项的序号都填上) ①简单随机抽样 ②系统抽样 [答案] ①②③ [解析] 为了保证抽样的合理性,应对农民、工人、知识分子分 层抽样;在各层中采用系统抽样和简单随机抽样.抽样时还要先用简 ③分层抽样

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单随机抽样剔除多余个体. 12.防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生 1600 名,采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女生比男生少 抽了 10 人,则该校的女生人数应是________. [答案] 760 [解析] 设该校的女生人数是 x,则男生人数是 1 600-x,抽样 200 1 1 1 比是1 600=8,则8x=8(1 600-x)-10,解得 x=760. 13.某地有居民 100000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家 庭 1 000 户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收 入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行调查, 发现共有 120 户 家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收入家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________. [答案] 5.7% [解析] 该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有 99

50 70 000×990+1 000×100= 5 700 户,所以所占比例的合理估计是 5 700÷ 100 000=5.7%. 14.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号, 6~10 号?, 196~200 号). 若 第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________.若用 分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.

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[答案] 37 20 [解析] 由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号 码为 22,所以第 8 组抽出的号码为 22+(8-5)×5=37. 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100,则应抽取的人数为 40 200×100=20 人. 三、解答题 15.某校 500 名学生中,O 型血有 200 人,A 型血有 125 人,B 型血有 125 人,AB 型血有 50 人.为了研究血型与色弱的关系,需从 中抽取一个容量为 20 的样本.怎样抽取样本? [分析] 由于是研究血型与色弱的关系,因此应按血型分层,用 分层抽样抽取样本. [解析] 用分层抽样抽取样本. 20 1 1 ∵500=25,即抽样比为25, 1 1 1 ∴200×25=8,125×25=5,50×25=2. 故 O 型血抽 8 人,A 型血抽 5 人,B 型血抽 5 人,AB 型血抽 2 人. 抽样步骤: 2 (1)确定抽样比50. (2)按比例分配各层所要抽取的个体数, O 型血抽取 8 人, A 型血
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抽取 5 人,B 型血抽取 5 人,AB 型血抽取 2 人. (3)用简单随机抽样分别在各种血型的人数中抽取样本,直至抽 取出容量为 20 的样本. 16.一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病 率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的 方法?并写出具体过程.
[来源:学优 GKSTK]

[分析] 采用分层抽样的方法. [解析] 因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的 发病情况差异明显,因而应采用分层抽样的方法.具体过程如下: (1)将 3 万人分成 5 层,一个乡镇为一层. (2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本: 3 2 300×15=60(人),300×15=40(人), 5 2 300×15=100(人),300×15=40(人), 3 300×15=60(人). 各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为 60,40,100,40,60. (3)将抽取的这 300 人组到一起,即得到一个样本. 17.为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表 (单位:人) 高校 A B 相关人数 x 36 抽取人数 1 y

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C (1)求 x,y;

54

3

(2)若从高校 B 相关的人中选 2 人作专题发言,应采用什么抽样 法,请写出合理的抽样过程. [解析 ] (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行

x 1 36 y 的,所以有:54=3?x=18,54=3?y=2,故 x=18,y=2. (2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下: 第一步,将 36 人随机的编号,号码为 1,2,3,?,36; 第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签; 第三步,将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次抽取 2 个号码,并记录上面的编号; 第四步,把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本. 18.为了考察某校的教学水平,将对这个学校高三年级的部分学 生的本学年考试成绩进行考察,为了全面地反映实际情况,采取以下 三种方式进行抽查:(已知该校高三年级共有 20 个教学班,并且每个 班内的学生已经按随机方式编好了学号, 假定该校每班学生人数都相 同)
[来源:学优]

(1)从全年级 20 个班中任意抽取一个班, 再从该班中任意抽取 20 人,考察他们的学习成绩; (2)每个班都抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 个学生的成绩; (3)把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽 取 100 名学生进行考察.(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生 共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人) 根据上面的叙述,试回答下列问题. (1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每
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一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少? (2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤. [ 分析 ] 本题目主要考查数理统计中一些基本的概念和基本方

法.做这种题目时,应该注意叙述的完整和条理. [解析] (1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高三全体学生 本年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成 绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试 成绩,样本容量为 20;第二种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生 本年度的考试成绩,样本容量为 20;第三种抽取方式中样本为所抽 取的 100 名学生本年度的考试成绩,样本容量为 100. (2)上面三种抽取方式中,第一种方式采用的方法是简单随机抽 样法;第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法;第三 种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法. (3)第一种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先在这 20 个班中用抽签法任意抽取一个班. 第二步,然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取 20 名学生,考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学 生,记其学号为 a. 第二步, 在其余的 19 个班中, 选取学号为 a 的学生, 共计 19 人. 第三种方式抽样的步骤如下: 第一步,分层. 因为若按成绩分,其中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通

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生共 250 人,所以在抽取样本时,应该把全体学生分成三个层次. 第二步,确定各个层次抽取的人数. 因为样本容量与总体魄个体数比为:100:1 000=1:10,所以在每 150 600 250 个层次抽取的个体数依次为 10 , 10 , 10 ,即 15,60,25. 第三步,按层次分别抽取: 在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人; 在良好生中用系统抽样法抽取 60 人; 在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人.

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