nbhkdz.com冰点文库

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)


1988 年全国高中数学联赛试题
第一试(10 月 16 日上午 8∶00——9∶30) 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选均得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的 图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( ) - - A.y=-φ(x

) B.y=-φ(-x) C.y=-φ 1(x) D.y=-φ 1(-x) 2.已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部,那么参数 k 的取值范围是( ) A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1<k<1 D.0<|k|<1 3.平面上有三个点集 M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|<1}, N={(x,y)| 1 1 (x- )2+(y+ )2+ 2 2 1 1 (x+ )2+(y- )2<2 2}, 2 2

P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则 A.M?P?N ? ? π 命题甲:θ> ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则 A.甲是乙的充分条件但不必要 B.甲是乙的必要条件但不充分 C.甲是乙的充分必要条件 D.A、B、C 都不对 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达 式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中,正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): b4-b3 1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么 = a2-a1 2.( x+2)2n+1 的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为 . . DE 3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 = BC . B.M?N?P ? ? C.P?N?M ? ? D.A、B、C 都不成立

4.已知三个平面 α、β、γ,每两个之间的夹角都是 θ,且 α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有

4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者被淘 汰, 胜者再与负方 2 号队员比赛, ??直至一方队员全部淘汰为止, 另一方获得胜利, 形成一种比赛过程. 那 么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 三.(15 分)长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积. 四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动点 Z 满足 Z1Z=-1, 求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 1 1 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 + =1,试证:对每一个 n∈N*, a b (a+b)n-an-bn?22n-2n+1.

1988 年全国高中数学联赛二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,
?5an+1-3an(an·n+1为偶数), a an+2=? a ? an+1-an(an·n+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*,an≠0.

S?PQR 2 二.如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证: > . S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,??); ⑵ kn+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, a (n=1, 3, 2, ??); ⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,??). 并证明你的结论.

1988 年全国高中数学联赛解答
一试题 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选均得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的 图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( ) - - A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ 1(x) D.y=-φ 1(-x) -1 -1 解:第二个函数是 y=φ (x).第三个函数是-x=φ (-y),即 y=-φ(-x).选 B. 2.已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部,那么参数 k 的取值范围是( ) A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1<k<1 D.0<|k|<1 2 解:因是椭圆,故 k≠0,以(0,0)代入方程,得 k -1<0,选 D. 3.平面上有三个点集 M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|<1}, N={(x,y)| 1 1 (x- )2+(y+ )2+ 2 2 1 1 (x+ )2+(y- )2<2 2}, 2 2

P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则 A.M?P?N ? ? B.M?N?P ? ? C.P?N?M ? ? D.A、B、C 都不成立

解:M 表示以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界);N 表 1 1 1 1 示焦点为( ,- ),(- , ),长轴为 2 2的椭圆内部的点的集合,P 表示由 x+y=±1,x=±1,y=±1 围成 2 2 2 2 的六边形内部的点的集合.故选 A. 4.已知三个平面 α、β、γ,每两个之间的夹角都是 θ,且 α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有 π 命题甲:θ> ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则 A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

π π 解:a,b,c 或平行,或交于一点.但当 a∥b∥c 时,θ= .当它们交于一点时, <θ<π.选 C. 3 3 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达 式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中,正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解:均正确,选 D. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): b4-b3 1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么 = a2-a1 b4-b3 8 1 2 解:a2-a1= (y-x),b4-b3= (y-x),? = . 4 3 a2-a1 3 2.( x+2)2n+1 的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为
1 3







解:( x+2)2n+1-( x-2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn 1+C2n+125xn 2+?+C2n+122n+1). 1 令 x=1,得所求系数和= (32n+1+1). 2

5

2n+1

DE 3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 = BC DE AD 解:△AED∽△ABC, = =|cosα|. BC AC



4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者被淘 汰, 胜者再与负方 2 号队员比赛, ??直至一方队员全部淘汰为止, 另一方获得胜利, 形成一种比赛过程. 那 么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 解 画 1 行 14 个格子,每个格子依次代表一场比赛,如果某场比赛某人输了,就在相应的格子中写上 他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别). 如果某一方 7 人都已失败则在后面的格子中依次填入另一 方未出场的队员的顺序号.于是每一种比赛结果都对应一种填表方法,每一种填表方法对应一种比赛结 果.这是一一对应关系.故所求方法数等于在 14 个格子中任选 7 个写入某一方的号码的方法数. ∴共有 C14种比赛方式. 三.(15 分)长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的 体积. D 解:过轴所在对角线 BD 中点 O 作 MN⊥BD 交边 AD、BC 于 M、N,作 AE⊥BD 于 E, 则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥,底面半径 AE= 6 π 6 2 3 = .其体积 V= ( )2· 3= π.同样, 3 3 3 9 2 3 △BCD 旋转所得旋转体的体积= π. 9 其重叠部分也是两个圆锥,由△DOM∽△DAB,DO= 1 6 3 3 ∴其体积=2·π· )2· = π. ( 3 4 2 8 2 3 3 23 ∴ 所求体积=2· π- π= 3π. 9 8 72 四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动点 Z 满足 Z1Z=- 1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 1 1 1 1 1 1 1 解:Z1=- ,故得|- -Z0|=| |,即|ZZ0+1|=1.|Z+ |=| |.即以- 为圆心| |为半径的圆. Z Z Z Z0 Z0 Z0 Z0 1 1 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 + =1.试证:对每一个 n∈N*, a b (a+b)n-an-bn?22n-2n+1. 证明:由已知得 a+b=ab.又 a+b?2 ab,∴ ab?2 ab,故 a+b=ab?4.于是(a+b)k=(ab)k?22k. 又 ak+bk?2 akbk=2 (a+b)k?2k+1.下面用数学归纳法证明: 1° 当 n=1 时,左=右=0.左?右成立. 2° 设当 n=k(k?1,k∈N)时结论成立,即(a+b)k-ak-bk?22k-2k+1 成立. - - 则(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-(ak+bk)(a+b)+ab(ak 1+bk 1) - - =(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+ ab(ak 1+bk 1)?4?(22k-2k+1)+4?2k=22(k+1)-4?2k+1+4?2k=22(k+1)-2(k+1)+1.即命题 对于 n=k+1 也成立. 故对于一切 n∈N*,命题成立. 二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2, 3 DO· AB 6 ,OM= = . 2 DA 4 2 3
A B C O M E N
7

?5an+1-3an(an·n+1为偶数), a an+2=? a ? an+1-an(an·n+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*,an≠0. (1988 年全国高中竞赛试题) 分析:改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3). 证明:由 a1=1,a2=2,得 a3=7,a4=29,?? ∴ a1≡1,a2≡2,a3≡3(mod 4). 设 a3k-2≡1,a3k-1≡2,a3k≡3(mod 4). 则 a3k+1≡5?3-3?2=9≡1(mod 4);a3k+2≡1-3=-2≡2(mod 4);a3k+3≡5?2-3?1=7≡3(mod 4). 根据归纳原理知,对于一切 n∈N,a3n-2≡1,a3n-1≡2,a3n≡3(mod 4)恒成立,故 an?0(mod 4)成立,从 而 an≠0. 又证:a1≡1,a2≡2(mod 3). 设 a2k-1≡1,a2k≡2(mod 3)成立,则 当 a2k-1?a2k 为偶数时 a2k+1≡5?2-3?1≡1(mod 3),当 a2k-1?a2k 为奇数时 a2k+1≡2-1≡1(mod 3),总之 a2k+1≡1(mod 3). 当 a2k?a2k+1 为偶数时 a2k+2≡5?1-3?2≡2(mod 3),当 a2k?a2k+1 为奇数时 a2k+2≡1-2≡2(mod 3),总之, a2k+2≡2(mod 3).于是 an?0(mod 3).故 an≠0. S?PQR 2 二.如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证: > . S?ABC 9
A

1 证明:作△ABC 及△PQR 的高 CN、RH.设△ABC 的周长为 1.则 PQ= . 3 则 S?PQR PQ· PQ AR RH 1 PQ 2 = = · ,但 AB< ,于是 > , CN AB AC 2 AB 3 S?ABC AB·

P
H N Q B R C

1 1 1 1 1 1 AR 1 S?PQR 2 AP?AB-PQ< - = ,∴ AR= -AP> ,AC< ,故 > ,从而 > . 2 3 6 3 6 2 AC 3 S?ABC 9

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,??,ln,?的直线 族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,??); ⑵ kn+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, a (n=1, 3, 2, ??); ⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,??). 并证明你的结论. 证明:设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1 不存在,故 kn≠±1. 1 1 现设 kn≠0,1,则 y=kn(x-1)+1,得 bn=1-kn,an=1- ,∴ kn+1=kn- .此时 knkn+1=kn2-1. kn kn ∴ kn>1 或 kn<-1.从而 k1>1 或 k1<-1. 1 1 ⑴ 当 k1>1 时,由于 0< <1,故 k1>k2=k1- >0,若 k2>1,则又有 k1>k2>k3>0,依此类推,知当 km>1 k1 k1

1 1 1 时,有 k1>k2>k3>??>km>km+1>0,且 0< < <?< <1, k1 k2 km 1 1 1 1 2 m km+1=km- <km- =km-1- - <k - - <?<k1- . km k1 k1 km-1 k1 m 1 k1 m m0 由于 k1- 随 m 的增大而线性减小,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ?1,从而必存在一个 m 值 k1 k1 m=m1?m0,使 km1-1?1,而 1>km1=km1-1- 即此时不存在这样的直线族. 1 1 ⑵ 当 k1<-1 时,同样有-1< <0,得 k1<k2=k1- <0.若 k2<-1,又有 k1<k2<k3<0,依此类推,知当 k1 k1 1 >0,此时 km1·m1+1<0. k km1-1

1 1 1 km<-1 时,有 k1<k2<k3<??<km<km+1<0,且 0> > >?> >-1, k1 k2 km 1 1 1 1 2 m km+1=km- >km- =km-1- - >km-1- >?>k1- . km k1 k1 k1 km-1 k1 m m0 由于 k1- 随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ?-1,从而必存在一个 m km k1 值,m=m1(m1?m0),使 km1-1?-1,而-1<km1=km1- 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线族不存在. 1 <0,此时 km1·m1+1<0. k km1-1

厦门市参加 2010 年福建省高中数学竞赛 暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知
贵校教务处转数学教研组: 根据闽科协发【2010】39 号文件《关于举办 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》 ,以及省 数学会《关于 2010 年福建省高中数学竞赛暨 2010 年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》 ,根据我市情 况,有关竞赛工作通知如下:

一、赛制、竞赛时间和命题范围
竞赛分预赛和复赛两个阶段。 1.预赛: (1)时间:2010 年 9 月 11 日(星期六)9:00——11:30,在本市考点进行。 (2)试题来源:预赛试题由福建省数学学会组织命题,同时也作为《2010 年福建省高中数学竞赛》的 试题,试题类型以全国联赛类型为主,适当补充少量全国联赛加试部分的内容。 (3)试卷结构:填空题 10 题,每题 6 分,满分 60 分;解答题 5 题,每题 20 分,满分 100 分。全卷 满分 160 分。考试时间 150 分钟。 2.复赛 (1)时间与地点:2010 年 10 月 17 日(星期日)8:00——12:10,集中在福州一中旧校区进行考试。 其中联赛时间为 8:00—9:20,加试时间为 9:40—12:10。 (2)试题来源与命题要求:复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围 以现行高中数学教学大纲为准,加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。 根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求,全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超过教育部 2000 年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但方法的要求上有所提高。主 要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合、灵活运用知识的能力。 全国高中数学联赛加试(二试)与中国数学奥林匹克(冬令营) 、国际数学奥林匹克接轨,在知识方面 有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容。 (3)试卷结构: 全国高中数学联赛(一试)试卷结构为:填空题 8 题,每题 8 分,满分 64 分;解答题 3 题,分别为 16 分、20 分、20 分,满分 56 分。全卷满分 120 分。考试时间 80 分钟; 全国高中数学联赛加试(二试)试卷结构为:4 道解答题,涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。 每题 50 分。满分 200 分。考试时间 150 分钟。

二、参赛对象
本学年度的在校高中学生均可报名,自愿参加,不影响学校的正常教学秩序。

三、报名、报名费和准考证
采用网上报名。在各校教务处的指导下,由高二年数学备课组长具体负责,组织学生报名参加竞赛。 报名表请参照样表、统一用 Excel 文档并按要求认真填写,根据省数学会要求,报名时需将所有参加考试 的考生的花名册上交,为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据,务必请各校认真填 写报名表, 指导教师以报名表上登记的为准 (每名学生只能上报 1 名指导教师) 赛后不得更改。 , 报名费 (按 省数学会通知)统一收取每生 18 元。 各参赛学校请将报名表的电子文本用 E.mail 发送至电子油箱 xmczm@126.com; 报名费请直接汇入建设 银行活期存折,存折户名:陈智猛,ATM 卡号:4367421930036257416。报名截止时间是 6 月 25 日,

逾期不予受理。
请保留汇款的凭单备查,将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至 13806039993,短信 联系进行报名的确认。9 月初召开考务会同时领取准考证,准考证请各校自行填写,由备课组长保管,考前 30 分钟再发给考生。

四、考号安排

学 校 厦门一中 双十中学 厦门六中 外国语学校 科技中学 厦门二中 湖滨中学 集美中学 英才学校 灌口中学 乐安中学 同安一中 启悟中学 第二外国语学校 翔安一中 新店中学 内厝中学 诗扳中学

考号安排 10001——10600 10601——11200 11201——11800 11801——12400 12401——13000 13001——13200 13201——13400 20001——20400 20401——20600 20601——28000 20801——21000 30001——30600 30601——30800 30801——31000 40001——40400 40401——40600 40601——40800 40801——41000

学 校 松柏中学 厦门三中 华侨中学 禾山中学 大同中学 康桥中学

考号安排 13401——13600 13601——13800 13801——14000 14001——14200 14201——14400 14401——14600

厦门十中 杏南中学 海沧中学 海沧实验中学 东山中学 五显中学 国祺中学

21001——21400 21401——21600 21601——21800 21801——22000 31001——31200 31201——31400 31401——31600

五、考务:
有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。

六、奖项:
按参赛人数的 5%从高分到低分确定复赛入围者;预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以 直接参加复赛。 另外,符合下列条件之一者可直接进入复赛: (1)2008 年、2009 年全国高中数学联赛(福建赛区)一、二等奖获得者; (2)2010 年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者; (3)2010 年福建省高一数学竞赛(省)前十五名获得者; (4)2010 年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。 复赛试卷经省数学会评定后,评出(省级)全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定, 获得(省级)全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意:一等

奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。
省数学会评出《2009 年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后,我市在省奖之外再评出市一等奖、 二等奖、三等奖,以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性,研究决定:按报名人数 给学校不低于 10%的市级(以上)获奖名额,鼓励学生。

厦门市教育科学研究院 基础教育研究室 厦门市教育学会 数学教学专业委员会 2010 年 5 月 13 日

附:2010 年全国高中数学联赛福建赛区(厦门)竞赛报名表
考号 学生姓名 性别 年级 所在学校 指导教师

考生总数

(人)

应交金额

(元)

(注:报名表的指导教师栏请认真填写,赛后不得更改)

1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 对于每个自然数 n,抛物线 y ? (n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|
2 2

+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是(

)

y
1

-9?1 O ?1 1 x

1991 1992 (A)

1992 (B) 1993

1991 1993 (C)

1993 1992 (D)
)

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( (A)(x+ (C)(x+

1 ? y 2 )(y+ 1 ? x 2 )=0 1 ? y 2 )(y? 1 ? x 2 )=0

(B)(x? (D)(x?

1 ? y 2 )(y? 1 ? x 2 )=0 1 ? y 2 )(y+ 1 ? x 2 )=0
(? Si )
i ?1 4

3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 ? = (A)2< ? ?4 (B)3< ? <4 (C)2.5< ? ?4.5 (D)3.5< ? <5.5

/S,则 ? 一定满足(

)

4. 在△ABC 中, A, , 的对边分别记为 a, , (b?1), 角 B C b c 且 (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (C)是等腰直角三角形

C,s B n i A s A 都是方程 log b x =log (4x?4)的根, ABC( n i 则△
b

)

(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
2 2

5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( (A)8

)

3

(B)4

3

(C)6

3

(D)12

3

6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f(10+x) ? f(10?x), f(20?x) ? ?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 二.填空题(每小题 5 分共 30 分) (B)偶函数,但不是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数

1.

1,1,1 x z x y z 成等差数列,则 z ? x 的值是______. 设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且

2. 在区间[0,?]中,三角方程 cos7x ? cos5x 的解的个数是______. 3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则 k 的最大值是 _____.

4.

z2 z 设 z ,z 都是复数,且|z |=3,|z |=5|z +z |=7,则 arg( 1 ) 的值是______.
3 1 2 1 2 1 2

5. 设数列 a1,a2,?,an,? 满足 a1 ? a2 ? 1,a3 ? 2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3 ? an+an+1 +an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是__ __.

6. 函数 f(x)=

x4 ? 3x2 ? 6x ? 13 ? x4 ? x2 ? 1 的最大值是_____.
80

16 ? ? 1 ? 17 k k ?1 三、(20 分)求证: .
- 10 -

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依

次是 D,E,F,已知 AD=

7 15 ,BE= 2 CF= 10 ,求 l 与 m 的距离.

xn ?1 ? x?n ?1 1 ?1 ? 1),令 y=x+ x . ? x?x 五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x) (x?0,
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:
1 i ? y n ? Cn?1 y n?2 ? ? ? (?1)i Cn?i y n?2i ? ? ? (?1) 2 , (i ? 1,2,?, n , n为偶数) ? 2 n ?1 n ?1 ? n 1 n?2 i i n ? 2i 2 2 ? y ? Cn?1 y ? ? ? (?1) Cn?i y ? ? ? (?1) Cn?1 , (i ? 1,2,?, n ? 1 , n为奇数) ? 2 2 n

fn(x)=

1993 年全国高中数学联合竞赛试卷 第 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 若 M={(x,y)| |tg?y|+sin ?x ? 0},N={(x,y)| x +y ?2},则 M ? N 的元素个数是(
2 2 2







(A)4 2. 已知 f (A)?5

(B)5

(C)8

(D)9 )

(x)=asinx+b+4(a,b 为实数),且 f (lglog310) ? 5,则 f(lglg3)的值是( (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值

3. 集合 A,B 的并集 A ? B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数是( (A)8 (B)9 (C)26 (D)27



4. 若直线 x=

? 4 被曲线 C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d,当 a 变化时
)

d 的最小值是(
(A)

? 4

(B)

? 3

? (C) 2

(D)?

5.

sin C ? A ? cos C ? A 2 2 的值 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h,则
是( )

(A)1

(B)

1 2

1
(C) 3 (D)?1 - 11 -

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x
F1

O (A)

x (B) (C) (D)

6. 设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z?C,则方程| z+ni|+| z-mi|=n 与| z+ni|-|z-mi|=-m 在同一复平 面内的图形(F1,F2 为焦点)是( 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1-i)x +(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条件是 ? 的取值范围为
2

)

________.

2. 实数 x,y 满足 4x -5xy+4y =5,设

2

2

1 ? 1 ? Smax Smin _____ S=x +y ,则
2 2

__.

3.

5? 若 z?C,arg(z ?4)= 6
2

? ,arg(z +4)= 3 ,则 z 的值是_
2

_______.

4.

? 1093 ? ? 31 ? 整数 ?10 ? 3 ? 的末两位数是_______.

log x0 1993 ? log x1 1993 ? log x2 1993
5. 设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 最大值是_____ __.
x1 x2 x3

k ? log x0 1993
?
x3

恒成立,则 k 的

6. 三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的, 倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则不然,如 531 倒过来看是 二用,于是至多可以少打印__ 三. (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证 明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D? ,则 D? 为三棱锥 S-ABC 的外接球球心. 四. (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不同的交点,当这四点共圆时, 求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.
2

,因此,有些卡片可以一卡

___张卡片.

- 12 -

五. (本题满分 20 分)

设正数列 a0,a1,a2,?,an,? 满足

anan ?2 ? an ?1an ?2 ? 2an ?1 (n?2)且 a =a =1.求{a }的通项公式.
0 1

n

1994 年全国高中数学联赛试题 第 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0 都成立的充要条件是 一 试

(A)a,b 同时为 0,且 c>0

(B)

a 2 ? b2 ? c a 2 ? b2 ? c

(C)

a 2 ? b2 ? c

(D)

2.给出下列两个命题:
2

(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a

? b 2 ? c 2 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ; ? b 2 ? c 2 ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 .

