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2011年上海市虹口区高三数学(理科)二模试卷

时间:2011-04-22


学年度第二学期高三年级数学学科 虹口区 2010 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试卷(理科) 教学质量监控测试卷(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 填空题(
1、已知集合 A = x x ≤ 2 , B = ? x
2

{

}

r />
? x+5 ? ≤ 0? ,则 A ∩ B = ? x ?1 ?




2、数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n + n ? 3 ,则通项公式 a n = 3、直线 x ? y + 5 = 0 被圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 = 0 所截得的弦长等于 4 、 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 , a1 = 1 , a 2 + a 3 = 27(



1 1 + ) ,则通项公式 a 2 a3

an =



5、 O 为起点作向量 a , , 以 b 终点分别为 A 、B . 已知:a = 2 ,b = 5 ,a ? b = ?6 , ?AOB 则 的面积等于 . 开始 6、 过抛物线 y 2 = 4 x 焦点的直线交抛物线于 A ,B 两点,若 AB = 10 ,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离 等于 . 是 S=0 T=0 n=0

7、若 P , Q 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 的三 等分点,则 tan ∠PCQ =
2

输出 T

T>S

. 结束 S=S+5

8、 不等式 x ? 3 > ax ? a 对一切 3 ≤ x ≤ 4 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 . n=n+2

9、执行右边程序框图,输出的 T =

. 第9题

T=T+n

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10、在极坐标系中,由三条直线 θ = 0 , θ = 于 .

π
4

, ρ cos θ + 2 ρ sin θ = 2 围成图形的面积等

11、从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同数作和,如果和为偶数得 2 分,和为奇数得 1 分,若 ξ 表示取出后的得分,则 Eξ =
2 2

. .

12、关于 x 的方程 x + a x + a ? 9 = 0 ( a ∈ R )有唯一的实数根,则 a =

13、公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 = 1 , a n = 51 ,则 n + d 的最小值等 于 .

14、 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) , 对任意的 x ∈ R 均有 f ( x + 4) = f ( x ) 成立, x ∈ [0, 当

2] 时,


f ( x) = x + 3 , 则直线 y =

9 与函数 y = f ( x ) 的图像交点中最近两点的距离等于 2

二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分) 选择题( 15、给定空间中的直线 l 及平面 α ,条件“直线 l 与平面 α 垂直”是“直线 l 与平面 α 内无数 条直线垂直”的( ) A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 16、如果 2 + i 是关于 x 的实系数方程 x + mx + n = 0 的一个根,则圆锥曲线
2

x2 y2 + = 1的 m n

焦点坐标是(



A. (± 1, 0)

B.

(0, ± 1)
(0 < x ≤ 9)


C. (± 3, 0)

D. (0, ± 3)

17、 已知: 函数 f ( x ) = ?

? log 3 x

?? x + 11 ( x > 9)

, a , , 均不相等, f ( a ) = f (b) = f (c ) , 若 b c 且

则 a ? b ? c 的取值范围是(

A. (0, 9)

B. (2, 9)

C.

(9, 11)

D. (2, 11)


18、已知:数列 {a n } 满足 a1 = 16 , a n +1 ? a n = 2n ,则

an 的最小值为( n

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

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三、解答题(满分 78 分) 19、 (本题满分 14 分) 已知:四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = 2 , ∠ABC = 60° , E , F 分别是 BC , PC 的中点. P (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求二面角 F ? AE ? C 的大小.
F A D

B

E

C

20、 (本题满分 14 分) 已知: 函数 f ( x) = p sin ωx ? cos ωx ? cos 2 ωx ( p > 0, ω > 0) 的最大值为 (1)求: p , ω 的值, f (x ) 的解析式; (2)若 ?ABC 的三条边为 a , b , c ,满足 a = bc , a 边所对的角为 A .求:角 A 的取值
2

1 π , 最小正周期为 . 2 2

范围及函数 f (A) 的值域.

21、 (本题满分 16 分)数列 {a n } 中, a n > 0 , a n ≠ 1 ,且 a n +1 = (1)证明: a n ≠ a n +1 ; (2)若 a1 =

3a n ? (n∈ N ) . 2a n + 1

3 ,计算 a 2 , a3 , a 4 的值,并求出数列 {a n } 的通项公式; 4

(3)若 a1 = a ,求实数 p ( p ≠ 0 ) ,使得数列 ?

? p + an ? ? 成等比数列. ? an ?

