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1.2.3同角三角函数的基本关系导学案一.二doc

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《1.2.3 同角三角函数的基本关系(1)》学案
文登一中高一数学组

【自学检测】
1.下列说法正确的有 .
2

A、sin (? ? ? ) ? cos (? ? ? ) ? 1
2

B、sin 2 2? ? cos 2 2? ? 1 E、tan 90? ?


C、sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 F、cos 2

【学习目标】
能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式;掌握三种基本关系式之间的联系; 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法.

D、cos50? tan 50? ? sin 50?
2.下列四个命题中可能成立的一个是(

sin 90? cos90?

?
2

? 1 ? sin 2

?
2

【自学指导】
复习:1.你还记得任意角的三角函数的定义吗? ? 为一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) : ;cos ?? 2.你记得单位圆中的三角函数线吗? sin ? ? ; ; cos? ? tan ? ? . 则 sin ? ? 探究: 1. sin 30 ? cos 30 ?
2 2 ? ?

; tan ? ?

y


P O M

T A

角 α 的终边

1 1 A.sin ? ? 且 cos ? ? B.sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 2 2 C.tan ? ? 1且 cos ? ? ?1D.? 在第二象限时, tan ? ? ?

sin ? cos ?

x

【典型例题】
例 1.已知 sin ? ?

, , ,
2

2. sin 45 ? cos 45 ?
2 2

?

?

3. sin 60 ? cos 60 ?
2 2

?

?

s i n 3?0 ? c o s 3?0 s i n 4?5 ? c o s 4?5 s i n 6?0 ? c o s 6?0
2

4 ,且 ? 是第二象限角,求 cos ? 、 tan ? 的值. 5

, , , ,

t a n 3?0 ?
t a n 4?5 ? t a n 6?0 ?

; ; ; , 变式:已知 sin ? ?

4.角 ? 的终边经过点 ? 3, ?4? , sin ? ? cos ? ?

tan ? ?

sin ? ? cos ?

. 观察计算的结果,你有什么发现吗?
2 2

4 ,求 cos ? 、 tan ? 的值. 5

新知:同角三角函数关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ; (2)商数关系:

(k ? Z ) . 2 2 2 注意:①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等;
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的, 如

sin ? ? tan ? cos ?

a ? k? ?

?

sin ? ? tan ? cos ?

a ? k? ?
2

?
2

(k ? Z ) .
2

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) , 如: cos? ? ? 1 ? sin2 ? , sin ? ? 1 ? cos ? 反思:如何证明同角三角函数关系式? 例 2.已知 tan ? ?

12 ,求 sin ? , cos? 的值。 5

同角关系式

1

1

1 例 3.已知 α∈(0,π),sinα+cosα= ,计算下列各式的值: 3 (1)sinαcosα; (2)sinα-cosα.

当堂检测 1.已知 sinα= A.2 2. 2 5 π , <α<π,则 tanα=( 5 2 B.-2 π 1-cos2 =( 5 ) π B.cos 5 π C.-sin 5 ) C.- 9 32 9 D. 32 π D.-cos 5 C. 1 2 ) 1 D.- 2

π A.sin 5

1 变式 1、已知π <α <2π ,sinα +cosα = .求:(1)sinα cosα ; (2) sinα -cosα .(3)tanα 5

5 3.已知 sinα-cosα=- ,则 sinαcosα=( 4 A. 7 4 B.- 9 16

8 4.已知 cosα=- ,求 sinα、tanα 的值. 17

2 变式 2、角 A 为△ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= ,则这个三角形为( 3 A.锐角三角形 C.等腰直角三角形 课堂小结 (一)同角三角函数的基本关系式: 平方关系: 商数关系: (二)公式的应用:

)

B.钝角三角形 D.等腰三角形

5.已知 tanα =2,求 sinα 与 cosα 的值.

知一求二:由一个角的某一三角函数值,求出其它的两个三角函数值; (三)数学思想方法: ①分类讨论; ②方程(组)的思想.

同角关系式

2

2

《1.2.3 同角三角函数的基本关系(2)》学案
【学习目标】
根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明. 了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法.

【自学指导】
复习: (1)同角三角函数的基本关系:






sin ? (2)商数关系 tan ? ? 成立角 ? 的范围是 cos ?
(3)同角三角函数的基本关系式的应用 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ,可变形为:
2 2

sin ? ? 【典型例题】

2 1 ? cos2 ? ? ?? ,1 ? s i n ; , cos? ? ,其中“±”可由

确定.

2.已知 sin α +2cos α =0,则 2sin α ·cos α -cos2α 的值是__________.
例 3.化简下列各式:

1 例 1:已知 tanα=- ,求下列各式的值: 3 4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα 3 (2)2sin2α- sinαcosα+5cos2α; 2 1 (3) . 1-sinαcosα

1-2sin10° cos10° (1) 1-sin240° ;(2) sin10° - 1-sin210°

练习(1) 1 ? sin 440 ;
2 ?

(2) 1 ? 2 sin 2 cos2

练习.已知 tan ? ? 2,求下列各式的值:

2sin ? ? 3cos ? (1) 4sin ? ? 9 cos ? 1 (3) sin ? cos ?

2sin 2 ? ? 3cos 2 ? (2) 4sin 2 ? ? 9 cos 2 ?

(3)

1 ? cos? 1 ? cos? , (1800 ? ? ? 2700 ) . ? 1 ? cos? 1 ? cos?

.

(4)sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 4 cos 2 ?
(5)

1 1 + 1 - sin a 1 + sin a
例 3、 化简下列各式:
同角关系式 3 3

(1)

2 cos2 ? ? 1 (2) 1 ? 2 sin 2 ?

(3)已知

sin ? 1 ? cot ?
2

?

cos? 1 ? tan2 ?

? ?1 ,试判断 ? 是第几象限的角.

例 5 求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

练习:已知

sec? 1 ? sin ?
2

?

tan? csc 2 ? ? 1

? ?1 ,试判断 ? 是第几象限的角.

例 4.求证: sin 4 ? ? cos4 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 练习.求证:sin2α· tanα+cos2α· cotα+2sinα· cosα=tanα+cotα.

练习:

sin 4 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1.
同角关系式 4

当堂检测
4

1.已知已知 tanα=-4,求下列各式的值: 4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα (2) sin ? ? cos ? .
2 2

1.已知已知 tanα=-4,求下列各式的值: 4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα (2) sin ? ? cos ? .
2 2

2.化简

? 1 ? sin ? 1 ? sin ? , ( ? ? ? ? ) 当堂检测 ? 2 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2.化简

? 1 ? sin ? 1 ? sin ? , ( ?? ??) ? 2 1 ? sin ? 1 ? sin ?

当堂检测
同角关系式 5 5


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