(2)设 a,b,c 都是复数,如果 a 那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误

2

(B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

3. 已知数列 {a n } 满足 3an ?1 的最小整数 n 是 (A)5 (B)6

? an ? 4(n ? 1) , a1 ? 9 , n 项之和为 S n , 且 其前 则满足不等式

| S n ? n ? 6| ?

1 125

(C)7

(D)8

0 ? b ?1, 0 ? a ?
4.已知 小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x

?

logb sin a y ? (cos a) logb cos a , z ? (sin a ) logb cos a 的大 4 ,则下列三数: x ? (sin a ) ,

(C)z<x<y

(D)x<y<z

5.在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

(
(A)

n?2 ? ,? ) n

(
(B)

n ?1 ? ,? ) n

(0, ) 2 (C)

?

(
(D)

n ? 2 n ?1 ?, ?) n n

- 13 -

| x ? y| | x ? y| ? ?1 2b 6.在平面直角坐标系中,方程 2a (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(?1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是__ ____.

x, y ?[ ?
2.已知

? ?

, ], a ? R ? 3 4 y ? sin y cos y ? a ? 0 ,则 cos( x ? 2 y) =_____. 4 4 且?

?

x 3 ? sin x ? 2a ? 0

5 5 A ? {( x, y) | ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? ( ) 2 } B ? {( x, y) | ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( ) 2 } 2 2 3.已知点集 , ,则点集 A ? B
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.

sin (1 ? cos? ) 2 4.设 0 ? ? ? ? ,则 的最大值是______.
5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,则 sin ? =___

?

6.已知 95 个数 a1 , a2 , a3 ,?, a95 , 每个都只能取+1 或 ?1两个值之一,那么它们的两两之积的和

a1a2 ? a1a3 ???a94 a95 的最小值是_

__.

1995 年全国高中数学联赛 第 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设等差数列 {an} 满足 3a8 一 试

? 5a13 且 a1 ? 0 ,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是(
(C) S 20 (D) S 21

)

(A) S10

(B) S11

- 14 -

2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1, Z2 ,?, Z20 ,则复数 Z1 对应的不同的点的个数是( (A)4 (B)5 (C)10 ) (D)20

1995

,Z2

1995



1995 ?, Z20 所

3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果某人不亚于其他 99 人,就称 他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 )

4. 已知方程

| x ? 2n | ? k x (n ? N ) 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是(

)

(A) k

?0

0?k ?
(B)

1 2n ? 1

1 ?k? 2n ? 1 (C)

1 2n ? 1
(D)以上都不是

5.

logsin 1 cos1, logsin 1 tg1, logcos 1 sin1, logcos 1 tg1 的大小关系是( logsin 1 cos1 ? logcos1 sin1 ? logsin 1 tg1 ? logcos 1 tg1 logcos 1 sin1 ? logcos1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logsin 1 tg1 logsin 1 tg1 ? logcos1 tg1 ? logcos 1 sin1 ? logsin 1 cos1 logcos 1 tg1 ? logsin 1 tg1 ? logsin 1 cos1 ? logcos1 sin1

)

(A)

(B)

(C)

(D)

6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延长线分别交于 Q,R,则和



1 1 1 ? ? PQ PR PS
(B 有最小值而无最大值 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

(A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

1. 设 ? , ? 为一对共轭复数,若

|? ? ? | ? 2 3 ,且

? ?2

为实数,则 |? | ? _____.

2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.

- 15 -

3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程

lg 2 x ? [lg x ] ? 2 ? 0 的实根个数是______.

4.

? y ? 3x ? x ? y? 3 ?x ? y ? 100 ? 直角坐标平面上,满足不等式组 的整点个数是______.

5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使用,那么不同的染色方 法的总数是______. 6. 设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时, 15x 一九九六年全国高中数学联合竞赛 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 2 2 2 2 1. 把圆 x + (y –1 ) =1 与椭圆 9x + (y + 1) = 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是_________. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536, 公比是 q= (A) T9 (B) T11 (C) T12

? A ,则 A 中元素的个数最多是______.

?

1 2 . 用 Tn 表示它的前 n 项之积,则 Tn(n?N)最大的是____________
(D) T13

3.存在在整数 n,使 是整数的质数 p . (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个

p?n ? n

1 4 设 x?(– 2 ,0),以下三个数: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)? 的大小关系是
(A) ?3 < ?2 < ?1 (B) ?1 < ?3 < ?2 (C) ?3 < ?1 < ?2 (D) ?2 < ?3 < ?1 2 2 5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数 f(x) = x + px + q 与 g(x) = x + () 在同一点取相同的最小值, 那么 f (x)在该区间上的最大值是__________.

__________.

4?

(A) (C) (D)以上答案都不对 6.高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1, 球心 O1 在圆台的轴上. 球 O1 与圆台上底面、 侧面都相切. 圆台内可再放入一 个半径为 3 的球 O2, 使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球 O2, 圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是_____________. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1. 集合{x| –1? log ()10 <– , x?N}的真子集的个数是_____________________.

11 3 5 2 ?3 4 4? 3 2 ?3 4 4 2 (B)

1?

13 2 ?3 4 2

1 ? 2. 复平面上非零复数 z1、z2 在以 i 为圆心 1 为半径的圆上,z1z1 的实部为零,z1 的辐角主值为 6 ,则 z 2 =
____________. 3.曲线 C 的极坐标方程是 ? = 1 + cos?, 点 A 的极坐标是(2, 0). 曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________.

4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种 颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染 色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以 199 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为 - 16 -

_______________.

1997 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 5 日上午 8:00?10:00) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{

xn }满足 xn ?1 ? xn ? xn ?1 (n?2),x ? a,
1

x2 ? b, 记 Sn ? x1+x2+?+xn,则下列结论正确的是

(A)x100=-a,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a

(B)x100=-b,S100?2b-a (D)x100=-a,S100=b-?a

2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得

A E B F C
(C) (D)

AE ? CF ? ? (0 ? ? ? ??) EB FD ,


f (? ) ? ?? ? ?? 其中 ? ? 表示 EF 与 AC 所成的角, ? ? 表示 EF 与 BD 所成的角,则
f (? ) 在 (0,??) 单调增加 f (? ) 在 (0,??) 单调减少

D

(A) (B)

f (? ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+ ?) 单调减少 f (? ) 在(0,+ ? )为常数
2

3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个

4.在平面直角坐标系中,若方程 (A)(0,1) (B)(1,+ ?)

m( x2 ? y 2 ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范围为
(C)(0,5) (D)(5,+ ?)

5.设 (A) (C)

f ( x) ? x2 ? ?x ,?

1
? arcsin 3 ,

? ? arctg 5 , ? ? arccos( 1), ? ? arcctg(? 5 ) ?
4 3 4
(B) (D)

,则

f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? )

f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? )

6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条

- 17 -

二、 填空题(每小题 9 分,共 54 分)

?( x ? 1)3 ? 1997 ( x ? 1) ? ?1 ? ( y ? 1)3 ? 1997 ( y ? 1) ? 1 ,则 x+y 设 x,y 为实数,且满足 ?

?

.

过双曲线

x2 ?

y2 ?1 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 ? 使得|AB| ? ? 的直线 l 恰有 3 条,则 ? =


.

| 2z ? 1 | ? 1 z 已知复数 z 满足 ,则 z 的幅角主值范围是
球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .

已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个 设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳 动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 设 a ?lgz+lg[x(yz) +1], ?lgx +lg(xyz+1), ?lgy+lg[(xyz) +1], a, c 中最大数为 M, M 的最小值为 b c 记 b, 则
?1 ?1 ?1

种. .

一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 11 日上午 8∶ 00—10∶ 00) 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a>1,b>1 且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a?1)+lg(b?1)的值 (A) 等于 lg2 (B)等于 1 (C)等于 0 (D)不是与 a,b 无关的常数 2. 若非空集合 A={x | 2a+1?x?3a?5},B={x|3?x?22},则能使 A?A ? B 成立的所有 a 的集合是( (A){a|1?a?9} (B){a|6?a?9} (C){a|a?9} (D) ? 3. 各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( (A) 150 (B) ?200 (C) 150 或?200 (D)400 或?50 ) )

4.

a1 b1 c1 ? ? a b2 c2 设命题 P:关于 x 的不等式 a x +b x+c >0 与 a x +b x+c >0 的解集相同;命题 Q: 2
2 2 1 1 1 2 2 2

。则命题 Q

(A)是命题 P 的充分必要条件 (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5. 设 E ,F,G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C?FG?E 的大小是(

)

A
(A)

arcsin

6 3

?
(B) 2

? arccos

3 3 2 2

E

?
D

B F C G

(C) 2 (D) 6. 在正方体的 8 个顶点, 条棱的中点, 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 12 6 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37

? arctg 2

? ? arcctg

二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

1. 若 的排列是_________________.

f ( x)( x ? R) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f (x) ? x1998 ,则

1

98 101 104 f( ) f( ) f( ) 19 , 17 , 15 由小到大

2. 设复数 z= cos? ? i sin? ( 0? ? ? ?18 0? ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不 共线时,以线段 PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S,则点 S 到原点距离的最大值是_______. 3. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有________种. 4. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的数列至多有___________项.

- 18 -

5. 若椭圆

x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 x 2 ? 2 y 有公共点,则实数 a 的取值范围是_____________.
6. △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折

A

起,使 A,B 两点间的距离为 2 ________.

2 ,此时三棱锥

A?BCM 的体积等于

C

M

B

三、 (本题满分 20 分) 已知复数 z=1?sin ? +icos ? (

?
2

?? ??

),求 z 的共轭复数 z 的辐

角主值。 四、 (本题满分 20 分) 设函数

f ( x) ? ax 2 ? 8x ? 3 (a<0),对于给定的负数

a,有一个最大的正数 l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不

等式|f (x)|?5 都成立。 问:a 为何值时 l(a)最大?求出这个最大的 l(a),证明你的结论。 五、 (本题满分 20 分) 已知抛物线

y 2 ? 2 px 及定点 A(a, b) ,B(?a,0), (ab ? 0, b 2 ? 2 pa) ,M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线

的另一交点分别为 M1,M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1,M2 存在且 M1≠M2) ,直线 M1M2 恒过一个定点,并求出这个定点的坐标。 1999 年全国高中数学联合竞赛

一. 选择题(满分 36 分,每小题 6 分) 1. 给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an}, b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, 设 ?, bn=a3n?2+a3n?1+a3n,?, 则数列{bn}( (A)是等差数列 (C)是公比为 q 的等比数列
3

)

(B)是公比为 q 的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列
2 2

2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (| x |-1) +(| y |?1) <2 的整点(x,

y)的个数是(
(A)16

) (B)17 (C)18 (D)25

3. 若(log23) ?(log53) ?(log23)
x x

?y

?(log53)

?y

,则(

) (D)x+y?0

(A)x?y?0

(B)x+y?0

(C)x?y?0

4. 给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ:若平面 ? 上的直线 a 与平面 ? 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 ? 与 ? 的交线,那么,c 至多与 a,b 中的 一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。

- 19 -

那么,(

) (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (D)两个命题都不正确

(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (C)两个命题都正确

5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部 比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的场数是( (A)0 (B)1 (C)2
2

)

(D)3 )

6. 已知点 A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线 y =4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是( (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定

二. 填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 1. 已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样的 n 的个数是___________.

2.

cos2? ? i sin 2? 5 z? 239 ? i 已知 ? =arctg 12 ,那么,复数

的辐角主值是______

___.

3.

ctgC 在△ABC 中,记 BC=a,CA=b,AB=c,若 9a +9b ?19c =0,则 ctgA ? ctgB =__________.
2 2 2

4.

x2 y 2 ? ?1 9 已知点 P 在双曲线 16 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的
等差中项,那么,P 的横坐标是_____.

5. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,,3}中的 3 个不同的元素,并且该直线的 倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是__ ____.

6. 已知三棱锥 S?ABC 的底面是正三角形, 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心, A 二面角 H?AB?C 的平面角等于 30?,

SA=2

3 。那么三棱锥 S?ABC 的体积为__________.
x2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin? ? 0 恒成立,试求的取值范围.

三、(满分 20 分)已知当 x?[0,1]时,不等式

5 x2 y 2 ? ?1 四、(满分 20 分)给定 A(?2,2),已知 B 是椭圆 25 16 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ 3 |BF|取最小值时,求
B 的坐标.
2 a12 ? an ?1 ?M 的所有等差数列 a ,a ,a ,?.,试求 S=a
1 2 3

五、(满分 20 分)给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 +?+a2n+1 的最大值.

n+1

+an+2

- 20 -

2000 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 15 日上午 8:00-9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1.设全集是实数,若 A={x|

?0},B={x|

=

},则

是( )

(A){2} (B){-1} (C){x|x?2} (D)

2.设 sina>0,cosa<0,且 sin

>cos

,则

的取值范围是( )

(A)(2kp+

,2kp+

),k?Z (B)(

+

,

+

),k?Z

(C)(2kp+

,2kp+p),k?Z (D)(2kp+

,2kp+

)

(2kp+

,2kp+p),k?Z

3.已知点 A 为双曲线 x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ABC 的面积是( )

(A)

(B)

(C)3

(D)6

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p1q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线

的距离中的最小值是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

6.设

,则以 w,w3,w7,w9 为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0 (C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=__________.

- 21 -

8.设 an 是(3-

的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?),则

)=________.

9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________.

10.在椭圆 则∠ABF=_________.

(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是



11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a1b,b1c,c1d,d1a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,

那么,可以组成的不同的四位数 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

的个数是_________.

13.设 Sn=1+2+3+?+n,n?N,求 f(n)=

的最大值.

14.若函数

在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b].

15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为项点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论。

2001 年全国高中数学联合竞赛题 2 2 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点; 以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是

? y=lg|sinx|中以?为周期、在(0, 2 )上单调递增的偶函数是

( A ) k=8 于

3

??
( B ) 0<k ? 12 。 - 22 ( C ) ? 12 ( D ) 0<k ?

1 2 ? cos?

的短轴长等

3 8、若复数 z ,z 满足|z |=2,|z |=3,3z -2z = 2 -I,则 z z =
1 2 1 2 1 2 1 2

。 。

9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

1 3 ?2 ? log 1 x 2
10、不等式
2

的解集为



A F E D B C

11、函数 的值域为 。 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一场块中种同一种植物,相邻的两块种 不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案。 一、 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且
n ? ??

y ? x ? x 2 ? 3x ? 2

b1 ? a1

2



b2 ? a 2

2



b3 ? a 3

2

(a1<a2),又

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1

,试求{an}的首项与公差。

x ? y2 ? 1 2 14、设曲线 C : a (a 为正常数)与 C :y =2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。
2 1 2

2

(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ;

(2) 1 15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻, (a 才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

1 O 为原点,若 C 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 2 时,试求⊿OAP 的面积的最大值(用 a 表示) 。

2002 年全国高中数学联赛试题及参考答案 试题 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、函数 f (x)=log1/2(x -2x-3)的单调递增区间是( (A) (-∞,-1)
2 2

) 。 (D) (3, +∞) ) 。

(B) (-∞,1)
2 2 2

(C) (1,+∞)
2

2、若实数 x,y 满足(x+5) +(y-12) =14 ,则 x +y 的最小值为( (A)2 (B)1
x

(C)√3 )

(D)√2

3、函数 f(x)=x/1-2 -x/2( (A)是偶函数但不是奇函数 (C)既是偶函数又是奇函数
2 2

(B)是奇函数但不是偶函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数 ) 。

4、 直线 x/4+y/3=1 与椭圆 x /16+y /9=1 相交于 A, 两点, B 该椭圆上点 P, 使得Δ PAB 面积等于 3, 这样的点 P 共有 (

- 23 -

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

5、已知两个实数集合 A={a1,a2,?,a100}与 B={b1,b2,?,b50} ,若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象,且 f(a1)?f(a2)???f(a100)则这样的映射共有( ) 。 (A)C
50 100

(B)C
2

48 99

(C)C

49 100

(D)C

49 99

6、由曲线 x =4y,x =-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1;满足 x +y ?16,x +(y-2) ? 2 4,x +(y+2) ?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则( ) 。
2

2

2

2

2

2

(A)V1=(1/2)V2 (B)V1=(2/3)V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2

二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7、已知复数 Z1,Z2 满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为 60°,则∣(Z1+Z2)/(Z1+Z2)∣=
4 n



8、将二项式(√x+1/(2 √x) 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中 x 的幂指数是整数 ) 的项共有 个。 9、如图,点 P1,P2,?,P10 分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk) (1<i<j<k ?10)有 个。 10、已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5,f(x+1)?f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x, 则 g(2002)= 。 11、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是
2 2

。 。

12、使不等式 sin x+acosx+a ?1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13、已知点 A(0,2)和抛物线 y =x+4 上两点 B,C 使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取值范围。 14、如图,有一列曲线 P0,P1,P2??,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到: 将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,) 。记 Sn 为曲 - 24 -

2

线 Pn 所围成图形的面积。 (1) 求数列{Sn}的通项公式; (2) 求 limSn. n→∞

15、设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件: (1) 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; 2 (2) 当 x∈(0,2)时,f(x)?((x+1)/2) ; (3) f(x)在 R 上的最小值为 0. 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)?x。

2

2003 年全国高中数学联赛 第一试 一、 选择题(每小题 6 分,满分 36 分) y y y y 1. 删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第 2003 项是 (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049 2 2 2. 设 a, b?R, ab≠0,那么,直线 ax?y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是

O

x O

x

O

x

O

x

(A) (B) (C) (D) 2 3. 过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60?的直线.若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点, 则线段 PF 的长等于

16 3 8 3 (A) (B) (C) 3 (D)8 3 5? ? 2? ? ? 4. 若 x?[? 12 ,? 3 ],则 y= tan(x+ 3 )?tan(x+ 6 )+cos(x+ 6 )的最大值是 12 11 11 12 2 2 3 3 5 6 6 (A) (B) (C) (D) 5 9 4 2 2 5. 已知 x,y 都在区间(?2,2)内,且 xy=?1,则函数 u= 4 ? x + 9 ? y 的最小值是

8 (A) 5

24 11 (B)

12 (C) 7

12 (D) 5

? 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 3 ,则四面体 ABCD 的体积等于 6. 在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD=
3 (A) 2

1 (B) 2

1 (C) 3

3 (D) 3
- 25 -

二、 填空题(每小题 9 分,满分 54 分) 3 2 7. 不等式|x| ?2x ?4|x|+3<0 的解集是__________.

x2 y2 ? ?1 4 8. 设 F1,F2 是椭圆 9 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△PF1F2 的面积等于__________.
2 9. 已 知 A={x|x ?4x+3 < 0,x?R}, B={x| 2 ____________.

1? x

? a ? 0, x2?2(a+7)x+5 ? 0,x?R} . 若 A?B, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

3 5 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 logab= 2 , logcd= 4 ,若 a?c=9, 则 b?d=________.
11.将八个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都 相切,则此圆柱的高等于________. 12.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.

a1a 2 ? a n |ai 只取 0 或 1(i=1,2,?,n?1),an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元

Sn n?? T n =_______. 素的和,则 lim
三、 解答题(每小题 20 分,满分 60 分)

1.

3 ? x?5 已知 2 ,证 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 1 z 0 ? ai , z1 ? 2 ? bi , z 2 ? 1 ? ci(a, b, c ? R) 对应的不共线三点。 设 A、B、C 分别是复数
z ? z 0 cos4 t ? 2 z1 cos2 t sin 2 t ? z 2 sin 4 t (t ? R) 与 ?ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出

2.

证:曲线 此点。

3. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点 折法,都留下一条直线折痕,当

A? 刚好与 A 点重合,这样的每一种

A? 取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合。

1994 年全国高中数学联赛试题
第 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0. 都成立的充要条件是 (A)a,b 同时为 0,且 c>0
2 2 (C) a ? b ? c 2 2 (B) a ? b ? c 2 2 (D) a ? b ? c





2、给出下列两个命题:(1).设 a,b,c 都是复数,如果 a 2 ? b 2 ? c 2 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 .(2).设 a,b,c 都是复数,如果 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 .那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

3、已知数列 {a n } 满足 3an?1 ? an ? 4(n ? 1) ,且 a1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不等式
| S n ? n ? 6| ? 1 125 的最小整数 n 是
- 26 -

(A)5 4、 已知

(B)6

(C)7

(D)8
logb sin a

0 ? b ? 1,0 ? a ?

?