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22、 (本题满分 16 分)已知:椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) ,过点 A( ? a, 0) , B (0, b) 的 a2 b2
3 . 2

直线倾斜角为

π
6

,原点到该直线的距离为

(1)求椭圆的方程; (2) 斜率大于零的直线过 D (? 1, 方程; (3)是否存在实数 k ,直线 y = kx + 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点

0) 与椭圆交于 E ,F 两点,若 ED = 2 DF ,求直线 EF 的

D(? 1, 0) ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

23、 (本题满分 18 分) 对于定义域为 D 的函数 y = f (x ) ,如果存在区间 [ m, ① f (x ) 在 [ m,

n] ? D ,同时满足:

n] 内是单调函数; n] 时, f (x) 的值域也是 [m, n] .

②当定义域是 [ m, 则称 [ m,

n] 是该函数的“和谐区间” .
5 不存在“和谐区间” . x

(1)求证:函数 y = g ( x ) = 3 ? (2)已知:函数 y =

(a 2 + a) x ? 1 ( a ∈ R, a ≠ 0 )有“和谐区间” [ m, n] ,当 a 变化时, a2x

求出 n ? m 的最大值. (3)易知,函数 y = x 是以任一区间 [ m,

n] 为它的“和谐区间” .试再举一例有“和谐区间”

的函数,并写出它的一个“和谐区间” (不需证明,但不能用本题已讨论过的 y = x 及形如 .

y=

bx + c 的函数为例) ax

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学年度第二学期高三年级数学学科 虹口区 2010 学年度第二学期高三年级数学学科 教学质量监控测试卷答案(理科) 教学质量监控测试卷答案(理科) 答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 x ? 2 ≤ x < 1 ; 5、 ;4 10、 6、 ;4 11、

{

}

2、 ?

?? 1 (n = 1) ; ? 2 n ( n ≥ 2)
3 4

3、2;

4、 3 n ?1 ; 9、 ;30

7、 ;

8、 a < 3 ; 13、16;

2 ; 3

7 ; 5

12、3;

14、1

二、选择题(每小题 4 分,满分 16 分) 15、B; 16、D; 17、C; 18、B; 三、解答题(满分 78 分) 19、(14 分)(1) V P ? ABCD =

P

4 3 …………4 分 3
F A O G B E C D

(2) AC 的中点 O, 取 连接 FO, F 为 PC 中点, FO // PA Q ∴ 且 FO =

1 PA , 又 PA ⊥ 平 面 ABCD , ∴ FO ⊥ 平 面 2

ABCD .……………………6 分 过 O 作 OG ⊥ AE 于 G, ∠FGO 就是二面角 F ? AE ? C 则
的平面角.…………………………8 分 由 FO = 1 , GO =

1 ,得二面角的大小为 arctan 2 ………………14 分 2

p 1 1 20、 (14 分) (1) f ( x) = sin 2ωx ? cos 2ωx ? = 2 2 2


p2 +1 1 1 sin(2ωx ? arctan ) ? , 2 p 2

2π π = ,得 ω = 2 ………………2 分 2ω 2
p2 +1 1 1 ? = 及 p > 0 ,得 p = 3 ………………4 分 2 2 2



∴ f ( x) = sin( 4 x ?
(2) cos A =

π
6

)?

1 …………6 分 2

b 2 + c 2 ? a 2 b 2 + c 2 ? bc 2bc ? bc 1 = ≥ = .………………8 分 2bc 2bc 2bc 2
高三数学试卷(理) 本试卷共 4 页 第5页

A 为三角形内角,所以 0 < A ≤

π
3

………………10 分

∴?

π
6

< 4A ?

π
6



7π 1 π 1 , ? ≤ sin( 4 A ? ) ≤ 1 ,∴ ?1 ≤ f ( A) ≤ …………14 分 6 2 6 2

21、 (16 分) (1)若 a n = a n +1 ,即

3an = an ,得 a n = 0 或 a n = 1 与题设矛盾, 2an +1

∴ a n ≠ a n +1 ……4 分
(2) a 2 =

9 27 81 , a3 = , a4 = …………6 分(错一个扣 1 分,错 2 个全扣) 10 28 82 3n ,再用数学归纳法证明.…………10 分 3n + 1

解法一:用数学归纳法,先猜想 a n =

解法二: ,由

1 a n +1

1 1 2 1 1 1 = ( ) + ,得 ? 1 = ( ? 1) , 3 an 3 a n +1 3 an

∴数列{

1 1 1 1 1 1 ? 1} 是 首 项 为 ?1 = , 公 比 为 的 等 比 数 列 , ∴ ?1 = ( )n , 得 an a1 3 3 an 3

an =

3n …………10 分 3n + 1

p + a n +1 ? p + an ? a n +1 (2 p + 3)a n + p (3)设数列 ? = q, ? 成等比数列,公比为 q ,则 p + a = 3( p + a n ) n ? an ? an
即 ( 2 p ? 3q + 3) a n = 3 pq ? p ………………14 分

? p = ?1 ?2 p ? 3q + 3 = 0 ? 由 p ≠ 0 ,∴ {a n } 不是常数列,∴ ? ,? 1 , ? p (3q ? 1) = 0 ?q = 3 ?
此时, ?

