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空间线面平行与垂直的证明

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 空间线面平行与垂直的证明 作者: 来源:《数学金刊· 高考版》2015 年第 04 期 本考点以空间几何体为载体,既考查几何体的概念和性质,又考查空间线面位置关系(平 行与垂直)的判定与性质,还可结合一些简单的计算进行考查,是每年高考的必考内容,也是 重点考查的内容. 该部分试题难度适中,一般都可用几何综合法解决,少部分不易证明的才通 过建立空间直角坐标系用坐标法求解. (1)掌握线面平行、垂直的判定与性质定理,能用判定定理证明线面平行与垂直,会用 性质定理解决线面平行与垂直的问题. (2)通过线面平行、垂直的证明,培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、 合情推理的能力. 该知识点的重点、难点是:线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化;同时要注意 推理表达的规范与完整. (1)证明平行或垂直问题,一般利用平行或垂直的判定定理及其推论,将面面平行转化 为线面平行或线线平行来证明;而无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直. 可见, 转化是证明平行、垂直问题的关键. (2)在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手,再从结论中分析所要证明的关 系,从而架起已知与未知之间的桥梁. 增添辅助线是解决问题的关键,常见的添辅助线的方法 有:中点、垂足等特殊点,用中位线、高线转化;有面面垂直的条件,则作交线的垂线,等等. 例 1 如图 12,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,在等腰梯形 ABEF 中, AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60° ,O,P 分别为 AB,CB 的中点,M 为底面△ OBF 的重心. 图 12 (1)求证:平面 ADF⊥平面 CBF;?摇 (2)求证:PM∥平面 AFC. 破解思路 对于第(1)问,将证明面面垂直转化为证明线面垂直; (2)根据面面平行的性质定理,将线面平行的问题转化为面面平行来证明. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 答案详解 (1)因为矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,且 CB⊥AB,所以 CB⊥平面 ABEF.?摇 又 AF?奂平面 ABEF,所以 CB⊥AF. 又 AB=2,AF=1,∠BAF=60° , 由余弦定理知 BF= ,所以 AF2+BF2=AB2,所以 AF⊥BF. 又 BF∩CB=B,所以 AF⊥平面 CFB. 因为 AF?奂平面 ADF,所以平面 ADF⊥平面 CBF.?摇 (2)连结 OM 并延长交 BF 于 H,则 H 为 BF 的中点. 又 P 为 CB 的中点,所以 PH∥CF. 又因为 CF?奂平面 AFC,所以 PH∥平面 AFC. 连结 PO,则 PO∥AC. 因为 AC?奂平面 AFC,所以 PO∥平面 AFC. 又 PO∩PH=P,所以平面 POH∥平面 AFC. 因为 PM?奂平面 POH,所以 PM∥平面 AFC.?摇 例 2 如图 13,平面 ABCD⊥平面 ABE,其中四边形 ABCD 是正方形,△ ABE 是等边三角 形,且 AB=2,点 F,G 分别是 BC,AE 的中点. (1)求三棱锥 F-ABE 的体积; (2)求证:BG∥平面 EFD; (3)若点 P 在线段 DE 上运动,求证:BG⊥AP. 图 13 图 14 破解思路 对于第(1)问,求出三棱锥 F-ABE 的高后可直接求解. 对于第(2)问, 根据 线面平行的判定定理,在平面 EFD 中,只要找出与 BG 平行的直线即可证明. 对于第(

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