4 ,则下列三数: x ? (sin a)

, y ? (cos a)

logb cos a

logb cos a , z ? (sin a ) 的大小

关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
n?2 ? ,? ) (A) n ( n ?1 ? ,? ) (B) n ( (0, ) (C) 2

?

n ? 2 n ?1 ?, ?) n (D) n (

| x ? y| | x ? y| ? ?1 2b 6、在平面直角坐标系中,方程 2a (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是

(A)三角形 (C)非正方形的长方形 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

(B)正方形 (D)非正方形的菱形

1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(?1,1)和(2,2),若直线 l: x ? my ? m ? 0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是______.
? x 3 ? sin x ? 2a ? 0 x, y ?[ ? , ], a ? R ?4 y 3 ? sin y cos y ? a ? 0 4 4 2.已知 且? 则 cos( x ? 2 y) =_____.

? ?

5 5 A ? {( x , y)|( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? ( ) 2 } B ? {( x , y )|( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( ) 2 } 2 , 2 ,则点集 3.已知点集

A ? B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.
sin (1 ? cos? ) 2 4.设 0 ? ? ? ? ,则 的最大值是______.

?

5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,则 sin ? =___ 6.已知 95 个数 a1 , a2 , a3 ,?, a95 , 每个都只能取+1 或 ?1两个值之一,那么它们的两两之积的和
a1a2 ? a1a3 ???a94 a95 的最小值是___.

1995 年全国高中数学联赛试题
第一试

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

- 27 -

1. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13 且 a1>0,Sn 为其前 n 项和,则 Sn 中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 2. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1,Z2,...,Z20, 则复数 Z11995,Z21995,...,Z201995 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果某人不 亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4. 已知方程 |x-2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是 ( ) (A)k>0 (B)0<k≤1/√(2n+1) (C)1/(2n+1) <k ≤1/√(2n+1) (D)以上都不是 5. logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1,logcos1tg1 的大小关系是 (A)logsin1cos1< logcos1sin1<logsin1 tg1<logcos1tg1 (B)logcos1sin1<logcos1tg1<logsin1cos1 <logsin1tg1 (C)logsin1tg1<logcos1tg1<logcos1sin1 <logsin1cos 1 (D)logcos1tg1<logsin1tg1<logsin1cos1 <logcos1sin 1 6. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延长线 分别交于 Q、R,则和式 1/PQ + 1/PR + 1/PS ( ) (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1. 设α 、β 为一对共轭复数,若|α - β |=2 √3,且α /β 2 为实数,则|α |=____。 2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为____。 3. 用[x]表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg2 x -[lg x]-2=0 的实根个数是____。 4. 直角坐标平面上,满足不等式组 y≤3x y≥x/3 x+y≤100

{

5. 的整点个数是____。 6. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可使 用,那么不同的染色方法的总数是____。 7. 设 M={1,2,...,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x∈A 时,15x 就不属于 A,则 A 中元素的 个数最多是____。

- 28 -

1996 年全国高中数学联赛试题
【第一试】
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.把圆 x2+ (y –1 )2 =1 与椭圆 9x2 + (y + 1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为 (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形 2.等比数列{an}的首项 a1=1536, 公比是 q= ? (A)π (B)π

1 .用π n 表示它的前 n 项之积,则π n(n?N)最大的是 2
(C)π
12

9

11

(D)π

13

3.存在整数 n 使 (A) 不存在

p ? n ? n 是整数的质数 p
(B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个

1 4 设 x?(– , 0),以下三个数: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)? 的大小关系是 2 (A) ?3 < ?2 < ?1 (B) ?1 < ?3 < ?2 (C) ?3 < ?1 < ?2 (D) ?2 < ?3 < ?1

5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数 f (x) = x2 + px + q 与 g(x) = x + 区间上的最大值是 (A)4+

1 在同一点取相同的最小值,那么 f (x)在该 x2

11 3 5 1 2 ? 3 4 (B)4- 3 2 ? 3 4 (C)1- 3 2 ? 3 4 (D)以上答案都不对 4 2 2

6.高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1, 球心 O1 在圆台的轴上. 球 O1 与圆台上底面、 侧面都相切. 圆 台内可再放入一个半径为 3 的球 O2, 使得球 O2 与球 O1、 圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球 O2, 圆 台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 3. 集合{x| –1? log 1 10 <– , x?N}的真子集的个数是_____________________ 2
x

2.复平面上非零复数 z1, 2 在以 i 为圆心, 为半径的圆上,z1 z 2 的实部为零, 1 的辐角主值为 z 1 z

1 ?, 则 6

z2 = ____________. 3.曲线 C 的极坐标方程是 ? = 1 + cos?, 点 A 的极坐标是(2, 0). 曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________. 4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该 六面体的最短棱的长为 2, 则最远的两顶点间的距离是__________. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个 具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后 六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同). 6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以 199 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的 点)的个数为_______________.

【第二试】
一、 (本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,?) ,数列{bn }满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,?) 。求数 列{bn }的前 n 项和.
- 29 -

二、 (本题满分 25 分) 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意θ ∈[0,π /2]恒有 (x+3+2sinθ cosθ )2+(x+asinθ +acosθ )2?1/8.

三、 (本题满分 35 分) 如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并且 EG、FH 的 延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。 P

G H O1。 A


O2

E 四、 (本题满分 35 分) 有 n(n?6)个人聚会,已知: (1)每人至少同其中 ? ? 个人互相认识; 2

B

C F

?n? ? ?

(2)对于其中任意 ? ? 个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识。 2

?n? ? ?

2001 年全国高中数学联赛试题 第 1 试
一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2.命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点。 以上三个命题中正确的有 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D) 3 个 3. 在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以π 为周期,在(0,π /2)上单调递增的偶函数是( ) (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4. 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个, 那么 k 的取值范围是( )
- 30 -

(A)k=8√3 (B)0<k?12 (C)k?12 (D)0<k?12 或 k=8√3 5. 若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+?a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ) (A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001 6. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元, 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 ( ) (A)2 枝玫瑰的价格高 (B)3 枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 椭圆ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于________. 8.若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=3/2-i,则 z1?z2=_________. 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是________. 10.不等式|1/log1/2x+2|>3/2 的解集为__________________. 11.函数 y=x+√(x2-3x+2)的值域为______________. 12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的 植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设{an}为等差数列, n}为等比数列, b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1<a2), 又(b1+b2+?+bn)的极限=√2+1。 试 {b 且 求{an}的首项和公差。[注意:√2+1 和√(2+1)表示的数字不相同] 14.设曲线 C1:x2/a2+y2=1(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方仅有一个公共点 P。 (1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示); (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<1/2 时,试求△ OAP 的面积的最大值(用 a 表示)。 15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 的电阻组成一个如图的组件,在组装的过程中如何选择电阻, 才能使该组件的电阻值最小?证明你的结论。

2001 年全国高中数学联赛试题

【第一试】 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知 a 为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个 数为( ). A.1 B.2 C.4 D.不确定
- 31 -

2.命题 1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题 2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=lg|s inx|中,以 π 为周期、在(0,π /2)上单调递增的偶函数是( ). A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx| 4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范 围是( ). A. C.k?12 B.0<k?12 D.0<k?12 或

5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x2000,则a0+a3+a6 +a9+?+a1998 的值为( ). A.3333 B.3666 C.3999 D.32001 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小 于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ). A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. 8.若复数z1、z2满足|z1|=2,|z3|=3,3z1-2z2=(3/2)-i,则z1?z2 =______________. ? 9. 正方体ABCD-A1B1C11的棱长为 1, 则直线A1C1与BD1的距离是______________.

10.不等式|(1/log1/2x)+2|>3/2 的解集为______________. 11.函数 的值域为______________.

图3
- 32 -

? 12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3),要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方案. ?三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) ? 13.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且b1=a12,b2=a22,b3=a32 (a1<a2=.又 试求{an}的首项与公差.

x2 ? y2 ?1 a2 14.设曲线 C1: (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方仅有一个公共点 P.

⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示);
1 ⑵ O 为原点, C1 与 x 轴的负半轴交于点 A, 0<a< 2 时, 若 当 试求ΔOAP 的面积的最大值 (用

a 表示).
15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件, 在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.

【第二试】 一.(本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N. 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE; (2) OH⊥MN.

- 33 -

A

O F H D N E C

B

M

二.(本题满分 50 分)

设 xi ? 0 (i=1,2,…,n)且 三.(本题满分 50 分)

?x
i ?1

n

2 i

?2

1? k ? j ? n

?

n k xk x j ? 1 ? xi j ,求 i ?1 的最大值与最小值.

将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于 矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.
D C n m

A

B

参考答案
一. 选择题: 3.D 4.D 5.C 6.A 1.C 2.B 二.填空题:

- 34 -

7.

2 3 3

?

8.
2

30 72 ? i 13 13
3 ) ? [ 2 , ? ?) 2

9.

6 6

10.

(0 , 1) ? (1 , 2 7 ) ? (4 , ? ?)

[1,

11.

12.

732

三.解答题: 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d ? 0

解得: d ? (?2 ? 2 )a1

………………………………………………………

5分

而 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 a1<0
q?
2 a2

若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 但 n? ??

a12
2 a2

? ( 2 ? 1) 2

q?

a12

? ( 2 ? 1) 2

………………………………

10 分

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1

2 存在,故| q |<1,于是 q ? ( 2 ? 1) 不可能.

a12

从而 1 ? ( 2 ? 1)

2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2

所以 a1 ? ? 2 , d ? (?2 ? 2 )a1 ? 2 2 ? 2
? x2 2 ? 2 ? y ?1 a ? ? y 2 ? 2( x ? m ) ?

………………………………

20 分

14.解:(1)由

2 2 2 2 消去 y 得: x ? 2a x ? 2a m ? a ? 0



2 2 2 2 设 f ( x) ? x ? 2a x ? 2a m ? a ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根.

只需讨论以下三种情况: 1°△=0 得:
m? a2 ?1 2 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合;

2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.

- 35 -

综上可知,当 0<a<1 时,

m?

a2 ?1 2 或-a<m≤a;

当 a≥1 时,-a<m<a.………………………………………………
1 ay p 2

10 分

(2)△OAP 的面积

S?

1 2 2 ∵0<a< 2 ,故-a<m≤a 时,0< ? a ? a a ? 1 ? 2m <a,

由唯一性得

x p ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m

显然当 m=a 时, p 取值最小. x 由于 xp>0, 从而 yp=
2 ∴S ? a a?a .

1?

y ? 2 a ? a2 a 2 取值最大, 此时 p ,

x2 p



m?

1 a2 ?1 S ? a 1? a2 2 2 2 时,xp=-a ,yp= 1 ? a ,此时 2 .

1 a 1? a2 a a ? a2 与 2 下面比较 的大小: a a ? a2 ? 1 1 a 1? a2 a? 2 3 ,得



1 1 1 a 1? a2 S max ? a 1 ? a 2 2 2 故当 0<a≤ 3 时, a a ? a ≤ 2 ,此时 . 1 1 1 a a ? a2 ? a 1? a2 ?a? 2 2 2 时, 当3 ,此时 S max ? a a ? a .………

20 分

15.解:设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、R2 是 a1、a2 的任意排列时,RFG 最小 ……………………………………… 5 分 证明如下:
1 1 1 ? ? 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则 R R1 R2 .故交换二电阻的位

置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2.

- 36 -

2.设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB
R AB ? R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1 R2 ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的—个.
1 1 1 ? ? RCD R AB R4 ?

3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD 若记
S1 ? S2 ?
1?i ? j ? 4

R1 R2 ? R1 R3 ? R1 R4 ? R2 R3 ? R2 R4 R1 R2 R4 ? R1 R3 R4 ? R2 R3 R4

?R R
i

j

,

i 1?i ? j ? k ? 4

?R R R
j

k

,则 S1、S2 为定值,于是

RCD ?

S 2 ? R1 R2 R3 S1 ? R3 R4

只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即得总电阻的阻 值最小 …………………………………………………………………… 15 分 4°对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20 分

2001 年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准
一.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC
1 又∠OBC= 2 (180°-∠BOC)=90°-∠BAC

∴OB⊥DF. (2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ∵OC⊥DE

① ② ③ ④
- 37 -

∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2 ⑤ …………………………………… 30 分 ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50 分 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系, 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则
y?? k AC ? ? a a , k AB ? ? c b

∴直线 AC 的方程为
c ? ? y ? a ( x ? b) ? ? ? y ? ? a ( x ? c) ? c 由?

a c ( x ? c) y ? ( x ? b) c a ,直线 BE 的方程为

a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc , 2 2 a2 ? c2 ) 得 E 点坐标为 E( a ? c

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , 2 2 a2 ? b2 ) 同理可得 F( a ? b

直线 AC 的垂直平分线方程为

y?

a c c ? (x ? ) 2 a 2 b?c 2

直线 BC 的垂直平分线方程为
a c c ? ? y ? 2 ? a (x ? 2 ) ? ? ?x ? b ? c 2 ? 由?

x?

b ? c bc ? a 2 , 2a ) 得 O( 2

kOB

bc ? a 2 bc ? a 2 2a ? ? b?c ac ? ab ?b 2

, k DF ?

ab 2 ? abc ab ? ac ? a 2 b ? b 2 c a 2 ? bc

∵ kOB k DF ? ?1 同理可证 OC⊥DE.

∴OB⊥DF

- 38 -

在直线 BE 的方程

y?

bc c ? ( x ? b) a 中令 x=0 得 H(0, a )

k OH



bc ? a 2 bc ? 2 2a a ? a ? 3bc ? b?c ab ? ac 2
y? ab ? ac x a 2 ? bc

直线 DF 的方程为
ab ? ac ? ? y ? a 2 ? bc x ? ? ? y ? ? a ( x ? c) ? c 由?

a 2 c ? bc 2 abc ? ac 2 , 2 2 2 2 得 N ( a ? 2bc ? c a ? 2bc ? c )

a 2b ? b 2 c abc ? ab 2 , 2 2 2 2 同理可得 M ( a ? 2bc ? b a ? 2bc ? b )
k MN ? a(b 2 ? c 2 )( a 2 ? bc) ab ? ac ?? 2 2 2 (c ? b)( a ? bc)( a ? 3bc) a ? 3bc



∵kOH ?kMN =-1,∴OH⊥MN.

(

二.解:先求最小值,因为
n

?
i ?1

n

xi ) 2 ?

?
i ?1

n

xi2 ? 2

1? k ? j ? n

?

k xk x j ? 1 ? j

?x
i ?1

n

i

≥1

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i



?x
i ?1

i

最小值为 1.

……………………………………………………………

10 分

再求最大值,令 xk ? k y k



? ky
k ?1

n

2 k

?2

1? k ? j ? n

? ky y
k

j

?1


? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y2 ? ? ? yn ? a2 ? ? ?? ? ? yn ? an ?

M ?



?x ? ?
k k ?1 k ?1

n

n

k yk

, 令

2 2 2 则①? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 …………………………………………………… 30 分

- 39 -

令 an?1 =0,则
?

M?

?
k ?1

n

k (ak ? ak ?1 )
n n n

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1

n

k a k ?1 ?

?
k ?1

k ak ?

?
k ?1

k ? 1 ak ?

?(
k ?1

k ? k ? 1 )a k

由柯西不等式得:
M ?[

?
k ?1

n

( k ? k ?1 )2 ] 2 (

1

?
k ?1

n

2 ak ) 2 ? [

1

?(
k ?1

n

k ? k ?1 )2 ] 2

1

2 2 ak an a12 ??? ??? 1 ( k ? k ?1 )2 ( n ? n ?1 )2 等号成立?
2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n 2 ak

?

1 ? ( 2 ? 1 )2 ? ? ? ( n ? n ?1 )2

?

( k ? k ?1 )2

? ak ? [

k ? k ?1

?(
k ?1

n

k ? k ?1 )2 ] 2

1

(k=1,2,…,n)
y k ? a k ? a k ?1 ? 2 k ? ( k ?1 ? k ?1 ) [
n

由于 a1≥a2≥…≥an,从而
[

?(
k ?1

?0

k ? k ?1 ) ]
2

1 2

,即 xk≥0

所求最大值为

?(
k ?1

n

k ? k ?1 )2 ] 2

1

……………………………………………

50 分

三.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 ………………………………………… 事实上,不妨没 m≥n

10 分

(1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn+n -(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n <k+1, 从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图), 由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得 正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所 得正方形边长之和为 rn+n-(m,n) ………………………… 20 分 (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m,n) 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)=rn+n-(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap
- 40 -

不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n,则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或 其边界).于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…ap 的正 方形,由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50 分

2001 年全国高中数学联赛试题
第 2 试
一.(本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N 。 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE

(2) OH⊥MN。

二、(本题满分 50 分) 设 xi ≥ 0 ,i∈N+ ,且 ∑1≤i≤n(xi2) + ∑1≤k≤j≤n( √(k/j)×xkxj ) = 1 。 求:∑1≤i≤n xi 的最小值 。

三.(本题满分 50 分)

- 41 -

将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相应边.试求这些 正方形边长之和的最小值.

2002 年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数集,若A={x| =10x},则A∩ 是( A.{2} C?.{x|x?2} ). B.{-1} D. ?0},B={x|

2.设sinα >0,cosα <0,且sin >cos ,则 的取值范围是( ).

A.(2kπ +π /6,2kπ +π /3),k∈Z? B.(2kπ /3+π /6,2kπ /3+π /3),k∈Z C.(2kπ +5π /6,2kπ +π ),k∈Z D.(2kπ +π /4,2kπ +π /3)∪(2kπ +5π /6,2k π +π ),k∈Z 3.已知点 A 为双曲线x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲 线的右分支上, △ABC是等边三角形, 则△ABC的面积是 ( A. /3 B. 3 /2 C. 3 D. 6 ) .

4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是 等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2a
- 42 -

x+c=0( A.无实根

).

B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3x+ 4/5 的距离中的最小值是( A. 85
/170

). B. /

C.120

D.130

6.设 ω =cos +isin ,则以 ω ,ω 3,ω 7,ω 9 为根 的方程是( ).

A.x4+x3+x2+x+1=0 ??B.x4-x3+x2-x+1=0 ??C.x4-x3-x2+x+1=0 ??D.x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题〖HTK〗(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=_______. 8. 设an是 (3- 则
n ) 的展开式中x项的系数 (n=2, 4, , 3, ?)

=_______. 9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83 的公比

是______. 10.在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中,记左焦点为
- 43 -

F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ∠ABF=______.

,则

11. 一个球与正四面体的六条棱都相切, 若正四面体的棱长为a, 则这个球的体积是______. 12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3)a是a,b,c,d中的最小值,?那么,可以组成的不同 的四位数 的个数是______.

三、解答题〖HTK〗(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13. 设Sn=1+2+3+?+n, n∈N?, (n) 求f = 的最大值. 14.若函数f(x)=-1/2x2+13/2 在区间[a,b]上的 最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 15.已知C0:x2+y2=1 和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b >0),那么,当且仅当a,b满足什么条件时,对C1 上任意一点 P, 均存在以 P 为顶点、 C0 外切、 与 与C1 内接的平行四边形?并证明你的 结论. 参考答案或提示 一、1.D;2.D;3.C;4.A;5.B;6.B. 提示:1.易得A={2},B={-1,2}, 则A∩ = . 2.由 2kπ +π /2<α <2kπ +π ,
- 44 -

得 2kπ /3+π /6<α <2kπ /3+π /3(k∈Z). 又由sin >?cos , 得 2kπ +π /4< <2kπ +5π /4(k∈Z). ∴α ∈(2kπ +π /4,2kπ +π /3)∪(2kπ +5π /6,k π +π )(k∈Z). 3.不妨设B点在x轴上方,则AB:y= 入x2-y2=1,得B(2, 同理可得C(2,- ). ).故S△ABC=3 . /3x+ /3,代

4.由 2b=p+c,2c=q+b,得b=2p+q3,c=p+2 p3.于是

从而 Δ =4a2-4bc<0,方程无实根. 5.整点(x0,y0)到直线 5x-3y+12=0 的距离为d=|25 x0-15y0+12|/5
.因 25x0-15y0 是 5 的倍数,所以|25x0

-15y0+12|?2,当x0=-1、y0=-1 时等号成立.故 即为所求. 6.由 ω =cos
+isin

/85

知,ω ,ω 2,ω 3,?,ω 10

(=1)是 1 的 10 个十次方根,则 (x-ω )(x-ω 2)(x-ω 3)?(x-ω 10)=x10- 1. ① 又 ω 2,ω 4,ω 6,ω 8,ω 10 是 1 的 5 个五次方根,则
- 45 -

(x-ω 2)(x-ω 4)(x-ω 6)(x-ω 8)(x-ω 10)=x
5

-1.



