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13级:第二讲(二)圆锥曲线的参数方程


第二讲(二)

圆锥曲线的参数方程

一、椭圆的参数方程
问题1: 说说圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方 程的求解方法
? x?a? ? y ?b? ? ? ?? ? ?1 ? r ? ? r ? ?x ?a ? co s? ?x ? a ? r cos? ? r ?
2 2

令:? ? y ? b ? sin ? ? r ?

得: ? ? y ? b ? r sin ?

(? 为参数)

问题2 x2 y 2 能否用此法求解 2 ? 2 ? 1 的参数方程
a b
2

x y ? 2 ?1 2 a b
?x ? a ? cos? 令? y ? ? sin ? ?b

2

2

?

? x? ? y? ? ? ?? ? ?1 ?a? ?b?

2

2

? x ? a cos? (?为参数) ? ? ? y ? b sin ?
通 伸 变 过 缩 换 x y ? 2 ? 1可 变 以 成 2 a b
2 2

椭 参 方 的 导 圆 数 程 推 从 何 换 角 看 几 变 的 度 , 1 x? ? x a 则 圆 方 { 椭 的 程 1 y? ? y b

3

x ? 2+y ? 2 ? 1.利 圆 参 方 用 的 数 程 x ? ? cos ? { (?为 数 )可 得 椭 的 数 参 以 到 圆 参 y ? ? sin ? x ? a cos ? 方 为{ 程 y ? b sin ?

问题3、如图,以原点为圆心, 分别以a,b(a>b>0)为半径 作两个圆,点B是大圆半径OA与 小圆的交点,过点A作AN⊥ox, 垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂 足为M,求当半径OA绕点O旋转 时点M的轨迹的参数方程.
4

y A
B O N M

x

问题3、如下图,以原点为圆心,分别以a,b (a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半 径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为 N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕 点O旋转时点M的轨迹参数方程. 点M的横坐标与点A的横坐标相同, 分析:
y

点M的纵坐标与点B的 纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
5

A
B O N M

x

问题3、如下图,以原点为圆心,分别以a,b (a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半 径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为 N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕 点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 分析:设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A B A: (acosφ, a sinφ), M B: (bcosφ, bsinφ), O N
? x ? a cos ? 由已知: ? (?为参 数 ?y ? b sin?

x

)

x2 y2 消参得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M的轨迹普通方程. 6 a b

说明 1) .参数方程

x ? a cos ? y ? b sin ? 是椭圆的参数方程.

2) .在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭 圆的长半轴长和短半轴长. a>b

? 称为离心角, ? ? [0,2?)

7

? x ? a cos ? , 焦点在X 轴 ? ? y ? b sin ?. ? x ? b cos ? , 焦点在Y 轴 ? ? y ? a sin ?.

x y ? 2 ?1 椭圆的标准方程: 2 a b
椭圆的参数方程:

2

2

y A
B O M N

φ
x

? x ? a cos ? (?为参数) ? ?y ? b sin?
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
8

二、双曲线的参数方程 设M ( x, y)

y
a A

B'

在?OAA '中,x ?
| OA | b | OA ' |? ? ? cos ? cos ?

?
o B

?M
A' x

b ? sec ? ,
b

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ? 2 2 x y 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

9

y x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b a

2

2

?
A B'

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

?M
A' x

o B

? 3? b 通常规定? ? [o, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2 说明:⑴ 参数 ? 叫做双曲线的离心角

⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 2 与三角恒等式 sec ? ? tan ? ? 1 相比较而得到, 所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.
10

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

三、抛物线的参数方程
y
M(x,y)

?
o
x

11

设 物 的 通 程 抛 线 普 方 为 y ? 2px.......... 1) .( 因 点 M在?的 边 , 据 角 为 终 上 根 三 函 数 的 y 定 可 义 得 ? tan?.......... .......... .......... 2) ....( x 2p ? ?x ? tan2 ? ? 由(1), (2)解 x, y, 到 ? 出 得 ( ?为 数 参 ) ?y ? 2p ? tan? ? 这 是 物 就 抛 线 (1)(不 括 点 )的 数 程 包 顶 参 方
2
12

1 如果令t ? , t ? (??,0) ? (0,??),则有 tan? 2 ? x ? 2 pt (t为参数) ? ? y ? 2 pt 的顶点(0,0)因此当t ? (??,??)时,参数方程就表 示抛物线。参数表示抛物线上除顶点外 t 的任意 一点与原点连线的斜率 的倒数。
注:y2=2Px的参数方程也可以通过换元法 ?x ? 2pt 2 得:即令y=2Pt则得x=2pt2也即是 ?
13

当t ? 0时,由参数方程表示的 点正好就是抛物线

?y ? 2pt

四:1、运用
例题:如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P 到直线l:x-y+4=0的距离最小. y 分析1: 设P(? 8 ? 8y 2 , y ),
则d ? | ? 8 ? 8y 2 ? y ? 4 | 2
P

O

x

分析2:设P( 2

2 cos?, sin ?),
2

则d ?
14

| 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 |

例题:如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P 到直线l:x-y+4=0的距离最小.

分析3: 平移直线 l 至首

y

小结:

次与椭圆相切,切 点即为所求.
O
P

借助椭圆的参数方程,可 以将椭圆上的任意一点的坐 标用三角函数表示,利用三 角知识加以解决。

x

15

四:2、看书P31例2

P33例3

五、作业《全优设计》P21二


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