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《椭圆的标准方程(一)》导学案


2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程(一)

.. 导. 学 固思

问题1

我们如何作出一个椭圆?要准确地作出一个椭圆,需要哪些

几何要素?
用图钉、一段绳子等,焦点间距离(焦距)、动点到焦点间的距离和.
问题2

你能分别写出焦点在x轴和

y轴上的椭圆的标准方程吗?

(1)椭圆的焦点为(-c,0),(c,0),椭圆上的点到两个焦点的距离 的和为 2a,记 b= a2 -c 2 ,则椭圆的标准方程为 2 + 2 =1.
a b x2 y2

(2)椭圆的焦点为(0,-c),(0,c),椭圆上的点到两个焦点的距离 的和为 2a,记 b=
y2 x2 2 2 a -c ,则椭圆的标准方程为 2 + 2 =1. a b

.. 导. 学 固思
如何理解椭圆的定义?如何求解椭圆的标准方程?

问题3

椭圆的几何意义是椭圆上的点到两个焦点的距离的和为定长. 由此可以得到,求椭圆的标准方程的基本方法是求焦点间的距离和椭 圆上点到两焦点的距离和.
问题4

轨迹为椭圆的标准方程求解时需注意什么?

动点 P 到两个定点 F1, F2 的距离为 2a,两定点距离 1 2 =2c,则动点的轨迹分以下几种情况进行讨论: (1) 当 a>c 时,动点轨迹为以 F1, F2 为焦点的椭圆; (2) 当 a=c 时,动点轨迹为线段 F1F2; (3)当 a<c 时,动点轨迹不存在.

.. 导. 学 固思
+

x2 y2 与椭圆 + =1 9 4 x2 y2 (A) + =1. 15 10 x2 y2 (C) + =1. 100 225
1 2

焦点相同的椭圆的方程为 (
x2 y2 (B) + =1. 10 15 x2 y2 (D) + =1. 225 100

A)

y2 椭圆 + =1 m+5 m -2

x2

的焦点坐标是 ( (B)(0,±7).

D

)

(A)(±7,0). (C)(± 7,0).
故焦点为(0,± 7).

(D)(0,± 7).

【解析】∵m+5>m-2,所以椭圆的半焦距 c= (m + 5)-(m-2)= 7,

.. 导. 学 固思
3

x2 y2 与椭圆 + =1 9 4

焦点相同,到两个焦点的距离和为 2 15 .

x2 y2

的椭圆的方程为

15 10

+ =1

【解析】易知椭圆的焦点为( 5,0)和(- 5,0), 又∵2a=2 15,∴a= 15, ∴椭圆方程为 + =1.
15 10 x2 y2

4

请回答“学习情境建构”中的问题.

【解析】通过观察它运行中的一些有关数据,就可以推算出它运行的轨迹是

一条特殊的曲线——椭圆,再根据这颗彗星的运行速度,就可以计算出下次它

光临地球的准确时间了.

.. 导. 学 固思

【问题1】求两个焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),且过点(5,0) 的椭圆的方程. 【解析】因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以可以设它的标准方程为
x2 y2 a2 b2

+ =1(a>b>0),
2 2

根据椭圆的定义知:2a= (5 + 3) + 0+ (5-3) + 0=10,2c=6, ∴a=5,c=3,∴b=4,∴所求椭圆的标准方程为: + =1.
25 16 x2 y2

.. 导. 学 固思
【拓展问题1】椭圆的焦距为6,椭圆上一点P到两个焦点的距离的和 为12,求椭圆的标准方程. 2 2 2 【解析】椭圆的焦距 2c=6,2a=12,∴a=6,c=3,∴b =a -c =27,

∴当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为: + =1; 当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为: + =1.
36 27 36 27 y2 x2

x2 y2

【拓展问题 2】求经过两点

1 1 1 P1(3,3),P2(0,-2)的椭圆的标准方程.
2 2

【解析】(法一)因为椭圆的位置不确定,故可以考虑两种情形.

①椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b>0),
依题意知:
1 2 3 2 1 2 (- ) 2 2

( )

+

( )

1 2 3 2

= 1,

解得:

2 = , = ,
4 2 5 1

1

= 1,

∵5<4,∴不合题意舍去;

1 1

.. 导. 学 固思
②椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b>0),
a b ( ) y2 x2

依题意知:

1 2 3 a2

+

( )

(- )

1 2 2 a2

1 2 3 b2

= 1,

解得:
x2
5
2

a2 = , b2 = ,
5 4 1

1

= 1,
y2
1 4

∴所求椭圆的标准方程为:

+ 1 =1.
2

(法二)设所求椭圆的方程为 mx +ny =1(m>0,n>0), 依题意可得:
1 2 3 1 2 n(- ) 2

m( ) + n( ) = 1, = 1,
y2
1 4

1 2 3

解得

m = 5, n = 4,

∴所求椭圆的标准方程为

+ 1 =1.
5

x2

.. 导. 学 固思
【问题2】已知A、C两点的坐标分别是(-1,0)和(1,0),点B到A、C两 点的距离之和为2m(m>0),求点B的轨迹.
【解析】由题知点 B 到 A、C 两点的距离之和为定值,故点 B 在以 A、C
x2 y2 b x2 y2 a

点的椭圆上,设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),则 2a=2m,c=1,故椭圆 标准方程为
m 2 m 2 -1

+

=1.

[问题]到两个定点的距离之和为定值,则点的轨迹一定为椭圆吗? [结论]不一定,点 B 的轨迹与 m 的取值有关,于是正确的解法为:

.. 导. 学 固思

(1)当 m>1 时,由题知点 B 到 A、C 两点的距离之和为定值,故点 B 在以 A、C 为焦点的椭圆上, 设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),则 2a=2m,c=1,故椭圆的标准方程 为
x2 m 2 m 2 -1 x2 y2 a b y2

+

=1;

(2)当 m=1 时,点 B 的轨迹为线段 AC; (3)当 0<m<1 时,点 B 的轨迹不存在.

.. 导. 学 固思
【拓展问题】三角形ABC的周长为2m+2(m>0),A,C两点的坐标分 别是(-1,0)和(1,0),求顶点B的轨迹方程.
【解析】设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),则 2a=2m,c=1,故①当 m>1 时,标准方程是
x2 m 2 m 2 -1 x2 y2 b a

+

y2

=1,

∴当 x=±m 时,A,B,C 三点共线,不能构成三角形, ∴x≠±m, ∴其轨迹为椭圆
x2 m 2 m 2 -1

+

y2

=1 上除去(±m,0)的所有点;

②当 m=1 时,点 B 的轨迹为线段 AC,构不成三角形.故 B 的轨迹不存在; ③当 0<m<1 时,点 B 的轨迹不存在.

.. 导. 学 固思

由上述问题及其拓展可以得出什么结论?
(1)椭圆的标准方程在焦点位置无法确定时,要进行讨论; (2)求解有几何意义的动点轨迹时,要注意所求的轨迹图形是否与几何意义 相符,不合要求的点要舍去; (3)椭圆的定义是求解椭圆方程的一个重要的手段和途径.

.. 导. 学 固思

1.在求解椭圆的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,然后选择
合适的标准方程形式代入. 2.焦点所在的数轴无法判断时,要利用椭圆的一般式方程求解,这 样可以避开对焦点位置的讨论. 3.求解与椭圆有关的动点的轨迹方程主要有两种方法:

.. 导. 学 固思

(1)定义法:定义法在求解时,主要抓住动点到两个顶点的距离和为 定值这一条件,有时这个条件不是直接给出的,需要我们在解答时注 意合理地将已知的条件进行转化; (2)相关点法求轨迹方程:若动点M的轨迹随着另一个动点的运动而 运动,而另一个动点又在有规律的曲线上运动,此时我们可以建立两 个动点间的关系,利用另一个点在有规律的曲线上运动这一特点,求

出动点M的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫相关点法.

.. 导. 学 固思

1.椭圆 2x2+3y2=12 的两焦点之间的距离是 ( D ) (A)2 10. (B) 10.
x2 y2 6 4

(C) 2.

(D)2 2.

【解析】原式可化为 + =1,∴c= a2 -b 2 = 2, ∴2c=2 2,故选 D.

2.椭圆的两个焦点坐标分别为(-3,0)和(3,0),椭圆上一点 P 到
x2 y2

两个焦点的距离和为 14,则椭圆的标准方程为
【解析】易知 c=3,2a=14,a=7,∴ + =1.
49 40 x2 y2

49 40

+ =1

.

.. 导. 学 固思

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0),且长轴长是 短轴长的 2 倍,求该椭圆的标准方程.
【解析】设椭圆的长短轴分别为 2a,2b,标准方程为 2 + 2 =1,又
a b x2 y2

有 a -b =(2 3) ,且 a=2b,
2 2 2

∴a=4, b=2,则该椭圆的标准方程是 + =1.
16 4

x2 y2


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