①÷②后,再两边同除以x-ω 5(=x+1),得(x-ω ) (x -ω 3)(x-ω 7)(x-ω 9)=x4-x3+x2-x+1. 二、7.-π /9;8.18;9.1/3;10.90°;11. a3;12.28.

提示:7.原式=arcsin[sin(-π /9)]=-π /9. 8.∵an=Cn2?3n-2, ∴3n/an=?=18( ∴原式=18 9.公比 ). =?=18.
,由等比定理,得

10.由c/a=

,得c2+ac-a2=0.

又|AB|2=a2+b2,|BF|2=a2, 故|AB|2+|BF|2=?=3a2-c2.
2 而|AF|2= (a+c)=?=3a2-c2=|AB|2+|BF| 2

,故∠ABF=90°. 11.易知球心 O 为正四面体的中心,O 点与棱的中点连线成为球

的半径r,则r= 12.按

,故球的体积为V=?=



中所含不同数字的个数分三类: (1)恰有 2 个不同的
- 46 -

数字时, 组成

=6 个数; 恰有 3 个不同数字时, (2) 组成

=16 个数;(3)恰有 4 个不同数字时,组成 =6 个数.故符合要求的四位数 三、13. 共有 6+16+6=24(个).



当且仅当n=64/n,即n=8 时,上式等号成立,故f(n)max= 1/50. 14.分三种情况讨论:(1)当 0?a<b时,f(a)=2b, f(b)=2a.解得[a,b]=[1,3]. (2)当a<0<b时,f(0)=2b,f(a)=2a或f(b) =2a.解得[a,b]=[-2- ,13/4].

(3)当a<b?0 时,f(a)=2a,f(b)=2b.无解. 综上,[a,b]=[1,3]或[-2- ,13/4].

15.所求条件为 1/a2+1/b2=1.证明如下: 必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心. 假设结论成立,则对点(a,0),有(a,0)为顶点的棱形与 C1 内接,与C0 外切.(a,0)的相对顶点为(-a,0),由于菱 形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0,b)和 (0,-b).菱形一条边的方程为x/a+y/b=1,即bx+a ,整理得 1/a2

y=ab.由于菱形与C0 外切,故必有
- 47 -

+1/b2=1.必要性得证. 充分性:设 1/a2+1/b2=1,P 是C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 PR, 再过 O 作与PR垂直的弦QS, PQRS 为与C1 内接的菱 则 形.设|OP|=r1,|OQ|=r2,则点 P 的坐标为(r1cos θ ,r1sinθ ),点Q的坐标为(r2cos(θ + ),r2si n(θ + )),代入椭圆方程,得

又在Rt△POQ中,设点 O 到 PQ 的距离为h,则

同理,点O到QR,RS,SP的距离也为 1,故菱形 PQRS 与C
0

外切.充分性得证. 说明:今年高中数学联赛第 4 题由陕西省永寿县中学安振平老师
- 48 -

提供,第 6 题和第 10 题由西安市西光中学刘康宁老师提供.

2004 年全国高中数学联合竞赛试题(1 试)

2





时间:10 月 16 日

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为( A. )

? 6

B.
2

?
12
2

or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

D.

? 12

2、已知 M ? {( x, y) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有 m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是( A. ? ? ) B. ? ? ?

? ?

6 6? , ? 2 2 ?

? ?

6 6? , ? 2 2 ? ?

C. ( ?

2 3 2 3 , ] 3 3


D. ? ?

? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3

3、不等式 log 2 x ? 1 ?

1 log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2
C. [2, 4)

A. [2,3)

B. (2,3]

D. (2, 4]

4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为( A. 2 B.

??? ?

??? ?

??? ?

?



3 2

C. 3

D.

5 3

5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的 圆心, AB ? OB ,垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的 体积最大时,OB 的长是( ) A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正周期长的区间上的图像 与函数 g ( x) ?

a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
- 49 -

9、如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角

A ? BD1 ? A1 的度数是____________。
2 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是

一个正整数,则 k=____________。 11、已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an ?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则

?a
i ?o

n

1
i

的值是

_________________________。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取 最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、 “过关游戏” 一项 规则规定: 在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次, 如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 n , 则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面 的点数为出现点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值 范围。 15、已知 ? , ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0 (t ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?
2

4 3

2x ? t 的定义域为 ?? , ? ? 。 x2 ? 1

(Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (Ⅱ)证明:对于 ui ? (0,

?
2

)(i ? 1, 2,3) ,若 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1,



1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

二○○四年全国高中数学联合竞赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题 的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次。 2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分档
- 50 -

次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1、解:因方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,故 ? ? 16cos ? ? 4cot ? ? 0
2 2

?0 ? ? ? ? 2? ?

?
2

, ? 4cot ? (2sin 2? ? 1) ? 0

得 sin 2? ?

?
6

或 2? ?

5? ? 5? ,于是 ? ? 。 故选 B。 或 6 12 12
2 2

1 2

2、解: M ? N ? ? 相当于点(0,b)在椭圆 x ? 2 y ? 3 上或它的内部? 故选 A。

2b 2 6 6 。 ? 1, ?? ?b? 3 2 2

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 3、解:原不等式等价于 ? 2 2 2 ?log 2 x ? 1 ? 0 ?

? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 设 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ?t ? 0 ?
即 0 ? log 2 x ? 1 ? 1, ? 2 ? x ? 4 。

解得 0 ? t ? 1 。

故选 C。

A

4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点,

??? ???? ? ???? OA ? OC ? 2OD (1) 则 ??? ???? ? ???? ? 2(OB ? OC ) ? 4OE (2)
由(1) (2)得,

D

O

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE ) ? 0 ,
即 OD与OE 共线, 且 | OD |? 2 | OE |

B

E

C

???? ??? ?

????

??? ?

?

S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C。 S?AOC 2 S?AOC 2

5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} (1)若构成等边三角形, 设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同, 所以,n1 ? C9 ? 9 。
1

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9 。但当大数为底时,设 a>b,必 须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2

- 51 -

b 共 20 种情况。

4,3 2,1

4,3 2,1

3,2 1

3,2 1

1,2

1,2

1

1

同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C3 种情况。 故 n2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 6(C9 ? 10) ? 156 。 综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。
2 2 2

2

6、解:? AB ? OB, AB ? OP, ? AB ? PB, 又OH ? PB

?面PAB ? 面POB, ?OH ? HC, OH ? PA 。
C 是 PA 中点,?OC ? PA

?当HO ? HC时S?HOC 最大,
也即 VO ? HPC ? VP ? HCO 最大。 此时,

1 2 6 HO ? 2, 故HO= OP, ??HPO ? 300 ,? OB ? OP ? tan 300 ? ,故选 D。 2 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
1 2? 2 ,振幅为 a ? 1 。由 f ( x) a 2 ? 1sin(ax ? ? ), 其中? ? arctan ,它的最小正周期为 a a 2? 2 的图像与 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为 、宽为 a ? 1 的长方形,故 a 2? 它的面积是 a2 ? 1 。 a
7、解: f ( x) ? 8、解:?对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2,

?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
∴ f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x ) ? y ? 2 即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。 9、解:连结 D1C , 作CE ? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1 B 于 F,则 FE ? BD1 ,连结 AE,由对称性知

AE ? BD1 , ??FEA 是二面角 A ? BD1 ? A1 的平面角。
连结 AC,设 AB=1, 则 AC ? AD1 ?
A1

D1

C1

B1 F E

2, BD1 ? 3.

在Rt ?ABD1 中, AE ?

AB ? AD1 2 ? , BD1 3
A

D C

B

- 52 -

4 ?2 AE 2 ? CE 2 ? AC 2 2 AE 2 ? AC 2 3 1 在 ?AEC中, cos ?AEC ? ? ? ?? 2 4 2 AE ? CE 2 AE 2 3

??AEC ? 1200 , 而?FEA是?AEC 的补角,??FEA ? 600 。
10、解:设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ?
2 * 2 2

p ? p 2 ? 4n 2 2 2 ,从而 p ? 4n 是平方数,设 2

为 m , m ? N , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p
2 *

2

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4

?k ?

p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1) 2 。 (负值舍去) ? ,故k ? 2 4 4
1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn ?1 bn

11、解:设 bn ?

即 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数列,

1 3

1 1 ? 2(bn ? ) 3 3

1 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n ?1 ? bn ? (2n ?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 1 ? 2(2n ?1 ? 1) ? ? bi ? ? (2i ?1 ? 1) ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n ? 2 ? n ? 3? 。 ? a i ?0 i ?0 3 3 ? 2 ?1 i ?o i ? 3 n

12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? 3 ? a) ? 2(1 ? a )
2 2 2

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ?MPN 取最大值时, 经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1 ? a ) ? (a ? 3) , 解得
2 2

a=1 或 a=-7。 即对应的切点分别为 P(1, 0)和P (?7, 0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M,N,P 的圆的半
'

径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1。

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 2 , 6 ? 5 ? 2 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现的点数之和大于
4 5

- 53 -

2n 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。
5分 (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功” 。 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ,
n

2 2 ?过此关的概率为: P( A1 ) ? 1 ? P( A1 ) ? 1 ? ? 。 6 3
第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和。即有
1 1 1 C1 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个) 。

?过此关的概率为: P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?

6 5 ? 。 62 6

10 分

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数之和。 即有 C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? 1 ? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56 (个) 。
2 2 2 2 2 2

?过此关的概率为: P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?

56 20 。 ? 63 27 2 5 20 100 故连过前三关的概率为: P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? 。 ? 3 6 27 243
(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 14、解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y ? BC 的距离依次为 d1 ?

15 分 20 分

4 4 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。点 P(x, y ) 到 AB、AC、 3 3

1 1 | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。依设, 5 5

d1d 2 ? d32 , 得 |16 x 2 ? (3 y ? 4)2 |? 25 y 2 ,即 16 x 2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0, 或16 x 2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0 ,
化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

5分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

① ②

与双曲线 T: 8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上,且点 P 的轨迹曲 线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。

1 由 解得 D (0, ) , 且知它在圆 S 上。 直线 L 经过 D, ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点, d1 ? d 2 ? d3 , 2
且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为

- 54 -

y ? kx ?

1 2



(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ?

1 平行于 x 轴,表明 L 与双曲线有不 2

同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况: 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率 k ? ?

1 ,直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) 。代入方程 2

②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E;直线 CD 与曲 线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k ? ?

5 4 3 3

5 4 3 3

1 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 15 分 2 1 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ? ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与双曲线 T 有 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? 且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实数解,消去 y 并化简得 1 ? y ? kx ? ? 2

(8 ? 17k 2 ) x 2 ? 5kx ?

25 ?0 4
2

该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k ? 0 或 (?5k ) ? 4(8 ? 17k )
2 2

④ ⑤

25 ?0 4

解方程④得 k ? ?

2 34 2 ,解方程⑤得 k ? ? 。 2 17
1 2 34 2 ,? ,? }。 2 17 2
2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ?
2

20 分

15、解: (Ⅰ)设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4 x1 ? 4tx1 ? 1 ? 0, 4 x2 ? 4tx2 ? 1 ? 0,
2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ?0 2

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)

又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 故 f ( x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。

1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2
5分

1 ?? ? ? ? t , ?? ? ? , 4

- 55 -

? g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ?

( ? ? ? ) ?t (? ? ? ) ? 2?? ? 2?

? 2? 2 ?? 2 ? ? 2 ?1

5? ? t2 ?1? t2 ? ? 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? ? ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16
(Ⅱ)证:

10 分

8 2 16 ( 2 ? 3) ? 24 cos ui cos ui cos ui cos ui 2 16 ? 24 16 6 g (tan ui ) ? ? ? ? (i ? 1, 2,3) 2 2 16 16 ? 9 cos ui 16 ? 9 cos ui 16 ? 9 cos 2 ui ?9 cos 2 ui
??
i ?1 3 3 1 1 3 1 ? ? (16 ? 9 cos2 ui ) ? 16 6 (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9)? sin 2 ui ) g (tan ui ) 16 6 i ?1 i ?1
3

15 分

? ? sin ui ? 1, 且ui ? (0, ), i ? 1, 2,3 2 i ?1
等号不能同时成立,

?

而均值不等式与柯西不等式中, ? 3? sin 2 ui ? (? sin ui ) 2 ? 1 ,
i ?1 i ?1

3

3

?

1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4

20 分

2004 年全国高中数学联赛加试试卷
一、 (50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆分别 交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K。已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。 解:由题设可知: ?ADB ? ?AEC ? 90?,??ADB ? ?AEC ,

?

AD BD AB ? ? AE CE AC

① ???????10 分

又 BC=25,BD=20,BE=7,故 CD=15,CE=24. 由①可解得:AD=15,AE=18. ??????20 分 于是点 D 是 Rt ?AEC 的斜边 AC 的中点,DE=15. 连接 DF,因为点 F 在以 DE 为直径的圆上, ?DFE ? 90? , 故点 F 为线段 AE 中点,AF=9. ??????30 分 因为 G、F、E、D 四点共圆,D、E、B、C 四点共圆, 所以 ?AFG ? ?ADE ? ?ABC ,于是 FG ? BC ,延长 AH 交 BC 于 P, 故:

P

AK AF ? AP AB



??????????????40 分

又 H 为 ?ABC 的垂心,故 AP ? BC , BA ? BC ? 25,??ABP ? ?CBE ,AP=CE=24, 于是 AK ?

AF ? AP 9 ? 24 216 ? ? AB 25 25

??????????????50 分
- 56 -

二、 (50 分)在平面直角坐标系 XOY 中, y 轴正半轴上的点列 ? An ? 与曲线 y ? 满足 OAn ? OBn ?

2 x ? x ? 0 ? 上的点列 ? Bn ?

1 * ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an ,点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N 。 n
*

(Ⅰ)证明 an ? an ?1 ? 4, n ? N ; (Ⅱ)证明有 n0 ? N ,使得对 ?n ? n0 都有
*

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n ? 2004 。 b1 b2 bn ?1 bn

(Ⅰ)证明:依题设有: An ? 0,

? ?

1? 1 ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? ,由 OBn ? 得: n? n

?

?

bn 2 ? 2bn ?

1 1 ,? bn ? ? 1 ? 1, n ? N * , 2 2 n n
? ? 1? ? 1? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

又直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an 满足 ? an ? 0 ? ? 2bn ?

an ?

bn 1 ? n 2bn

???????????????10 分

? 2n 2bn ? 1 ? n 2bn 2 ? 0, bn ? 2 ?

1 n bn
2

? an ?
? an ?

bn 1 ? n 2bn

?

bn 1 ? n 2bn 1 ? 2n bn
2

?

??

1 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 n bn n bn
2

??20 分

1 1 ?1 ?1? 2 ? 2 2 ?1 , 2 n n

显然,对于

1 1 ? ? 0 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N * n n ?1
bn ?1 , n ? N * ,则 bn

???????30 分

(Ⅱ)证明:设 cn ? 1 ?

cn ?

1 ?1 ? n2

1

? n ? 1?

2

?1

1 ?1 ?1 n2

? 1 1 ? ? n2 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 2 n ? n ? 1?

? ? 1 ?1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 n 2 2n ? 1 1 2n ? 1 ? ? ?? ? ? 2 2 2 ? n ? 1? 2 1 ? 1 ? n ? 1? ? 2 2 1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? ? n2 n2 ? ?

- 57 -

? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? n ? 0,? cn ?
2
k

1 , n? N* n?2

??????40 分
*

* 设 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , n ? N ,则当 n ? 2 ? 2 ? 1 k ? N

?

? 时,

1 1 1 1 ?1 1? ? 1 1? ? 1 1 ? Sn ? ? ? ? ? k ? k ? ? ? ??? 2 ? ? ? 3 ? ? ? k ?1 ??? k ? 3 4 2 ?1 2 2 ? ? 2 ?1 2 ? ? 3 4 ? ? 2 ?1

? 2?

1 1 1 k ?1 。 ? 22 ? 3 ? ? ? 2k ?1 ? k ? 2 2 2 2 2
4009

所以,取 n0 ? 2

? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

? bn ?1 ? ? b2 ? ? b3 ? 4009 ? 1 ? 2004 ? ? Sn ? Sn0 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? bn ? 2 ? b1 ? ? b2 ? ?
故有

b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n ? 2004 成立。 b1 b2 bn ?1 bn

?????????50 分

三、 (50 分)对于整数 n ? 4 ,求出最小的整数 f ? n ? ,使得对于任意正整数 m ,集合

?m, m ? 1,?, m ? n ? 1? 的任一个 f ? n ? 元子集中,均有至少 3 个两两互素的元素。
解:当 n ? 4 时,对集合 M ? ?m, m ? 1,? , m ? n ? 1? : 若 2 m ,则 m ? 1, m ? 2, m ? 3 两两互素;若 2 m ,则 m, m ? 1, m ? 2 两两互素。于是 M 的所有 n 元子 集中,均有至少 3 个两两互素的元素,于是 f ? n ? 存在且 f ? n ? ? n 。??10 分 设 Tn ? t t ? n ? 1, 且 2 t, 或 3 t ,则 Tn 是集合 ?2,3,? , n ? 1? 的子集,且该集合中任意 3 个元素均不 能两两互素,因此 f ? n ? ? Tn ? 1。

?

?

? ? 由容斥原理知: Tn ? ? ,从而必有: ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 1? f ? n? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? ?
??????????20 分

? n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 1?

因此, f ? 4 ? ? 4, f ? 5 ? ? 5, f ? 6 ? ? 5, f ? 7 ? ? 6, f ?8 ? ? 7, f ? 9 ? ? 8 。下证 f ? 6 ? ? 5 设 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 为 ?m, m ? 1,?, m ? 5? 中的 5 个数元素, 若这 5 个数中有 3 个奇数, 则它们两两互素; 若这 5 个数中有两个奇数,则必有 3 个偶数,不妨设 x1 , x2 , x3 为偶数, x4 , x5 为奇数,当 1 ? i ? j ? 3 时,

xi ? x j ? ?2, 4? ,所以 x1 , x2 , x3 中至多有一个能被 3 整除,至多有一个能被 5 整除,即至少有一个既不能

- 58 -

被 3 整除又不能被 5 整除,不妨设此数为 x3 ,则 x3 , x4 , x5 两两互素,这就是说这 5 个数中有 3 个数是两 两互素,即 f ? 6 ? ? 5 。 ????30 分 又 由

?m,

m 1, ? ?

m ? n? ,? ?

m, m?1 , ?

m ? ?? 1 ,? n ?


?

m ? 知 :n f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 1 , 所 以
因 此 , 当

f ? 4 ? ? 4, f ? 5 ? ? 5, f ? 6 ? ? 5, f ? 7 ? ? 6, f ?8 ? ? 7, f ? 9 ? ? 8

4?n?9





n n ? n ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1 f ? n? ? ? ??? ??? ? ?1 。 3 ? ? 2 ? ? ? ?6



??????????????40 分

假设当 n ? k ? k ? 9 ? 时②式成立,那么当 n ? k ? 1 时:

?m, m ? 1,?, m ? k? ? ?m, m ? 1,?, m ? k ? 6? ? ?m ? k ? 5,?, m ? k ? 5 ? 5?
由归纳假设知 n ? 6, n ? k ? 5 时②式成立,故:

?k ? 2? ?k ? 2? ?k ? 2? f ? k ? 1? ? f ? 6 ? ? f ? k ? 5 ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? ?
由①③知,当 n ? k ? 1 时也成立。 综上可知,对于任意整数 n ? 4 ,都有 f ? n ? ? ?



? n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 1? ? ? ?1 。 ? 2 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? ?

2004 年全国高中数学联赛河南省预赛试卷

高中一年级
(2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、C、D 四个 结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内,选对一个得 5 分,错选、漏选 或多选,一律得零分. 1.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为[m,n],则 y ? f ( x ? 1) 的值域为( ) A. [m,n] C. f (m ? 1), f (n ? 1) ] [ B. [m-1,n-1] D.无法确定
?

2.设等差数列{ a n }满足 3a8 ? 5a13 ,且 a1 ? 0, S n 为其前 n 项和,则 S n (n ? N ) 中最大的是( A. S10 B. S11 C. S 20 )组解. C.3 D. S 21

)

3.方程 log2x=3cosx 共有( A.1 B.2

D.4

4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? a 2 ? 1 x ? a ? 2 ? 0 的一个根比 1 大,另一个根比 1 小,则(
- 59 -

?

?

