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上海市静安区2013届高三一模数学试题(理科)


静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(理科)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2013.1
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知函数 f ( x ) ?
1 2 sin( 2 ax ? 2?

7 1 16 ) 的最小正周期为 4 ? ,则正实数 a =

. . .

2.等比数列 ?a n ? ( n ? N * )中,若 a 2 ?

,a5 ?

1 2

,则 a 12 ?

3.两条直线 l 1 : 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5 x ? 12 y ? 3 ? 0 的夹角大小为
x
2

4.设圆过双曲线

?

y

2

? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲

9

16

线中心的距离是 . 5.某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风景点 中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有 种游览选择.

6.求和: C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? nC n =
1 2 3 n 2

.( n ? N * )
2

7.设数列 ?a n ? 满足当 a n ? n ( n ? N * )成立时,总可以推出 a n ? 1 ? ( n ? 1) 成立.下列 四个命题: (1)若 a 3 ? 9 ,则 a 4 ? 16 . (2)若 a 3 ? 10 ,则 a 5 ? 25 .
开始

(3)若 a 5 ? 25 ,则 a 4 ? 16 . (4)若 a n ? ( n ? 1) ,则 a n ? 1 ? n .
2 2

n←0,a←1/9, s←0 s←s+a a←3*a n←n+1 N s>100 Y 输出 s 结束

其中正确的命题是

.(填写你认为正确的所有命题序号)

8.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极轴为 x
? x ? 2 ? t, 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为 ? (t y ? 3 ?t ? 2 ?

为参数) ,则此直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 9.请写出如图的算法流程图输出的 S 值

. .

理第 9 题

10.已知 ? 、 ? 为锐角,且

1 ? sin ? ? cos ? sin ?

?

1 ? sin ? ? cos ? sin ?



? 2,

N A O B S
南 理第 11 题

则 tan ? tan ? =

.

11.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示, “海 宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西 arcsin
12 13

方向行走 13 米至点 A 处,

C

再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B 、 C 都在圆 O 上.则在以圆心 O 为坐标原点,正东方向为 x 轴正方 向,正北方向为 y 轴正方向的直角坐标系中圆 O 的方程为 .

12.过定点 F ( 4 , 0 ) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 Q T ? F Q 交 x 轴于 T 点,延长 TQ 至 P 点,使 Q P ? T Q ,则 P 点的轨迹方程是 .

13.已知直线 (1 ? a ) x ? ( a ? 1) y ? 4 ( a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在函数
y ? x? 1 x

的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是

.

14.在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、 cos( 2 t ? 虚数单位) ,则当 t 由
?
12

?
3

) ? i sin( 2 t ?

?
3

) (i 为

连续变到

?
4

时,向量 A P 所扫过的图形区域的面积是

??? ?

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若复数 z 1 z 2 ? 0 ,则 z 1 z 2 ? z 1 z 2 是 z 2 ? z 1 成立的( (A) 充要条件 条件 (B) 既不充分又不必要条件 ) (D) 必要不充分

(C) 充分不必要条件

16.等差数列 { a n } 中,已知 3 a 5 ? 7 a 10 ,且 a 1 ? 0 ,则数列 { a n } 前 n 项和 S n ( n ? N * ) 中最小的是( (A) S 7 或 S 8
x
2

) (B) S 12
? 6 x ? 12 x?2

(C) S 13

(D) S 14

17.函数 f ( x ) ?

( x ? [ 3 , 5 ]) 的值域为(


7

(A) [ 2 , 3 ] 18 . 已 知 O 是 △ ABC
cos B sin C AB ? cos C sin B

(B) [ 2 , 5 ]

(C) [ , 3 ]
3

7

(D) [ , 4 ]
3

外 接 圆 的 圆 心 , A 、 B 、 C 为 △ ABC )

的内角,若

AC ? 2 m ? AO ,则 m 的值为 (

(A) 1

(B) sin A

(C) cos A

(D) tan A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 5 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所 N M 示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, C BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△ D EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通 风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸 A B E 缩横杆. (理 19 题) (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S (平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
G

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比数列. (1)求 B 的取值范围; (2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 的取值范围.
?
4 ? x 2

)sin(

?
4

?

x 2

)+m>0 恒成立,求实数 m

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 { a n } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
(a1 ? a 2 ? ? ? a n )
2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n .

3

3

3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 、 a 2 、 a 3 ; (2)试求出数列 { a n } 的任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 间的递推关系.是否存在满足条件

的无穷数列 { a n } , 使得 a 2013 ? ? 2012 ?若存在, 求出这样的无穷数列 { a n } 的一个通项公式; 若不存在,说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的两个焦点为 F1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) , c 是 a 与 b 的等差中项,
2
2

2

其中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A ( 0 , ? b ) 和 B ( a , 0 ) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程; (2)点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 ( 0 , 2 ) ,求△ F1 PA 1 面积的最大值;

3 2



(3)已知定点 E ( ? 1, 0 ) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的
t ? 0 ,都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 函数 y ? f ( x ) ,x ? D , 其中 D ? ?. 若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x ) , 则称 y ? f ( x ) 在 D 内为对等函数.

(1)指出函数 y ?

x , y ? x , y ? 2 在其定义域内哪些为对等函数;
3

x

(2) 试研究对数函数 y ? log

a

x( a ? 0 且 a ? 1 ) 在其定义域内是否是对等函数?若是, x 在所给集合内成为对

请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? log 等函数;

a

(3)若 ?0 ? ? D , y ? f ( x ) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f ( x ) ( x ? D )的奇偶性.


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