? p + an ? 1 ? 是公比为 的等比数列………………16 分 3 ? an ?

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22、 (16 分) (1)由

b 3 1 1 3 = ? a 2 + b 2 ,得 a = 3 , b = 1 , , a ?b = ? a 3 2 2 2

所以椭圆方程是:

x2 + y 2 = 1 ……………………4 分 3

x2 (2)设 EF: x = my ? 1 ( m > 0 )代入 + y 2 = 1 ,得 (m 2 + 3) y 2 ? 2my ? 2 = 0 , 3
设 E ( x1 ,

y1 ) , F ( x 2 ,

y 2 ) ,由 ED = 2 DF ,得 y1 = ?2 y 2 .

由 y1 + y 2 = ? y 2 =

2m ?2 2 , y1 y 2 = ?2 y 2 = 2 ……………………8 分 2 m +3 m +3 2m 2 1 得 (? 2 ) = 2 ,∴ m = 1 , m = ?1 (舍去)(没舍去扣 1 分) , m +3 m +3

直线 EF 的方程为: x = y ? 1 即 x ? y + 1 = 0 ……………………10 分

x2 (3)将 y = kx + 2 代入 + y 2 = 1 ,得 (3k 2 + 1) x 2 + 12kx + 9 = 0 (*) 3
记 P ( x1 ,

y1 ) , Q( x 2 , y1 ) ? ( x 2 + 1,

y 2 ) , PQ 为 直 径 的 圆 过 D(? 1, 0) , 则 PD ⊥ QD , 即

( x1 + 1,
2

y 2 ) = ( x1 + 1)( x 2 + 1) + y1 y 2 = 0 ,又 y1 = kx1 + 2 , y 2 = kx 2 + 2 ,

得 (k + 1) x1 x 2 + ( 2k + 1)( x1 + x 2 ) + 5 =

? 12k + 14 = 0 .………………14 分 3k 2 + 1 7 7 解得 k = ,此时(*)方程 ? > 0 ,∴ 存在 k = ,满足题设条件.…………16 分 6 6

23、 (18 分) (1)设 [ m,

n] 是已知函数定义域的子集.Q x ≠ 0 , [m, n] ? (? ∞, 0) 或
5 在 [ m, n] 上单调递增. x

[m, n] ? (0, + ∞) ,故函数 y = 3 ?
若 [ m,

? g ( m) = m n] 是已知函数的“和谐区间” ? ,则 ……………4 分 ? g ( n) = n

5 = x 的同号的相异实数根. x 5 Q x 2 ? 3 x + 5 = 0 无实数根,∴ 函数 y = 3 ? 不存在“和谐区间” .………………6 分 x
故 m 、 n 是方程 3 ?

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( 2 ) 设 [ m,

n] 是 已 知 函 数 定 义 域 的 子 集 . Q x ≠ 0 , [m, n] ? (? ∞, 0) 或
(a 2 + a) x ? 1 a + 1 1 = ? 2 在 [m, n] 上单调递增. 2 a a x a x

[m, n] ? (0, + ∞) ,故函数 y =

若 [ m,

? f ( m) = m n] 是已知函数的“和谐区间” ? ,则 ……………10 分 ? f ( n) = n
a +1 1 ? 2 = x ,即 a 2 x ? (a 2 + a ) x + 1 = 0 的同号的相异实数根. a a x

故 m 、 n 是方程

Q mn =

1 > 0 ,∴ m , n 同号,只须 ? = a 2 (a + 3)(a ? 1) > 0 ,即 a > 1 或 a < ?3 时,已 a2

知函数有“和谐区间” [ m,

1 1 4 n] ,Q n ? m = (n + m) 2 ? 4mn = ? 3( ? ) 2 + , a 3 3
2 3 ………………14 分 3

∴ 当 a = 3 时, n ? m 取最大值

(3)如: y = ? x + 2 和谐区间为 [0,

2] 、 [? 1, 3] ,当 a + b = 2 的区间 [a, b] ;

y = sin

π
2

x 和谐区间为 [0, 1] ;

y = 1 ? x 2 和谐区间为 [? 1, 0] ;…………
……………………………………18 分 阅卷时, 除考虑值域外, 请特别注意函数在该区间上是否单调, 不单调不给分. 如举 y = x 及形如 y =

bx + c 的函数不给分. ax

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