) A. ? 1 ? a ? 1 C. ? 2 ? a ? 1

B. a ? ?1 或 a ? 1 D. a ? ?2 或 a ? 1

5.已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x, cos ? ? y, cos(? ? ?) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为(

3 5



3 5 3 B. y ? ? 5 3 C. y ? ? 5 3 D. y ? ? 5
A. y ? ?

4 x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 1? x2 ?

3 ( ? x ? 1) 5

(0 ? x ? 1)
3 (0 ? x ? ) 5 (0 ? x ? 1)

6.函数 y ? sin x 的定义域为 ? a , b ? ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( 2

? ?

1? ?



A.

?

B. 2?

C.

4? 3

D.

5? 3

二、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 2,则 f(-1)的值为_______________. 2.集 M ? {x | x ? 2 ? 2 , 其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912?x?2004 且 x∈N},则集合 M∩P
n k

中所有元素的和等于________. 3 . 已 知

f(x)=

1 2 ? 2
x

, 则

f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+ ? +f(-1)+f(0)+f(1)+ ?

+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________.
1

4.已知数列{ a n },其中 a1 ? 99 99 , a n ? (a n ?1 ) a1 ,则 a n 为整数时最小的正整数n是________. 5. 设函数 f ( x) ?

x?3 x?a

若使 f ( x)在(1,??) 上为增函数, a 的取值范围为______________. 则 (a ? R) ,

6.函数 f ( x) ? sin x sin x ? cos x cos x 的值域是______________. 三、 (本题满分 20 分) 设 a n ? 0(n ? N ), a1 ? 5, 当n?2 时, a n ? a n ?1 ?
?

7 ? 6 ,求数列{ a n }的通项公式. a n ? a n ?1

- 60 -

四、 (本题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? 4 sin x sin 2 (

?

x ? ) ? cos 2 x. 4 2

(1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间 ? [ (2)设集合 A ? {x |

? 2?
2 , 3

] 上是增函数,求 ? 的取值范围;

?
6

?x?

2? }, B ? {x || f ( x) ? m |? 2}, 若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 3

五、 (本题满分 20 分) 锐角△ ABC 的外心为 O ,线段 OA, BC 的中点分别 为
A

M



N



?ABC ? 4?OMN , ?ACB ? 6?OMN .求 ?OMN .
M

- 61 -

O

B

N

C

六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x ? R ,有

f ( f ( x)) ? x 且 f ( f ( x) ? 1) ? 1 ? x .
若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,请说明理由.

2004 年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案

高中一年级
(2004 年 5 月 23 日上午 9:00---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题、填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各题的评阅,请严格 按照本评分标准规定的档次给分,不要再增加其它中间档次. 2.如果考生的解答与本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的评分 档次,给予相应的分数. 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分.本题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、C、D 四个
- 62 -

结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内,选对一个得 5 分,错选、漏选 或多选,一律的零分. 1.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为[m,n],则 y ? f ( x ? 1) 的值域为( ) A. [m,n] C. f (m ? 1), f (n ? 1) ] [ B. [m-1,n-1] D.无法确定

解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选 A. 2. 设等差数列{ a n }满足 3a8 ? 5a13 , a1 ? 0, S n 为其前 n 项之和, S n (n ? N ) 中最大的是( 且 则 A. S10 B. S11 C. S 20 D. S 21
?

)

解:设等差数列的公差为 d,由题意知 3( a1 +7d)=5( a1 +12d),即 d=∴ a n = a1 +( n-1)d= a1 -

2 a1 , 39

2 41 2 a1 (n-1)= a1 ( - n),欲使 S n (n ? N ? ) 最大,只须 a n ?0,即 n? 39 39 39

20.故应选 C. 3.方程 log2x=3cosx 共有( )组解. A.1 B.2 C.3 D.4 解:画出函数 y=log2x 和 y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有 3 组解.应选 C. 4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? a 2 ? 1 x ? a ? 2 ? 0 的一个根比 1 大,另一个根比 1 小,则( ) A. ? 1 ? a ? 1 C. ? 2 ? a ? 1
2

?

?

B. a ? ?1 或 a ? 1 D. a ? ?2 或 a ? 1

解:令 f(x)= x ? a ? 1 x ? a ? 2 ,其图像开口向上,由题意知 f(1)<0,即
2

?

?

12 ? a 2 ? 1 ? 1 ? a ? 2 <0,
整理得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解之得 ? 2 ? a ? 1 ,应选 C. 5.已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x, cos ? ? y, cos(? ? ?) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为(

?

?

3 5



3 5 3 B. y ? ? 5 3 C. y ? ? 5 3 D. y ? ? 5
A. y ? ?

4 x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 4 1? x2 ? x 5 1? x2 ?

3 ( ? x ? 1) 5

(0 ? x ? 1)
3 (0 ? x ? ) 5 (0 ? x ? 1)

解:y ? c o s ? c o ?s? ? ? ) ? ? ? ? c o s ( ? ? ) c o ? ? s i n?( ? ? ) ? s i n ? ( ? s ? 3 4 ? ? ? 1? x2 ? x 5 5

- 63 -

3 4 3 ? 0 ? ? ? 1 ? x 2 ? x ? 1 , 得 x ? ( ,1) .故应选 A. 5 5 5 ? 1? 6.函数 y ? sin x 的定义域为 ? a , b ? ,值域为 ? ?1, ? ,则 b ? a 的最大值是( ? 2?
而 y ? (0,1) A. C.



?
4? 3

B. 2?
4

D.

5? 3
-6 -4 -2

3

2

1

解:如右图,要使函数 y ? sin x 在定

2

4

6

8

义域 ? a , b ? 上,值

-1

? 1? 域 为 ? ?1, ? , 则 b ? a 的 最 大 值 是 ? 2?

-2

-3

-4

?

7? 4? .故应选 C. ? (? ) ? 6 6 3

-5

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分)本题要求直接写出结果. 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期 2,则 f(-1)的值为_______________. 解: f ( x ? 2) ? f ( x) 即 f (1) ? f (?1) ? ? f (1)
n k

令 x ? ?1

∴ f (?1 ? 2) ? f (?1) .

? f (?1) ? 0 .应填 0.

2.集 M ? {x | x ? 2 ? 2 , 其中 n, k∈N, 且 n>k}, 集 P={x|1912?x?2004 且 x∈N},则集合 M∩P 中所有元素的和等于________. 解: 2 ? 1024 , 11=2048, ∵ 2 ∴集合 M∩P 中所有元素必为 211-2k (其中 k∈N) 的形式, 1912?211-2k 又
10

?2004, 44?2k?136, 故 符合条件的 k 只能等于 6 和 7, 所以集合 M∩P 中只有两个元素, 即为 211-26=1984 和 211-27=1920,其和为 1984+1920=3904.本题应填 3904. 3 . 已 知 f(x)=

1 2 ? 2
x

, 则 f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+ ? +f(-1)+f(0)+f(1)+ ?

+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________.
解:利用 f(x)+f(1-x)=

2 ,可得结果为 1002 2 .应填 1002 2 . 2
1

4.已知数列{ a n },其中 a1 ? 99 99 , a n ? (a n ?1 ) a1 ,则 a n 为整数时最小的正整数n是________. 解:显然对任意的正整数 n,均有 a n >0,由 a n ? (a n ?1 ) 1 两边取对数得 lg a n ? a1 lg a n ?1 ,
a

故{ lg a n }是以 lg a1 为首项, a1 为公比的等比数列,所以 lg a n ? a1

n ?1

lg a1 ,

得 an

? a1

a1n ?1

? (99 )

1 1 ( n ?1) 99 99 99

,欲使 a n 为整数,必有 n-1=99k,(k 为正整数),故所求的最小的正整

数 n 是 100.应填 100.
- 64 -

5. 设函数 f ( x) ?

x?3 x?a

若使 f ( x)在(1,??) 上为增函数, a 的取值范围为______________. 则 (a ? R) ,

解:设 t ?

x ? a ,则原函数化为 f (t ) ?

t2 ? 3? a 3? a ,因为 f ( x)在(1,??) 上为增函数,所 ?t? t t

以 f (t ) 在 ( 1 ? a ,??) 上 为 增 函 数 . 当 3 ? a ? 0 即 a ? ?3 时 显 然 符 合 ; 当 3 ? a ? 0 时 , 因为 f (t ) 在

( 3 ? a ,??) 上为增函数, 所以 3 ? a ? 1 ? a , ? 3 ? a ? ?1 , 即 综上可知所求 a 的取值范围为 (??,?1] .
应填 (??,?1] . 6.函数 f ( x) ? sin x sin x ? cos x cos x 的值域是______________. 解:由函数 f ( x) ? sin x sin x ? cos x cos x , 当 x 的终边落在第一象限时, f ( x) ? sin x ? cos x ? 1;
2 2

当 x 的终边落在第二象限时, f ( x) ? sin x ? cos x ? ? cos 2 x ? (?1,1);
2 2

当 x 的终边落在第三象限时, f ( x) ? ? sin x ? cos x ? ?1;
2 2

当 x 的终边落在第四象限时, f ( x) ? ? sin x ? cos x ? cos 2 x ? (?1,1);
2 2

当 x 的终边落在两个坐标轴上时, f ( x) ? ?1或1 ; 综上所述 f ( x) 的值域是 [-1,1] .应填[-1,1]. 三、 (本题满分 20 分) 设 a n ? 0(n ? N ), a1 ? 5, 当n?2 时, a n ? a n ?1 ?
2 2
?

7 ? 6 ,求数列{ a n }的通项公式. a n ? a n ?1

解:∵条件可化为 a n ? a n ?1 ? 6a n ? 6a n ?1 ? 7 ,配方,得

(a n ? 3) 2 ? (a n?1 ? 3) 2 ? 7 .---------10 分
?∴ (a n ? 3) ? (a1 ? 3) ? 7(n ? 1) ? 7n ? 3,
2 2

?故 a n ?

7 n ? 3 ? 3 . --------------20 分

四、 (本题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? 4 sin x sin (
2

?

x ? ) ? cos 2 x. 4 2

(1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间 ? [ (2)设集合 A ? {x |

? 2?
2 , 3

] 上是增函数,求 ? 的取值范围;

?
6

?x?

2? }, B ? {x || f ( x) ? m |? 2}, 若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 3

- 65 -

1 ? cos( ? x) 2 解: (1) f ( x) ? 4 sin x ? ? cos 2 x ? 2 sin x(1 ? sin x) ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 sin x ? 1. 2
-------------------------5 分

?

? f (?x) ? 2 sin ?x ? 1在[?

]是增函数, 3 ? 2? ? ? 2? ? 3 ? [? , ] ? [? , ]? ? ,? ? ? (0, ] ? ? ? ? ? ? ? 10分 2 3 2? 2? 3 2? 4 2 ,
(2)由 | f ( x) ? m |? 2 ? ?2 ? f ( x) ? m ? 2, 即f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 2? 时, 不 等 式 ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2恒 成 立 f . 6 3 ? [ f ( x) ? 2] max ? m ? [ f ( x) ? 2] min ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?15分 ? A ? B. ? 当 ?x? ? f ( x) min ? f ( ) ? 2, f ( x) max ? f ( ) ? 3. ? m ? (1,4) ? ? ? ? ? 20分 6 2
五、 (本题满分 20 分) 锐 角 △ ABC 的 外 心 为 O , 线 段 OA, BC 的 中 点 分 别 为 M 、 N , ?ABC ? 4?OMN ,

? 2?

?

?

?

?ACB ? 6?OMN .求 ?OMN . 解:设 ?OMN ? ? ,则 ?ABC ? 4? , ?ACB ? 6? ,
?BAC ? 180 ? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180 ? ? 10? ---5 分
又 ?NOC ?
M O

A

1 ?BOC ? ?BAC ? 180 ? ? 10? 2 ?MOC ? ?AOC ? 2?ABC ? 8?

B

N

C

从而 ?MON ? 8? ? (180 ? ? 10? ) ? 180 ? ? 2? ----------10 分

?ONM ? 180 ? ? (?MON ? ?OMN ) ? 180 ? ? (180 ? ? 2? ? ? ) ? ? ? ?OMN
即 ?OMN 为等腰三角形, ON ? OM ?

∵ ?ONC ? 90? ,∴ ?NOC ? 60? , 又∵ ?NOC ? 180 ? ?10? ,∴ ?OMN ? ? ? 12? ---------------20 分 六、 (本题满分 20 分) 是否存在定义在实数集 R 上的函数 f(x),使得对任意 x ? R ,有

1 1 OA ? OC -------15 分 2 2

f ( f ( x)) ? x 且 f ( f ( x) ? 1) ? 1 ? x
若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,说明理由. 解:这样的函数不存在.--------------------------5 分 下面用反证法证明: 若存在 f (x) 使得(1)(2)均成立.先证 f (x) 是一一映射. 、 对于任意的 a, b ? R ,若 f (a) ? f (b) ,由(1)有 a ? f ( f (a)) ? f ( f (b)) ? b ,即 f (x) 是一一映 射.-------------------10 分
- 66 -

将 x ? 0 代入(1) ,则有 f ( f (0)) ? 0 ---------------

(3)

将 x ? 1代入(2) ,得 f ( f (1) ? 1) ? 0 ----------------------(4) 由(3)(4)得: f ( f (0)) ? f ( f (1) ? 1) ----------------------------------15 分 、 因为 f (x) 是一一映射,所以 f (0) ? f (1) ? 1 ---------------------(5) 同理,分别将 x ? 1与 x ? 0 代入(1)(2) 、 ,得 f ( f (1)) ? f ( f (0) ? 1) 所以

f (1) ? f (0) ? 1 ------------------------------------------(6)

将(5)与(6)相加得 0=2,矛盾.--------------------------------------20 分

2004 年全国高中数学联赛模拟试卷
试题 第一试
一、选择题(满分 36 分,每小题 6 分)

- 67 -

二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分)

三、解答题(满分 60 分,每小题 20 分)

加试题

- 68 -

答案或提示 第一试

- 69 -

- 70 -

- 71 -

- 72 -

加试题答案

- 73 -

- 74 -

2004 年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设锐角?使关于 x 的方程 x2+4xcos?+cos?=0 有重根,则?的弧度数为 A. ( D. 12 )

?
6

B.

?
12

5? 或 12

? 5? C. 或 6 12

?

2.已知 M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的 m∈R,均有 M∩N??,则 b 的取 值范围是 ( ) A.[- 6 6 , ] 2 2 B.(- 6 6 , ) 2 2 2 3 2 3 C.(- , ] 3 3
- 75 -

2 3 2 3 D.[- , ] 3 3

1 3.不等式 log2x-1+ log1 x3+2>0 的解集为 2 2 A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] ) → → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA+2 OB+3 OC= 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比为( A.2 B. 3 2 C.3 5 D. 3

5.设三位数 n=??? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面 圆内的点,O 为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的 中 点 , 则 当 三 棱 锥 O - HPC 的 体 积 最 大 时 , OB 的 长 为 ( ) A. 5 3 2 5 B. 3 C. 6 3 2 6 D. 3

P

C O A H B

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ; 8. 设函数 f: R→R, 满足 f(0)=1, 且对任意 x, y∈R, 都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(x)= 则 9 . 如 图 , 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 二 面 角 A - BD1 — A1 的 度 数 是 ; D1 10.设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k2-pk也是一个正整数,则 k= ; 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3, 1 则∑ 的值是 ai i=0
n



C1 B1

A1

D



C B

A

12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ; 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数的和 大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少? 4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D), 且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点, L 的斜率 k 的取值范围. 求 2x-t 15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)= 2 的定义域为[?,?]. x +1 ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 1 3 6 ? ⑵ 证明:对于 ui∈(0, )(i=1,2,3),若 sinu1+sinu2+sinu3=1,则 + + < . 2 g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 4
- 76 -

二试题
一.(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的 高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长. 二.(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中,y 轴正半轴上的点列 1 {An}与曲线 y= 2x(x?0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|= ,直线 AnBn 在 x 轴 n 上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; b2 b3 bn bn+1 ⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有 + +?+ + <n-2004. b1 b2 bn-1 bn 三.(本题满分 50 分)对于整数 n?4, 求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m, 集合{m, m+1,?, m+n-1}的任一个 f(n)元子集中,均至少有 3 个两两互素的元素.
A G K F E B C

D H

- 77 -

2004 年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设锐角?使关于 x 的方程 x2+4xcos?+cot?=0 有重根,则?的弧度数为 A. ( D. 12 )

?
6

B.

?
12

5? 或 12

? 5? C. 或 6 12

?

1 解:由方程有重根,故 ?=4cos2?-cot?=0, 4

? ? 5? ∵ 0<?< ,?2sin2?=1,??= 或 .选 B. 2 12 12
2.已知 M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的 m∈R,均有 M∩N??,则 b 的取 值范围是 ( ) A.[- 6 6 , ] 2 2 B.(- 6 6 , ) 2 2 2 3 2 3 C.(- , ] 3 3 6 6 , ].选 A. 2 2 2 3 2 3 D.[- , ] 3 3

解:点(0,b)在椭圆内或椭圆上,?2b2?3,?b∈[- 1 3.不等式 log2x-1+ log1x3+2>0 的解集为 2 2 A.[2,3) B.(2,3]

C.[2,4)

D.(2,4]

3 解:令 log2x=t?1 时, t-1> t-2.t∈[1,2),?x∈[2,4),选 C. 2 → → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA+2 OB+3 OC= 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比为( A.2 B. 3 2 C.3 5 D. 3
B B1 O S C C1 D

)
A

解 : 如 图 , 设 ?AOC=S , 则 ?OC1D=3S , ?OB1D=?OB1C1=3S , ?AOB=?OBD=1.5S.?OBC=0.5S,??ABC=3S.选 C. 5.设三位数 n=??? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,

则这样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 解:⑴等边三角形共 9 个; ⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为 a,b),有 36 种取法,以小数为底时总能构成等腰三 角形,而以大数为底时,b<a<2b.a=9 或 8 时,b=4,3,2,1,(8 种);a=7,6 时,b=3,2,1(6 种);a=5, 4 时,b=2,1(4 种);a=3,2 时,b=1(2 种),共有 20 种不能取的值.共有 236-20=52 种方法,而每取一 组数,可有 3 种方法构成三位数,故共有 523=156 个三位数 即可取 156+9=165 种数.选 C. 6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面 圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体 积最大时,OB 的长为 ( ) A. 5 3 2 5 B. 3 C. 6 3 2 6 D. 3

解:AB⊥OB,?PB⊥AB,?AB⊥面 POB,?面 PAB⊥面 POB. OH⊥PB,?OH⊥面 PAB,?OH⊥HC,OH⊥PC,
- 78 -

又,PC⊥OC,?PC⊥面 OCH.?PC 是三棱锥 P-OCH 的高.PC=OC=2. 而?OCH 的面积在 OH=HC= 2时取得最大值(斜边=2 的直角三角形). 2 6 当 OH= 2时,由 PO=2 2,知∠OPB=30?,OB=POtan30?= . 3 1 又解:连线如图,由 C 为 PA 中点,故 VO-PBC= VB-AOP, 2 而 VO-PHC∶VO-PBC= PH PO = (PO2=PH· PB). PB PB2
2

P

C O A H B

记 PO=OA=2 2=R,∠AOB=?,则 1 1 1 VP—AOB= R3sin?cos?= R3sin2?,VB-PCO= R3sin2?. 6 12 24 PO2 R2 1 2 sin2? 1 3 = = = .?VO-PHC= ? R. PB2 R2+R2cos2? 1+cos2? 3+cos2? 3+cos2? 12 2cos2?(3+cos2?)-(-2sin2?)sin2? sin2? 1 3 ∴ 令 y= ,y?= =0,得 cos2?=- ,?cos?= , 3 3 3+cos2? (3+cos2?)2 2 6 ∴ OB= ,选 D. 3 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ; 2? 2? a2+1sin(ax+?),周期= ,取长为 ,宽为 2 a2+1的矩形,由对称性知,面积之半即为所 a a

解:f(x)=

2? 2 求.故填 a +1. a

? ?1 2 a2+1 2 2p 2 又解: a +1[1-sin(ax+?)]dx= (1-sint)dt= a a +1. a ?0 0





8. 设函数 f: R→R, 满足 f(0)=1, 且对任意 x, y∈R, 都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(x)= 则 解:令 x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,?f(1)=2. 令 y=1,得 f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即 f(x+1)=2f(x)-x.① 又,f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,令 y=1 代入,得 f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2,即 f(x+1)=f(x)+1.② 比较①、②得,f(x)=x+1. D1 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1—A1 的度数是 ; A
1



C1 M N B1

3 解:设 AB=1,作 A1M⊥BD1,AN⊥BD1,则 BN?BD1=AB ,?BN=D1M=NM= . 3
2

6 ?A1M=AN= . 3 2 2 1 2 1 ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2-2A1M?NAcos?,?12= + + -2? cos?,?cos?= . 3 3 3 3 2 ??=60?. 10.设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k2-pk也是一个正整数,则 k= p p2 1 解:设 k2-pk=n,则(k- )2-n2= ,?(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,?k= (p+1)2. 2 4 4

D A B

C



- 79 -

1 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑ 的值是 ai i=0
n

n



n+1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 -1 1 1 解: = + ,?令 bn= + ,得 b0= ,bn=2bn-1,?bn= ?2n.即 = ,?∑ = (2n+2-n-3). an+1 an 3 an 3 3 3 an 3 ai 3 i=0

12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当∠MPN 取最大 值时,点 P 的横坐标为 ; y 解:当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 N x 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP?N 更大).于是,延长 NM M 交 x 轴于 K(-3,0),有 KM?KN=KP2,?KP=4.P(1,0),(-7,0), 但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P 的横坐标=1. O x P 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) K 13.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次, 如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少? 解:⑴ 设他能过 n 关,则第 n 关掷 n 次,至多得 6n 点, 由 6n>2n,知,n?4.即最多能过 4 关. ⑵ 要求他第一关时掷 1 次的点数>2,第二关时掷 2 次的点数和>4,第三关时掷 3 次的点数和>8. 4 2 第一关过关的概率= = ; 6 3 第二关过关的基本事件有 62 种, 不能过关的基本事件有为不等式 x+y?4 的正整数解的个数, C4个 (亦 有 6 5 可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计 6 种,过关的概率=1- 2= ; 6 6 第三关的基本事件有 63 种,不能过关的基本事件为方程 x+y+z?8 的正整数解的总数,可连写 8 个 1, 56 7 20 3 8?7?6 从 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C8= =56 种,不能过关的概率= 3 = ,能过关的概率= ; 6 27 27 3?2?1 2 5 20 100 ∴连过三关的概率= ? ? = . 3 6 27 243 4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 的距离是该 3 点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D), 且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点, L 的斜率 k 的取值范围. 求 解:⑴ 设点 P 的坐标为(x,y), x 3y AB 方程: + =1,?4x-3y+4=0, -1 4 ①
y
P B K -1 A 1 D C O 1
2

BC 方程:y=0, ② AC 方程:4x+3y-4=0, ③ ∴ 25|y|2=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|, ?25y2+16x2-(3y-4)2=0,?16x2+16y2+24y-16=0, ?2x2+2y2+3y-2=0. 或 25y2-16x2+(3y-4)2=0,?16x2-34y2+24y-16=0, ?8x2-17y2+12y-8=0.
- 80 -

x

∴ 所求轨迹为圆:2x2+2y2+3y-2=0, 或双曲线:8x2-17y2+12y-8=0. 但应去掉点(-1,0)与(1,0).

④ ⑤

1 1 ⑵ ?ABC 的内心 D(0, ):经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+ . 2 2 (a) 直线 x=0 与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点;



1 1 5 1 (b) k=0 时,直线 y= 与圆④切于点(0, ),与双曲线⑤交于(± 2, ),即 k=0 满足要求. 2 2 8 2 1 (c) k=± 时,直线⑥与圆只有 1 个公共点,与双曲线⑤也至多有 1 个公共点,故舍去. 2 1 25 (c) k?0 时,k? 时,直线⑥与圆有 2 个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k2)x2-5kx- =0. 2 4 2 34 2 当 8-17k2=0 或(5k)2-25(8-17k2)=0,即得 k=± 与 k=± . 17 2 2 34 2 ∴ 所求 k 值的取值范围为{0,± ,± }. 17 2 15.已知?,?是方程 4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)= ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 1 3 6 ? ⑵ 证明:对于 ui∈(0, )(i=1,2,3),若 sinu1+sinu2+sinu3=1,则 + + < . 2 g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 4 1 解:⑴ ?+?=t,??=- .故?<0,?>0.当 x1,x2∈[?,?]时, 4 ∴ f ?(x)= 2(x2+1)-2x(2x-t) -2(x2-xt)+2 = .而当 x∈[?,?]时,x2-xt<0,于是 f ?(x)>0,即 f(x)在[?, (x2+1)2 (x2+1)2 2?-t 2?-t (2?-t)(?2+1)-(2?-t)(?2+1) (?-?)[t(?+?)-2??+2] - = = ?2+1 ?2+1 (?2+1)(?2+1) ?2?2+?2+?2+1 2x-t 的定义域为[?,?]. x2+1

?]上单调增.
∴ g(t)=

5 t2+1(t2+ ) 2 8 t2+1(2t2+5) = = 25 16t2+25 t2+ 16 ⑵ g(tanu)= ∴ 8secu(2sec2u+3) 16+24cos2u 16 6 = ? , 16sec2u+9 16cosu+9cos3u 16+9cos2u

1 1 1 1 1 + + ? [16?3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75-9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)] g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6 16 6

1 sinu1+sinu2+sinu3 2 而 (sin2u1+sin2u2+sin2u3)?( ) ,即 9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)?3. 3 3 ∴ 1 1 1 1 3 6 + + ? (75-3)= .由于等号不能同时成立,故得证. g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6 4

- 81 -

二试题
一.(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H,以 DE 为直 径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长. 解:∵ BC=25,BD=20,BE=7, C ∴ CE=24,CD=15. 6 ∵ AC· BD=CE· AB,? AC= AB, 5 ∵ BD⊥AC,CE⊥AB,?B、E、D、C 共圆, 6 6 ?AC(AC-15)=AB(AB-7),? AB( AB-15)=AB(AB-18), 5 5 ∴ AB=25,AC=30.?AE=18,AD=15. 1 ∴ DE= AC=15. 2 延长 AH 交 BC 于 P, 则 AP⊥BC. ∴ AP· BC=AC· BD,?AP=24. 连 DF,则 DF⊥AB, 1 ∵ AE=DE,DF⊥AB.?AF= AE=9. 2 ∵ D、E、F、G 共圆,?∠AFG=∠ADE=∠ABC,??AFG∽?ABC, ∴ AK AF 9?24 216 = ,?AK= = . AP AB 25 25
A G K F
18


D

15 24 25 20

H

P

E

7

B

二.(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中,y 轴正半轴上的点列{An}与曲线 y= 2x(x?0)上的点列 1 {Bn}满足|OAn|=|OBn|= ,直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. n ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; b2 b3 bn bn+1 ⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有 + +?+ + <n-2004. b1 b2 bn-1 bn 1 1 解:⑴ 点 An(0, ),Bn(bn, 2bn)?由|OAn|=|OBn|,?bn2+2bn=( )2,?bn= n n 1 ∴ 0<bn< 2.且 bn 递减,?n2bn=n( n2+1-n)= 2n 1 1 .?令 tn= > 2且 tn 单调减. 2 n bn n = n2+1+n 1 1 1+( )2-1(bn>0). n

单调增. 1 1+( )2+1 n

∴ 0<n bn<

bn 2bn 由截距式方程知, + =1,(1-2n2bn=n2bn2) an 1 n bn bn(1+n 2bn) 1+n 2bn 1 2 1 2 1 2 1 ∴ an= = = 2 =( ) + 2( )=tn2+ 2tn=(tn+ )2- ?( 2+ )2- =4. 2 n bn 2 2 2 2 1-n 2bn 1-2n bn n bn n bn 且由于 tn 单调减,知 an 单调减,即 an>an+1>4 成立. 1 1 亦可由 2 =bn+2. = bn+2,得 an=bn+2+ 2 bn+2, . n bn n bn ∴ 由 bn 递减知 an 递减,且 an>0+2+ 2? 2=4.
- 82 -

bk+1 ⑵ 即证∑ (1- )>2004. bk k=1 1 1+( )2- k 1 1+( )2 k+1 1 1+( )2+1 k 1 1+( )2+ k 1 1+( )2 k+1

n

bk+1 bk-bk+1 1- = = bk bk

1 1+( )2-1 k

1 1 =k2(( )2-( )2) k k+1

2k+1 ? (k+1)2

1 1+( )2+1 k 2k+1 1 1 > . 2? > 1 2 (k+1) 2 k+2 2 1+( ) k
n

bk+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴∑ (1- )>∑ >( + )+( + + + )+?+> + + +?. bk k=1k+2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 k=1 bk+1 只要 n 足够大,就有∑ (1- )>2004 成立. bk k=1 三.(本题满分 50 分)对于整数 n?4, 求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m, 集合{m, m+1,?, m+n-1}的任一个 f(n)元子集中,均至少有 3 个两两互素的元素. 解:⑴ 当 n?4 时,对集合 M(m,n)={m,m+1,?,m+n-1}, 当 m 为奇数时,m,m+1,m+2 互质,当 m 为偶数时,m+1,m+2,m+3 互质.即 M 的子集 M 中存在 3 个两两互质的元素,故 f(n)存在且 f(n)?n. ① 取集合 Tn={t|2|t 或 3|t,t?n+1},则 T 为 M(2,n)={2,3,?,n+1}的一个子集,且其中任 3 个数无不能 两两互质.故 f(n)?card(T)+1. n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 但 card(T)=[ ]+[ ]-[ ].故 f(n)?[ ]+[ ]-[ ]+1. 2 3 6 2 3 6 ②
n

n

由①与②得,f(4)=4,f(5)=5.5?f(6)?6,6?f(7)?7,7?f(8)?8,8?f(9)?9. 现计算 f(6),取 M={m,m+1,?,m+5},若取其中任意 5 个数,当这 5 个数中有 3 个奇数时,这 3 个 奇数互质;当这 3 个数中有 3 个偶数 k,k+2,k+4(k?0(mod 2))时,其中至多有 1 个被 5 整除,必有 1 个被 3 整除,故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除,此数与另两个奇数两两互质.故 f(6)=5. 而 M(m,n+1)=M(m,n)∪{m+n},故 f(n+1)?f(n)+1. ③ ∴ f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8. n+1 n+1 n+1 ∴ 对于 4?n?9,f(n)= [ ]+[ ]-[ ]+1 成立. 2 3 6 ④

设对于 n?k,④成立,当 n=k+1 时,由于 M(m,k+1)=M(m,k-5)∪{m+k-5,m+k-4,?,m+k}. 在{m+k-5,m+k-4,?,m+k}中,能被 2 或 3 整除的数恰有 4 个,即使这 4 个数全部取出,只要在 前面的 M(m,k-5)中取出 f(n)个数就必有 3 个两两互质的数.于是 当 n?4 时,f(n+6)?f(n)+4=f(n)+f(6)-1. k+2 k+2 k+2 故 f(k+1)?f(k-5)+f(6)-1=[ ]+[ ]-[ ]+1, 2 3 6 比较②,知对于 n=k+1,命题成立. n+1 n+1 n+1 ∴对于任意 n∈N*,n?4,f(n)= [ ]+[ ]-[ ]+1 成立. 2 3 6 又可分段写出结果:
- 83 -

f(n)=

4k+1,(n=6k, k∈N*), 4k+2,(n=6k+1,k∈N*), 4k+3,(n=6k+2,k∈N*), 4k+4,(n=6k+3,k∈N*), 4k+4,(n=6k+4,k∈N*), 4k+5,(n=6k+5,k∈N*).

2004 年全国高中数学联赛试题
【第一试】 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
2 1、设锐角 q 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos? ? cot? ? 0 有重根,则 q 的弧度数为

? A. 6

?
B。 12



5? 12

?
C。 6



5? 12

? D。 12

答:[

]

2 2 2 、 已 知 M= ?( x, y) | x ? 2 y ? 3? , N= ?( x, y) | y ? mx ? b? , 若 对 于 所 有 的 m ? R , 均 有

M ? N ? ? , 则 b 的取值范围是

A.[

?

6 6 , 2 2 ]

B。(

?

6 6 2 3 2 3 , ? , 2 2 )C。( 3 3 )

2 3 2 3 , 3 3 ] D。[ ?

答:[
1 log 2 x ? 1 ? log 1 x 3 ? 2 2 2

]

3、不等式 A.[2,3]

>0 的解集是 D。(2,4) 答:[ ]

B。(2,3)

C。[2,4]

4、设 O 点在△ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比 为 A.2
3 B。 2

C。3

5 D。 3

答:[

]

5、设三位数 n ? abc ,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个 等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有 A.45 个 B。81 个 C。165 个 D。216 个 答:[ ] 6、 顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 是底面圆周上的点, 是底面圆内的点, A B O 为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 是 PA 的中点,则当三 棱锥 O—HPC 的体积最大时,OB 的长是
5 A. 3 2 5 B。 3 6 C。 3 2 6 D。 3

答:[

]

- 84 -

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax(a?0) 在一个最小正周期长的区间
2 上的图像与函数 g ( x) ? a ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数 f : R ? R, 满足 f (0) ? 1 ,且对任意的 x, y ? R ,都有 f ( xy ? 1) =
f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) ? __________ ______。

9、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是______________。 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 是一个正整数,则 k =________________。 11、已知数列 a0 , a1 , a 2 ,..., a n ..., 满足关系式
(3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18
k 2 ? pk



且 a0 ? 3 ,则 i ?0

?a

n

1
i

的值是______。

12、在平面直角坐标系 xoy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 X 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标是___________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现 的点数之和大于 2 ,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地 静止后,向上一面的点数为出现点数。)
4 xoy 中,给定三点 A(0, 3 ),B(-1,0),C(1,0)。点 P 到 14、在平面直角坐标系
n

直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中顶。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过△ABC 的内心(设为 D),且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。
2 15、已知 ? 、 ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0 ( t ? R )的两个不等实根,函数 f (x) ?

- 85 -

2x ? t x 2 ? 1 的定义域为[ ? , ? ]。

(Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x);
u i ? (0, ) 2 (i ? 1,2,3) ,若 sin u1 ? sin u 2 ? sin u3 ? 1 ,则 (Ⅱ)证明:对于
1 1 1 3 ? ? ? 6 g (tan u1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 4 。

?

【第二试】

一、(本题满分 50 分) 在锐角△ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相 交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点, FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。

二、(本题满分 50 分)

?A ? 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 n 与曲线 y ? 2 x ( x ?0)上的点列

?Bn ?满足 OAn
n? N? 。

? OBn ?

1 n ,直线 An Bn 在 X 轴上的截距为 a n ,点 Bn 的横坐标为 bn ,

(Ⅰ)证明

? a n an?1 > >4, n ? N 。

b b b2 b3 ? ? ... ? n ? n ?1 n ?N ?n? n0 bn ?1 bn < n ? 2004 。 (Ⅱ)证明有 0 ,使得对 都有 b1 b2
?

三、(本题满分 50 分) 对于整数 n ?4,求出最小的整数 f (n) ,使得对于任何正整数 m ,集合

?m, m ? 1,..., m ? n ? 1?的任一个 f (n) 元子集中,均有至少 3 个两两互素的元素。
- 86 -

参考答案
第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
2 2 1、解:因方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,故 ? ? 16cos ? ? 4cot ? ? 0

?0 ? ? ?

?
2

, ? 4cot ? (2sin 2? ? 1) ? 0



sin 2? ?

1 2

? 2? ?

?
6

或 2? ?

5? ? 5? ?? 或 6 ,于是 12 12 。

故选 B。

2 2 2 、 解 : M ? N ? ? 相 当 于 点 ( 0 , b ) 在 椭 圆 x ? 2y ? 3 上 或 它 的 内 部

?

2b 2 6 6 ? 1, ?? ?b? 3 2 2 。

故选 A。

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 2 2 2 ? ?log 2 x ? 1 ? 0 3、解:原不等式等价于 ?

? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ?t ? 0 ? 设

解得 0 ? t ? 1 。 故选 C。
A



0 ? log 2 x ? 1 ? 1, ? 2 ? x ? 4



4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点, ??? ???? ? ???? OA ? OC ? 2OD (1) ??? ???? ? ???? ? 则 2(OB ? OC ) ? 4OE (2) 由(1)(2)得, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE ) ? 0 , ???? ??? ? B 即 OD与OE 共线,

D

O

E

C

- 87 -

???? ??? ? | OD |? 2 | OE |

?



S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ?3 S?AOC 2 S?AOC 2 , 故选 C。

5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所以,
1 n1 ? C9 ? 9



(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个不 同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9 。但 当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是 a b 共 20 种情况。 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 故
n2 ? C32 (2C92 ? 20) ? 6(C92 ? 10) ? 156
2

9 4,3 2,1

8 4,3 2,1

7 3,2 1

6 3,2 1

5 1,2

4 1,2

3 1

2 1

1

C32

种情况。 。



综上,

n ? n1 ? n2 ? 165

6、解:? AB ? OB, AB ? OP, ? AB ? PB, 又OH ? PB

?面PAB ? 面POB, ?OH ? HC, OH ? PA 。C 是 PA 中点,?OC ? PA
?当HO ? HC时S?HOC

最大,

也即

VO ? HPC ? VP ? HCO

最大。

此时,
1 HO ? 2, 故HO= OP, ??HPO ? 300 2 2 6 ? OB ? OP ? tan 300 ? 3 ,

故选 D。

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

- 88 -

1 2? f ( x) ? a2 ? 1 sin(ax ? ? ),其中? ? arctan 2 a ,它的最小正周期为 a ,振幅为 a ? 1 。 7、解: 2? f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为 a 、宽为 由 2? a ? 1 的长方形,故它的面积是 a
2

a2 ? 1



8、解:?对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2,

?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x ) ? y ? 2
即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。
D1C , 作CE ? BD1 FE ? BD1

9、解:连结 性知

,垂足为 E,延长 CE 交
A ? BD1 ? A1

A1B

于 F,则

,连结 AE,由对称

AE ? BD1 , ??FEA

是二面角

的平面角。 D1
A1 F E B1

C1

连结 AC,设 AB=1, 则

AC ? AD1 ? 2, BD1 ? 3.
2 3,

AB ? AD1 AE ? ? 在Rt ?ABD1 BD1 中,

D C

4 A ?2 AE 2 ? CE 2 ? AC 2 2 AE 2 ? AC 2 3 1 ?AEC中, cos ?AEC ? ? ? ?? 2 4 2 AE ? CE 2 AE 2 3 在

B

??AEC ? 1200 , 而?FEA是?AEC 的补角,??FEA ? 600 。

10、解:设

k 2 ? pk ? n, n ? N * , 则 k 2 ? pk ? n 2 ? 0, k ?

p ? p 2 ? 4n 2 2 2 2 ,从而 p ? 4n 是平方数,

2 * 2 设为 m , m ? N , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p

- 89 -

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4
p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1) 2 ?k ? ? ,故k ? 2 4 4 。(负值舍去)

bn ?

11、解:设

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn ?1 bn

1 1 1 3bn?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 3 3 3 即 1 {bn ? } 3 是公比为 2 的等比数列, 故数列
bn ?
n

1 1 1 1 1 1 ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n ?1 ? bn ? (2n ?1 ? 1) 3 3 a0 3 3 3 。

n n ? 1 1 1 i ?1 1 ? 2(2n ?1 ? 1) ? a ? ? bi ? ? 3 (2 ? 1) ? 3 ? 2 ? 1 ? (n ? 1) ? ? 3 ? 2n?2 ? n ? 3? i ?o i i ?0 i ?0 ? ?



12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为
2 2 2 S(a,3-a),则圆 S 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? 3 ? a) ? 2(1 ? a )

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大, 所以, ?MPN 取 当 最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足
2(1 ? a 2 ) ? (a ? 3)2 , 解得

a=1 或 a=-7。
'

即对应的切点分别为 P(1, 0)和P (?7, 0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M,N,P 的 圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
4 5 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 2 , 6 ? 5 ? 2 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现的点数

之和大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关。
- 90 -

n

.......5 分

(Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败”,则对立事件 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。
n

An

为“第 n 关过关成功”。

第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况),

?过此关的概率为:

P( A1 ) ? 1 ? P( A1 ) ? 1 ?

2 2 ? 6 3。

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和。 即有
1 1 1 C1 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6

(个)。
6 5 ? 62 6 。

?过此关的概率为:

P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?

........10 分

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解 组数之和。即有
2 2 2 2 C2 ? C32 ? C4 ? C52 ? C6 ? C7 ? 1 ? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56

(个)。

?过此关的概率为:

P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?

56 20 ? 63 27 。

.........15 分

2 5 20 100 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ? 3 6 27 243 。 故连过前三关的概率为:

........20 分

(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来)
4 4 y ? ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 3 3 14、解:(Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 。点 P( x, y ) 到 1 1 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 5 5 AB、AC、BC 的距离依次为 。依设,
d1d 2 ? d32 , 得 |16 x 2 ? (3 y ? 4)2 |? 25 y 2
2 2 2 16 2 4) 2 ? y 2 ? , 25 0 ,即 16 x ? (3 y ?4) ?25 y ?0, 或 x ?(3 y ?

化简得点 P 的轨迹方程为
2 2 2 2 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0

......5 分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分
2 2 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0 2 2 与双曲线 T: 8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0

① ②

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上,且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。
- 91 -

?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由

d1 ? d 2 ? d3

1 D (0, ) 2 ,且知它在圆 S 上。直线 ,解得

L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为
y ? kx ? 1 2


y? 1 2 平行于 x 轴,表明 L 与

(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线

双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有 两种情况: 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率
k?? 1 2 ,直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) 。代

5 4 5 4 E ( , )或F(- , ) 3 3 。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E; 入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 3 3

直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当
k?? 1 2 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 k??

......15 分

情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即

1 2 ),因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? ? 1 ? y ? kx ? 2 双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实数解,消去 y
(8 ? 17k 2 ) x 2 ? 5kx ? 25 ?0 4

并化简得

2 该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k ? 0





(?5k )2 ? 4(8 ? 17k 2 )

25 ?0 4



解方程④得

k ??

2 34 2 k ?? 2 。 17 ,解方程⑤得

1 2 34 2 {0, ? , ? ,? } 2 17 2 。 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集

......20 分

- 92 -

2 2 15、解:(Ⅰ)设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4 x1 ? 4tx1 ? 1 ? 0, 4 x2 ? 4tx2 ? 1 ? 0,

2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ?0 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?



2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2



t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ?

?? , ? ? 上是增函数。 故 f ( x) 在区间
1 ?? ? ? ? t , ?? ? ? , 4

.......5 分

? g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ?

( ? ? ? ) ?t (? ? ? ) ? 2?? ? 2?

? 2? 2 ?? 2 ? ? 2 ?1

5? ? t2 ?1? t2 ? ? 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? ? ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16

......10 分

(Ⅱ)证:
8 2 16 ( 2 ? 3) ? 24 cos ui cos ui cos ui cos ui g (tan ui ) ? ? 16 6 16 16 ? 9 cos 2 ui ? 2 16 ? 24 ? (i ? 1, 2,3) ?9 2 2 16 ? 9 cos ui 16 ? 9 cos 2 ui cos ui

??
i ?1
3

3

3 1 1 3 1 ? ? (16 ? 9 cos2 ui ) ? 16 6 (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9)? sin 2 ui ) g (tan ui ) 16 6 i ?1 i ?1 ....15 分

? ? sin ui ? 1, 且ui ? (0, ), i ? 1, 2,3 2 i ?1

?

? 3? sin 2 ui ? (? sin ui ) 2 ? 1
i ?1 i ?1

3

3

,而均值不等式与柯西不等

式中,等号不能同时成立,
? 1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4

......20 分

- 93 -

2005 年高中数学联赛第 13 题的背景及解法讨论
广东深圳市育才中学 王 扬

探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作,它即可挖掘知识之间的纵横联系,又可以 培养学生发现问题、解决问题的能力,同时可激发学生学习数学的兴趣,还可以揭示命题人的思维方法, 为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式,让他们也能享受到做科学研究的乐趣,使他们以后在科 学研究的道路上走的更好些,更远些。 下面我们对 2005 年的一道全国高中数学联赛 13 题的解法及来历作以探讨,供感兴趣的读者参考。 一.题目。2005 年全国高中数学联赛 13 题为: 数列 ? a n ?满足:a0 ? 1, a n ?1 ?

1 2 (1)对任意 n∈N,an 为整数。 (2) (7a n ? 45a n ? 36 ), n ? N , 证明: 2

对任意 n∈N,an+1an-1 为一个完全平方数。 二.先看本题的解法。 (1) 一般有三种解法。 解法一:递推并利用根与系数关系。 对原递推式移项,再两边平方整理便得 再递推得
2 2 a n ? 7a n a n ?1 ? a n ?1 ? 9 ? 0 2 2 a n ?1 ? 7a n?1a n ? a n ? 9 ? 0 2 2 2 2 a n?1 ? 7a n?1 a n ? a n ? 9 ? 0



改换一种叙述方式得 可 以 看 出 , a n ?1 , a n ?1


的两个根,所以

为 下 面 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 : x ? 7 xan ? a n ? 9 ? 0

a n ?1 ? a n?1 ? 7a n , 即
据 a0 ? 1 及原递推式知

an?1 ? 7a n - a n -1



a1 ? 5 ,再结合数学归纳法知对于任意 n ? N,a n 都是整数。

解法二:递推并分解因式。 对原递推式移项,再两边平方整理便得 再递推得
2 2 a n ? 7a n a n ?1 ? a n ?1 ? 9 ? 0 2 2 a n ?1 ? 7a n ?1 a n ? a n ? 9 ? 0

,这两式作差并分解因式,得 ④

(an?1 ? an?1 )( an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0
但据原递推式

an?1 ?

7 an ? a n ? an?1 ,∴ 由(4)知 2

a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ? 0 ,

以下同解法一 。 解法三:解方程法 对原递推式移项,再两边平方整理便得 再递推得
2 2 a n ? 7a n a n ?1 ? a n ?1 ? 9 ? 0 2 2 a n ?1 ? 7a n ?1 a n ? a n ? 9 ? 0

,视为 an-1 的方程,求出 an-1 得到

- 94 -

an?1 ?

1 2 (7an ? 45an ? 36 ), (an-1< an 由条件知求根公式取负号) 2
a n ?1 ? a n?1 ? 7a n ,??。



联立原递推式与⑤,知

(2) 有两种方法。 解法一:由(1)的解法一的①知
2 2 7a n?1 a n ? a n?1 ? a n ? 9

再配方得

9(a n?1a n ? 1) ? (a n?1 ? a n ) 2 ,即

a n ?1a n ? 1 ? (

a n ?1 ? a n 2 ) 3



据 (1) 的结论知:对任意 n ? N,a n 都是整数, 所以 ⑥的左端为整数, 从而右端也是整数, 3│ n+1+an) 即 (a , 即

an?1 an ? 1 是一个完全平方数。
解法二:由①知对于任意 n∈N,有

1 ? a n?1a n ? (

a n ?1 ? a n 2 ) ,所以递推得 3

1 ? a n ?1 a n ? (

a n ?1 ? a n 2 ) 3 a ? a n ?1 2 ? a n a n ?1 ? ( n ) 3 a ? a0 2 ? ? ? ? ? a1 a 0 ? ( 1 ) 3 1? 5 2 ? 5?( ) 3

这表明 an+1an-1 为一个完全平方数。 说明:找到数列相邻几项的递推式是解决第一小题的关键,而配方是完成第二小题的根本,值得我们 记取。 三.本题的背景探索 1. (第 9 届全俄中学生数学竞赛题之一)已知
2 x0 ? 1, x n ?1 ? 5 x n ? 24 x n ? 1(n ? 0,1,2,....) ,证明:对一切自然数 n,xn 均为整数。

2. (英国 2001 年数学奥林匹克(第二轮) )证明:数列

y0 ? 1, y n?1 ?

1 2 (3 y n ? 5 y n ? 41)( n ? 0,1,2,....) (n?0)是整数数列。 2

3.(第 19 届巴尔干地区数学奥林匹克)已知数列:

a1 ? 20, a2 ? 30, an? 2 ? 3an?1 ? an , n ? 1, 求所有正整数 n,使得 1+5anan+1 为一个完全平方数。
4.2002 年, ( 罗马尼亚为 IMO 和巴尔干地区数学奥林匹克选拔考试供题 (第一轮)设数列 ? a n ?(n ? 0) ) 如下定义: a0 ? a1 ? 1, a n ?1 ? 14 a n ? a n ?1 (n ? 1) ,证明:对所有的正整数 n, 2an ? 1 是完全平方数。 本题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情形。反过来,今年的这道竞赛题便可以看 作是上述题 2、3 的合成(串联) 。 5.(26 届 IMO 备选题)
- 95 -

设 a 0 ? 20, a n ?1 ? (k ? 1)a n ? k (a n ? 1) ? 2 k (k ? 1)( a n ? 1) , n ? 1(n∈N,k∈N) ,证明对于一切自 然数 n,an 均为整数。 四.几个类似题 1. (22 届 IMO 侯选题)已知数列 ? a n ? 满足 x1 ? 1, 且

xn?1 ?
2.试证由 a n ?

1 (1 ? 4 xn ? 1 ? 24 xn ) (n?1),求数列{xn}的通项公式。 16
2 2a n ?1 ? 3a n ?1 ? 9 , a 0 ? 1, a1 ? 5 所确定的数列各项都是整数。 2a n ? 2

3.设 a1 ? a 2 ? a3 ? 1, a n ? 2 ?

1 ? a n ?1 a n (n ? 2) ,求证:对于任意的 n ? N , a n 均为整数。 a n ?1

以上几道题目都可以用前面解竞赛题的方法求解,供感兴趣的读者练习。

2005 年全国高中数学联赛 报 名 通 知
各县(市)教研室: 市本级各有关学校: 接省数学会通知,2005 年全国高中数学联赛定于 10 月份进行。从 2005 年起,因浙江省举办全国高中数学联赛预赛,只有取得决赛资格的学生才能参加 全国联赛加试,并由省数学会确定集中竞赛地点。嘉兴市考点只设全国联赛一试 考试。现将具体事项通知如下: 1.竞赛时间 高中数学联赛一试:2005 年 10 月 16 日(星期日)8:00—9:40 (高中数学联赛加试:2005 年 10 月 16 日(星期日)10:00—12:00) 2.命题范围与竞赛办法 全国高中数学联赛一试的命题范围,完全按照全日制中学《数学教学大纲》 (02 年版)中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方 法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。试题包括 6 道选择题,6 道
- 96 -

填空题和 3 道解答题,全卷 150 分. (―全国高中数学联赛加试‖命题范围以现行《高中数学竞赛大纲》为准,试卷 包括 3 道解答题,其中一道是平面几何题,全卷 150 分. ) 3.设奖办法 2005 年团体成绩与个人一等奖成绩根据考生一、 二试成绩总和划定。 只参加 全国联赛一试的考生可以获全国二等奖和浙江省一、二等奖以及嘉兴市一、二等 奖。 4.报名办法 所有准备参加全国联赛的学生均需向所在学校报名。各学校报名工作在 5 月 20 日前完成,并将参赛人数电话上报所在县(市)教研室,数字要确切,不要事 后更动,请同时收取报名费,收费标准:10 元/人。各县(市)教研室于 5 月 25 日前将参赛人数报嘉兴市数学会。 嘉 兴 市 数 学 会 2005 年 5 月 11 日 2005 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
考试时间:2005 年 9 月 11 日上午 8:00~10:30 一、选择题:每题 6 分,满分 36 分 1、设函数 f (x) 的定义域为 R,且对任意实数 x ? (?

? ?

, ) , f (tan x) ? sin 2 x ,则 f (2 sin x) 的最大值为 2 2



)A

0

B

1 2

C
2

2 2

D

1

a ? a n ?1 ? 2a n , n ? 2, 3,? , a1 ? 1 , a9 ? 7, 则 a 5 的值为( ) 2、实数列 {a n } 定义为 a n ? n a n ?1 ? 1
A 3 B -4 C 3 或-4 D 8 3、正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC 内一点,点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x,点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y,则 x ? y 等于(
2 2



- 97 -

A 1

B

6 2

C

5 3

D

7 12 m , m, n

4、 数列 x1 , x 2 ,? , x100 满足如下条件: 对于 k ? 1 ,2 ,?100 , x k 比其余 99 个数的和小 k, 已知 x50 ? n 是互质的正整数,则 m+n 等于( A 50 B 100 C 165 D 5、若 sin x ? sin y ? ) 173 )

2 6 ,则 sin(x ? y) 等于( , cos x ? cos y ? 2 2
C

A

2 2

B

3 2

6 2

D 1

6、P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 在第一象限上的动点,过点 P 引圆 x 2 ? y 2 ? 9 的两条切线 PA、PB,切点分别为 16 9


A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N,则 S ?MON 的最小值为( A

9 2

B

9 3 2
2

C

27 4

D

27 3 4
2 2 2 2

二、填空题:每小题 9 分,满分 54 分 7、实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 7, y ? 4 z ? ?7, z ? 6 x ? ?14, 则 x ? y ? z =
2

.

8、设 S 是集合{1,2,?,15}的一个非空子集,若正整数 n 满足: n ? S , n ? S ? S ,则称 n 是子集 S 的模范数,这里|S|表示集合 S 中元素的个数。对集合{1,2,?,15}的所有非空子集 S,模范数的个数之 和为 .

1 . ? x ? 1 ,当 (1 ? x) 5 (1 ? x)(1 ? 2 x) 2 取得最大值时,x= 2 f ( x) f ( y ) ? f ( xy) 10、函数 f (x) 满足:对任意实数 x,y,都有 . ? x ? y ? 2 ,则 f (36) ? 3 11、正四面体 ABCD 的体积为 1,O 为为其中心. 正四面体 A?B?C ?D? 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称,则
9、对于 这两个正四面体的公共部分的体积为 12、在双曲线 xy=1 上,横坐标为 .

n n ?1 的点为 An ,横坐标为 的点为 Bn (n ? N ? ) .记坐标为(1,1) n ?1 n

的点为 M, Pn ( x n , y n ) 是三角形 An Bn M 的外 心,则 x1 ? x 2 ? ? ? x100 ? .

C

三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分 13、如图,已知三角形 ABC 的内心为 I,AC≠ BC , 内 切 圆 与 边 AB,BC,CA 分 别 相 切 于 点 D,E,F, S ? CI ? EF ,连结 CD 与内切圆的另 一个交点为 M,过 M 的切线交 AB 的延长线于 点 G.求证: (1) ?CDI ∽ ?DSI ; (2) GS ? CI
- 98 -

M F I S E D

A B G

14、 a, b, c 是正整数, 设 关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实数根的绝对值均小于
2

1 , a?b?c 求 3

的最小值. 15、设集合 A 和 B 都是由正整数组成的集合, |A|=10,|B|=9,并且集合 A 满足如下条件:若

x, y, u, v ? A, x ? y ? u ? v ,则 {x, y} ? {u, v} .令 A ? B ? {a ? b | a ? A, b ? B}
求证:|A+B|?50. (|X|表示集合 X 的元素个数)

2005 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案
1、D 由 f (tan x) ? 当 sin x ?

2 tan x 2x 4 sin x ,知 f ( x) ? ,所以 f (2 sin x) ? ? 1, 2 2 1 ? tan x 1? x 1 ? 4 sin 2 x

1 时,等号成立.故 f (2 sin x) 的最大值为 1. 2
2 bn ? bn ?1 b2 2 ? n ? 1 ,? bn ? bn ?1bn ?1 , bn ?1 bn ?1

2、A 设 bn ? a n ? 1,则 bn ?1 ? 1 ?
2

故 b5 ? b1b9 ? 16 , b5 ? 4 , (-4 舍去)所以 a5 ? 3 .

3、D 点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和就是△ABC 的高,即为 又 V ABCD ? VE ? DAB ? VE ? DBC ? VE ? DCA ,即

3 3 ,故 x ? , 2 2

1 1 1 1 S ?ABC h ? S ?DAB y1 ? S ?DBC y 2 ? S ?DCA y3 , 3 3 3 3
6 , 3

这里的 h 是正四面体的高, y1 , y 2 , y3 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离,于是 h ?

1 3 6 1 3 6 17 2 2 y1 ? y 2 ? y3 ? y ,所以 ? ? ? ? y,y? ,于是 x ? y ? 3 4 3 3 4 3 12
4、D 设 S ? x1 ? x 2 ? ? ? x100 ,则 xk ? S ? xk ? k , k ? 2 xk ? S ,对 k 求和得

(1 ? 2 ? ? ? 100 ) ? 2S ? 100 S ,所以 S ?

2525 S ? 50 75 ,于是 x50 ? ,故 m+n=173 ? 49 2 98

5、B 把两个式子分别平方相加得 cos(x ? y) ? 0

把两个式子相乘得 (sin x cos y ? sin y cos x) ? (sin x cos x ? sin y cos y ) ?

3 2

所以 sin(x ? y ) ? sin(x ? y ) cos(x ? y ) ? 6、C 设 P(4 cos? ,3 sin ? ) ,? ? (0, 故 OM ?

3 3 ,即 sin(x ? y ) ? 2 2

?
2

) ,则直线 AB 的方程为 4 x cos? ? 3 y sin? ? 9 ,

9 3 1 27 27 , S ?MON ? OM ? ON ? , , ON ? ? 4 cos? sin ? 2 4 sin 2? 4
- 99 -

当? ?

?
4

,即点 P 为 (2 2 ,

3 2 ) 时等号成立。 2
2 2 2

7、14 8、 13 ? 2
12

把三个式子相加得: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? ( z ? 2) ? 0 即得 只要找出,对每个 n 有多少集合,使得 n 是模范数,再关于 n 求和即可.

若 n 是 S 的一个模范数,S 含有 k 个元素,则 n ? S , n ? k ? S ,? k ? 2; 又 k ? 15 ? n . S 的其他 k ? 2 个元素有 C13 种取法,故 n 为模范数时,共有 C13 ? C13 ? ? ? C13
0 1 k ?2 13? n

个.

当 n=1,2,?,13,模范数的总数为 A ? 13C13 ? 12C13 ? ? ? C13 ,故
0 1 12

0 1 12 2 A ? 13C13 ? 12C13 ? ? ? C13 1 2 12 13 ? C13 ? 2C13 ? ? ? 12C13 ? 13C13 0 1 13 ? 13(C13 ? C13 ? ? ? C13 ) ? 13 ? 213

所以对集合{1,2,?,15}的所有非空子集 S,模范数的个数之和为 13 ? 2 9、

12

7 8

我 们 考虑 [? (1 ? x)] [ ? (1 ? x)][? (2 x ? 1)] 的 最 大值, 这 里
5 2

?, ? ,?

是 正整 数, 满足

5? ? ? ? 4? ? 0, ? (1 ? x) ? ? (1 ? x) ? ? (2 x ? 1) ,后者即

? ?? ? ?? ,代入 ? ? 5? ? 4? 得 ? ? ? ? 2? ? ?

0 ? 2(3?? ? 5? 2 ? 2? 2 ) ? 2(5? ? 2? )(? ? ? ) ,取 (? , ? , ? ) ? (2,30,5) ,由均值不等式得:

15 7 [2(1 ? x)]5 [30(1 ? x)][5(2 x ? 1)] 2 ? ( ) 8 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 4 8
所以, (1 ? x) (1 ? x)(1 ? 2 x) 的最大值是
5 2

37 ? 5 5 . 2 22

10、39

取 x=y=0,得 f (0) ? ?2或f (0) ? 3

若 f (0) ? ?2 ,令 y=0,可得 f ( x) ? ?

3 x ? 2 ,代入原式知不符合; 2

若 f (0) ? 3 ,解得 f ( x) ? x ? 3 ,代入检验知满足题意,所以 f (36) ? 39

3 ,所以反射的对 4 1 1 称面是距离 A 为 A 到底面距离 的水平面.因此,它割 A 点所在的小正四面体是原正四面体缩小 .同样, 2 2 1 对 B、C、D 三点处所切割的正四面体也是原正四面体的 ,当我们在原正四面体中切割掉这四个小正四面 2 1 3 1 体后,即得到两个正四面体的公共部分体积为 1 ? 4( ) ? 。. 2 2
11、 若将 A-BCD 放在一个水平面上,易知其中心到点 A 的距离是 A 到底面距离的
- 100 -

1 2

12、 200

50 101

易得 An (

n n ?1 n ?1 n , ), Bn ( , ) ,所以 An M ? Bn M , k ? ?1 n ?1 n n n ?1

故△ An Bn M 是以 An Bn 为底边的等腰三角形,且底边所在直线的斜率为-1.因为 M 在直线 y=x 上,所以 底边的中垂线方程为 y=x,由此 x n ? y n

因 为 An M 的 中 点 为 E (

2n ? 1 2 n ? 1 , ) , k An M 2 n ? 2 2n

n ?1 ?1 n ?1 n , 所 以 外 心 Pn ( x n , y n ) 在 直 线 ? ?? n n ?1 n ?1

y?

(2n ? 1) 2 1 1 1 1 2n ? 1 n 2n ? 1 ? 2? ? 2? ( ? ) ? (x ? ) 上,由此得 x n ? 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2 n n ?1 2n n ?1 2n ? 2

于是 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 200 ?

1 1 1 1 1 1 50 . (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 200 2 2 2 3 100 101 101
2 2

13、证明(1)在直角三角形 CEI 中,由射影定理可得: EI ? SI ? CI ? DI 所以

DI CI ,又 ?CID ? ?DSI ,故△CDI∽△DSI. ? SI DI

???????????? 10 分

(2)因为 D、I、M、G 四点共圆,并且由(1)得∠ISD=∠IDC=∠IMD,所以点 S 在四边形 DIMG 的外 接圆上,故∠GSI=∠GMI=90°,即 GS⊥CI ????????? 20 分 14、解:设方程的两实数实数根为 x1,x2,由韦达定理知,x1,x2 均为负数,由 所以 b ? 4ac ? 4
2

c 1 a ? x1 x2 ? ,得 ? 9 , a 9 c

a c

? c 2 ? 4 ? 9 ? 1 2 ? 36 ,得 b ? 6, 故 b ? 7 .



b 1 1 2 a 3 3 21 ? ?( x1 ? x2 ) ? ? ? ,所以 ? , a ? b ? ? 11 ??????????? 5 分 a 3 3 3 b 2 2 2
2 2

( 1) 当 b= 7 时,由 4a ? 4ac ? b 及 a ? 11 得, a ? 11 或 12 ,c= 1,但方程 11x ? 7 x ? 1 ? 0 及

12 x 2 ? 7 x ? 1 ? 0 的根不满足条件. ???????????? 10 分
( 2 ) 当 b = 8 时 , 由 4ac ? b ? 64 及 a ? 11 得 , a ? 11,12,13,14,15,16, c ? 1 , 故 由
2

x2 ?

a a ? b ? b 2 ? 4ac 1 ? ? ,得 4 ? 16 ? a ? ,易知 f (a) ? ? 16 ? a ? 4 (a ? 11,12,13,14,15,16) 为 2a 3 3 3 4 ? 0, 而 f (15) ? 0 ,故 a ? 16 ,此时 a ? b ? c ? 25 ,而方程 16 x 2 ? 8x ? 1 ? 0 3

增函数, f (a) ? f (16) ?

的两根满足条件。???????????? 15 分 (3) b ? 9 时,a ? 当
2

3 27 于是 a ? b ? c ? 24 , a ? b ? c ? 25 , 若 则只能 a ? 14, b ? 9, c ? 1 , b? ? 14 , 2 2

此时方程 14 x ? 9 x ? 1 ? 0 的根不满足条件.终上所述, a ? b ? c 的最小值是 25. 15.证明:考虑一般的情形,设 A ? m, B ? n, A ? B ? {s1 , s 2 , ?, s k } ,
- 101 -

对任意的 1 ? i ? k ,设 s i 有 f (i ) 种方式表示为 a ? b 的形式,其中 a ? A, b ? B ,即

si ? ai1 ? bi1 ? ai 2 ? bi 2 ? ? ? aif (i ) ? bif (i ) , 显然有 f (1) ? f (2) ? ? ? f (k ) ? mn ??????? 5 分
对任意的 1 ? r ? t ? f (i) ,考虑集合 {bir , bit } ,则有 C f (i ) 个这样的集合,对于 i ? 1,2,?, k , 共有
2

C 2 (1) ? C 2 ( 2) ? ? ? C 2 ( k ) 个集合,下面证明这些集合是两两不同的.若不然,则存在1 ? i ? j ? k 及 f f f
br , bt ? B(r ? t ) ,使得 si ? x ? br ? u ? bt , s j ? v ? br ? y ? bt ,其中 x, y, u, v ? A ,从而 x ? y ? u ? v ,
由题设知, {x, y} ? {u, v} . 若 x ? u, y ? v, 则br ? bt ,不可能;若 x ? v, y ? u, 则s j ? si ,也不可能。从而
2 C 2 (1) ? C 2 ( 2) ? ? ? C 2 ( k ) ? C n ??????? 10 分 f f f

(( f (1) 2 ? ( f (2)) 2 ? ? ? ( f (k )) 2 ) ? ( f (1) ? f (2) ? ? ? f (k )) ? n 2 ? n ,由柯西不等式

(( f (1) 2 ? ( f (2)) 2 ? ? ? ( f (k )) 2 ) ?

1 1 ( f (1) ? f (2) ? ? ? f (k )) 2 ? m 2 n 2 ??????? 15 分 k k

m2n m2n 100 ? 9 1 2 2 2 所以 m n ? mn ? n ? n, 即 k ? ,当 m=10,n=9 时, k ? ? ? 50 . m ? n ?1 m ? n ? 1 10 ? 9 ? 1 k
??????????????20 分

2005 年全国高中数学联赛河南省预赛试卷 高中一年级
(2005 年 5 月 15 日上午 8:30---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 一、选择题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本大题共有六个小题,每小题后面给出了 A、B、C、D 四个 结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内,选对一个得 5 分,错选、漏选 或多选,一律得零分. 1.条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q :

1 ? 1 ,则 ?p 是 ?q 的 3? x





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.一个正整数数表如下(表中下一行 1 第一行 中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍),则 2 3 第二行 第 8 行中的第五个数是( ) 4 5 6 7 第三行 A.68 B.132 第四行 ????? C.133 D.260 3.若不等式 ax ? bx ? 4 >0 的解集为 ?x | ?2 <x<1},则二次函数 y ? bx ? 4 x ? a 在区间[0, 3]上的最大
2
2

值,最小值分别为( ) A.0, -8 B.0, -4

C.4, 0

D.8,
- 102 -

0

4.

f (x) 是定义在区间[-4, 4]的奇函数,如图, 令 g ( x) ? af ( x) ? b, 则下列关于 g (x) 的叙述正确

的是( ) A.若 a <0,则函数 g (x) 的图象关于原点对称 B.若 a =-1,-2<b<0,则方程 g (x) =0 有大于 2 的实数根 C.若 a ≠0,b=2,则方程 g (x) =0 有 2 个实数根 D.若 a ?1,b<0,则方程 g (x) =0 有 3 个实数根 y 2 -2 O -2 5.在Δ ABC 中,设 x ? cos A ? cos B ? cosC , y ? sin ( 2 x

A B C ? sin ? sin , 则 x ,y 的大小关系是 2 2 2

) A.x =y B.x?y C.x ?y D.不能确定 6.甲、乙、丙三人练习传球,设传球 n 次,球从甲手中传出,第 n 次仍传给甲,共有 an 种不同的传球 方法,则数列{an}的通项公式为( ) A.an=

1 n 2 ?2 ? . 3 3 1 n 2 ? 2 ? (?1) n ? . 3 3

B.an=

1 n 2 ?2 ? . 3 3

C.an=

D.不能确定

二、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1. 若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则 | x | ? |

y | 的最小值是____________.


2.函数 f(x)= x2-tx+2 在[1,2]上有反函数,则 t 的一切可取值的范围是

a1 ? 2, ? ? 1 ? an?1 3.数列{an}中, ?a ? (n ? 2), 则 a2005 的值为____________. n ? 1 ? an?1 ?
4. ? 设

? ?? ? ?0, ?, 且 cos2 ? ? 2m cos? ? 2m ? 2 <0 恒成立, m 的取值范围是____________. 则 ? 2?

5.在正奇数非减数列{1,3,3,3,5,5,5,5,5,?}中,每个正奇数 k 出现 k 次,已知有整数 b、 c、d 存在,对所有的整数 n 满足 an=b [ n ? c ]+d,其中[x]表示不超过 x 的最大整数. 则 b+ c +d 等于 ____________. 6.若集合 M 满足下列性质的函数

f (x)

的 全 体 , 存 在 非 零 常 数 T, 对 任 意 的 x ∈ R, 有

f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立.若函数 f (x) = sin kx? M , 则实数 k 的取值范围是____________.
- 103 -

三、 (本题满分 20 分) 设函数

f (x) 的定义域是(0,

+∞),且对任意的正实数 x, y 都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 恒成立,已知

f (2) ? 1, 且 x>1 时, f (x) >0.
(1)求

1 f ( ) 的值; 2
f (x) 在(0, +∞)上的单调性;
f ( sn ) = f (an ) + f (an ?1 ) ? 1 (n∈N ),其中
*

(2)判断 y=

(3)一个各项均为正数的数列{an},满足 n 项和,求 sn 和 an.

sn 是数列{an}的前

四、 (本题满分 20 分) 已知锐角 ? , sin ? (1) 求

? m cos(? ? ? ) ? sin ? (m ? 0, ? ? ? ? ? ), 若 x= tan? , y ? tan ? . 2

y ? f (x) 的表达式;
?? ? ? , 时, 求函数 y 的最大值. ?4 2? ?

(2)当 ? ? ?

五、 (本题满分 20 分)
- 104 -

△ABC 为⊙O 内接三角形,AB>AC>BC. 点D在弧BC上, O 点分别作 AB、AC 的垂线交 AD 于 E、F, 从

则 射线 BE、CF 交于 P 点,若 PB ? PC ? PO, ?BAC ? 30 .
?

六、 (本题满分 20 分) 设 a, b 为常数,

M ? ? f ( x) | f ( x) ? a cos x ? b sin x

? ,F:把平面上任意一点(a, b)映射为函

数 a cos x ? b sin x. (1)证明:不存在两个不同的点对应于同一个函数; (2)证明:当 f 0 ( x) ? M时,f1 ( x)

? f(x ? t) M,t为常数; ?

(3)设定值 f 0 ( x) ? M时, 1= f 0 ( x ? t ), t ? R,在映射 F 的作用下,M1 作为象,求其原象,并 M 说明它是什么图象?

2005 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨
广东深圳市育才中学 王 扬(518067)

本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨,供感兴趣的读者参考。 题 目 : 设 正 数 a 、 b 、 c 、 x 、 y 、 z 满 足 cy ? bz ? a ; az ? cx ? b;

bx ? ay ? c , 求 函 数

x2 y2 z2 f ( x, y , z ) ? ? ? 的最小值。 1? x 1? y 1? z
一.几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较平易,给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜,殊不知, 这是一个极大的误区,本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一:

- 105 -

由 Cauchy 不等式知 f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 ? ? ? 1? x 1? y 1? z

?

( x ? y ? z) 2 u2 9 ? (记u ? x ? y ? z ) ? u ? 3 ? ?6 3? x ? y ? z 3?u u?3

到此,在 u>0 的情况下,力图使用函数 f ( x) ? x ?

1 的性质无法得到最小值。 x

思路二:考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系,于是,可根据三个条件等式容易求出 x、y、 z 用 a、b、c 表达的式子:

b2 ? c2 ? a2 x? ; 2bc

c2 ? a 2 - b2 y? ; 2ca

a 2 ? b2 - c2 z? 2ab

因为 a、b、c;x、y、z 都是正数,所以,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0; b 2 ? c 2 - a 2 ? 0; c 2 ? a 2 - b 2 ? 0
即以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC,令 x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC, 从而,结合 Cauchy 不等式有

f ( x, y , z ) ?


cos2 A cos2 B cos2 C (cos A ? cos B ? cosC ) 2 ? ? ? 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 3 ? cos A ? cos B ? cosC

u ? c o s ? c o s ? c o C ,则 A B s
cos2 A cos2 B cos2 C u2 9 ? ? ? ? u ?3? ?6 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC 3 ? u u?3

f ( x, y , z ) ?

因为 u ? cos A ? cos B ? cosC ? 1 ? 4 sin

u ? cos A ? cos B ? cos C ?

3 ,∴ 2

A B C sin sin ? 1 2 2 2 3 4 ? u ?3 ? 3? 2
? 9?

到此,似乎胜利的曙光就在眼前,立刻想到在区间 ? 4, ? 内使用函数 f ( x) ? x ? 的性质,但也无法 x ? 2? 得 到 最 小 值 , 而 此 时 的 最 大 值 正 好 与 题 目 的 最 小 值

1

1 ( 由 于 函 数 2

f ( x, y , z ) ?

c o2 A s c o2 B s c o2 C s 1 0 ? ? 的对称性,可以猜测其最小值在 A=B=C=60 时达到 )吻合, 1 ? c oAs 1 ? c oB s 1 ? c oC s 2

实际上,这是一条无用的信息(表明使用 Cauchy 不等式过当!,它是答题人再次陷入不能自拔的困境。 ) 俗话说得好,失败是成功之母,上面的思路也昭示我们,对原式不能直接使用 Cauchy 不等式,需要再 对原式做更好的更有用的恒等变形,可能是正确的途径。 二.赛题的解答 为证明本赛题,我们先证明如下一个引理。 引理:在△ABC 中,求证:

tan 2

A B C A B C ? tan 2 ? tan 2 ? 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2
- 106 -



等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。 证明:用向量方法证明如下 设 i , j , k 是平面上的单位向量,且 j 与k 成角为π -A, k 与i 成角为π -B, i 与 j 成角为π -C,那么,

? ? ?

?

?

?

?

?

?

? A ? B ? C (i tan ? j tan ? k tan ) 2 ? 0 ,所以 2 2 2 A B C tan2 ? tan2 ? tan2 2 2 2 A B B C C A ? 2 tan tan cos C ? 2 tan tan cos A ? 2 tan tan cos B 2 2 2 2 2 2 A B C B C A ? 2 tan tan (1 ? 2 sin 2 ) ? 2 tan tan (1 ? 2 sin 2 ) ? 2 2 2 2 2 2 C A B ? 2 tan tan (1 ? 2 sin 2 ) 2 2 2
A B B C C A? ? ? 2? tan tan ? tan tan ? tan tan ? ? 2 2 2 2 2 2? ? A B C sin sin sin A B C 2 2 2 ? 4 sin sin sin ( ? ? ) B C C A A B 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? 4 sin sin sin ? A B C 2 2 2 2 ? cos cos cos 2 2 2 A B C ? 2 ? 8 sin sin sin . 2 2 2
注意到,在△ABC 中有熟知的等式: tan

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 . 2 2 2 2 2 2

从而①得证。 有了上面的引理,本题的解答就容易多了,下面看本题的解法。 解:同思路二得到,以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC, 令 x ? cos A, y ? cos B, z ? cosC, 从而

- 107 -

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? sin 2 A 1 ? sin 2 B 1 ? sin 2 C ? ? ? ? ? C 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos C 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 A A B B C C 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 1 ? 4 sin 2 cos2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? A B C 2 cos2 2 cos2 2 cos2 2 2 2 A A A A B B B B sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 ? 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 2 f ( x, y , z ) ?

?

sin 2

C C C C ? cos2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 C 2 cos2 2

3 1 A B C A B C ? (tan 2 ? tan 2 ? tan 2 ) ? 2(sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (tan 2 ? tan 2 ? tan 2 ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? 2 ?
等号成立的条件显然是 A=B=C=600 时达到,最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以, f ( x, y, z ) ?

x2 y2 z2 1 ? ? 的最小值为 . 1? x 1? y 1? z 2
0

显然,在 ?A ? ?B ? ?C ? 60 时,等号成立,所以 f ( x, y, z ) 的最小值为 三.背景探索 早在 1994 年,华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题: 在△ABC 中,是否有:

1 . 2

cos2 A cos2 B cos2 C 1 ? ? ? ② 2 2 2 2 2 2 sin B ? sin C sin C ? sin A sin A ? sin B 2

后来,湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明:分两种情况 (1)当△ABC 为钝角三角形时,此时不妨设 A>90 , 于是 a ? b ? c ,
0

2

2

2

所以

2 2 2 s i n A ? s i n B ? s i n C ? 2 ? c o 2 B ? c o 2 C ,∴ cos2 B ? cos2 C ? 1 ? cos2 A s s

再据 cos2 A cos2 B cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 C ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B 以, cos2 A cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C - 108 ? ? 2 2 2 2 sin A ? sin C sin A ? sin B cos2 B ? cos2 C 1 ? ? 2 sin 2 A 2

s i n >s i n , A B

s i n >s i C ,所 A n

即此种情况②得证。 (2)当△ABC 为非钝角三角形时,

sin 2 B ? sin 2 C ? 1 ? cos(B ? C ) cos(B ? C ) ? 1 ? cos A cos(B ? C ) ? 1 ? cos A ? 2 cos2
所以,

A 2

cos2 A cos2 A 1 ? sin 2 A ? ? ? sin 2 B ? sin 2 C 2 A 2 A 2 cos 2 cos 2 2 1 1 A A ? ? tan 2 ? 2 sin 2 2 2 2 2
从而

cos2

A A A A ? sin 2 ? 4 sin 2 cos2 2 2 2 2 A 2 cos2 2

co2 A s co2 B s co2C s ? ? 2 2 2 2 2 2 s in B?s inC s inC ?s in A s in A?s in B

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? ? C 2 A 2 B 2 cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 3 1 A B C A B C ? ? (tan 2 ? tan 2 ? tan 2 ) ? 2(sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
? 3 1 A B C A B C 1 ? (2 ? 8 sin sin sin ) ? 2(1 ? 2 sin sin sin ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2



即三角形为非钝角三角形时结论也成立,综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法,不难知道,今年的这道赛题无非是在②的第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序(并由此判断△ABC 为锐角三角形)罢了,即今年的这道加试 题可以看作是由解方程组(初中知识的要求) ,判断三角形种类、与求最值(高中知识的要求)三个问题的 简单合成(串联) 。 顺便指出,①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。 四.条件等式的几何解释 对比条件等式 cy ? bz ? a ; az ? cx ? b; 中的斜射影定理

bx ? ay ? c (注意 a、b、c、x、y、z 为正数)与△ABC

c cos B ? b cosC ? a a cosC ? c cos A ? b b cos A ? a cos B ? c
b2 ? c2 ? a2 , 2bc y ? cos B ? c2 ? a 2 - b2 , 2ca

以及余弦定理,可知,应有 x ? cos A ?

a 2 ? b2 - c2 z ? cosC ? , 从而,求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结果。另 2ab
外,有了上边的余弦定理结构,解答中的构造三角形法已经水到渠成了。 参考文献 [1] 黄军华 两个猜想的证明 《湖南数学通讯》2(1996)P34。
- 109 -

[2] 黄汉生

简证 tan 2

A B C A B C ? tan 2 ? tan 2 ? 2 ? 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2

《数学通讯》6(1991)P2

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4
y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4

?

A. y ? sin x

B. y ? cos x

C. y ? sin x ? 2

D. y ? cos x ? 4
答: [

]

2. 如果二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是 b( a ? b )

D. 8 个
答: [

]

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3

C. 4

D. 5
答: [ ] 去截此四棱锥, 使得

4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ?
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个
答: [

]

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an? 2 ? 16an?1 ? 63an , n? N*, 则 a2005 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48
答: [

]

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个
答: [

]

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ?
- 110 -

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2
的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为:

(n∈N*) . 9. 函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ?R) 的最小值是 .

10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。超级齐全,超级详细,史无前例,历年所有全国高中数学联赛试题及详解回答,76套,不看后悔!!!...

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)

历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)_学科竞赛_高中教育_教育专区。历年精华,不用等待,动手吧 1988 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 16 日上午 8∶00...

2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联赛试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。标准WORD文档,方便大家使用。2015 年全国高中数学联合竞赛一试试题( A 卷)一、填空题:本大题共 8...

历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2015)_28年全国高中数学联赛试题汇编

历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2015)_28年全国高中数学联赛试题...6 道题.求证: 存在两位学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同. 试题解答一...

2014全国高中数学联赛一试试题及答案解析

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2014全国高中数学联赛一试试题及答案解析_学科竞赛_高中...2014全国计算机等级考试 全国计算机等级考试一级练习题...

2000年全国高中数学联赛试题及解答6

2000年全国高中数学联赛试题及解答6_学科竞赛_高中教育_教育专区。2000 年全国高中数学联赛 2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一.选择题(本题满分 36 ...

2007年高中数学联赛一试试题及答案(word版).rar

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每...、9 中每一个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、 9 中每...

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总_学科竞赛_高中教育_教育专区。历年全国高中...7 1983 联赛二试在四边形 ABCD 中, ⊿ABD、 ⊿BCD、 ⊿ABC 的面积比是 3...

2014全国高中数学联赛试题

2014 全国高中数学联赛试题一、填空题 1、若正数 a...PC 之间的距离是___ 6、设椭圆 ? 的两个焦点是...的短轴与长轴的比值为___ 7、设等边三角形 ABC...