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湖北省荆门市2015届高三元月调研考试数学(理)试题 Word版含答案

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荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试 数 学(理)
本试卷共 4 页,21 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1、答卷前,先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、

选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
2 1.集合 A ? ? x ? N x ≤ 6? , B ? x ? R x ? 3x ? 0 ,则 A I B ?

?

?

A. ?3,4,5?
x

B. ?4,5,6?

C. ?x 3 ? x ≤ 6? B. sin x ?
2

D. ?x 3 ≤ x ? 6?

2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R ,使得 e 0 ≤ 0 C. ?x ? R, 2x ? x2

2 ≥ 3( x ? kπ, k ? Z ) sin x

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件

3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 3
A.向右平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3
B.向左平移

4.对于函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? n, 若 f (a) ? 0, f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 A.一定有零点 C.可能有两个零点
2

B.一定没有零点 D.至多有一个零点
2

5. 设 x ? R , 对于使 ? x ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上确界. 若 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ? A. ? 5 B. ?4
?

1 2a

?

2 b

的上确界为

2 2 6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积为
-1-

C.

9

D. ?

9

A.

3π ? 3 2

B. π ? 3

C.

3π 2

D.

5π ? 3 2

y C(4,2) B(5,1) O
第 6 题图

A(2,0)

x

第 7 题图

7.点 ( x, y ) 是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目标 函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 A.

y x?a 1

的最大值是 D.

2 3

5 6 4 uur uuu r uur uu u r 8. 在直角坐标平面上, OA ? (1,4), OB ? (?3,1) , 且 OA 与 OB 在直线 l 的方向向量上的投影的
长度相等,则直线 l 的斜率为 A. ?

B.

2

C.

1

1 4

B.

2 5

C.

2 4 或? 5 3

D.

5 2

9 .对于一个有限数列 p ? ( p1 , p2 , ???, pn ) , p 的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家)定义为

1 ( S1 ? S 2 ? ??? ? S n ) ,其中 Sk ? p1 ? p2 ???? ? pk (1≤ k ≤ n, k ? N ) .若一个 99 项的数 n 列( p1 , p2 , ???, p99 ) 的蔡查罗和为 1000,那么 100 项数列 (9, p1 , p2 , ???, p99 ) 的蔡查罗和为
A.991
2 2

B.992

C.993

D.999

10.设双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两 2 a b 渐 近 线 于 A, B 两 点 , 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P , 设 O 为 坐 标 原 点 , 若 uu r uu r uu r 3 ,则双曲线的离心率为 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , ? ? ? ?
16
A.

2 3

8 3 5 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分)
?| x ? 1| ( x ≤ 1) 11.已知函数 f ( x) ? ? x ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ( x ? 1) ? 3

B.

3 5

C.

3 2

D.

9



. ▲ .

2 2 12.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1引切线,则切线长的最小值为

13.若函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (a ? 1, a ? 1) 内存在极值,则实数 ▲ . a 的取值范围 14.在弹性限度内,拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.如果 20 N 的力能使弹簧伸 长 4cm ,则把弹簧从平衡位置拉长 8cm (在弹性限度内)时所做的功为 ▲ (单位: 焦耳).
-2-

1 2

15.已知:对于给定的 q ? N * 及映射 f : A ? B, B ? N * ,若集合 C ? A ,且 C 中所有元 素在 B 中对应的元素之和大于或等于 q ,则称 C 为集合 A 的好子集. ① 对于 q ? 3, A ? ?a, b, c, d? ,映射 f : x ? 1, x ? A ,那么集合 A 的所有好子集的个数为 ▲ ; ② 对于给定的 q , A ? ?1, 2,3, 4,5,6, π? ,映射 f : A ? B 的对应关系如下表:

x
f(x)

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 y

π
z

C 为集合 A 若当且仅当 C 中含有 π 和至少 A 中 3 个整数或者 C 中至少含有 A 中 5 个整数时,
的好子集,则所有满足条件的数组 (q, y, z ) 为 ▲ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)

r x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m n . 2 2 2 (Ⅰ )求 f ( x ) 在区间 ?0, π? 上的零点;
已知向量 m ? (cos (Ⅱ )在△ ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 b 2 ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ ) 若数列{an}是单调递增的, 令 bn ? an log1 an ,Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn , 求使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50
2

r

成立的正整数 n 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC , 且交 SC 于点 N . (Ⅰ )求证: SB // 平面 ACM ; (Ⅱ )求证:平面 SAC ⊥ 平面 AMN ; (Ⅲ )求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.
第 18 题图

19. (本小题满分 12 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品, 估计能获得投资收益的范围是 [10,100](单 位:万元) .现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单 位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (Ⅰ )若建立函数模型 y ? f ( x) 制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励模型函数应满足的条 件;

-3-

(Ⅱ )现有两个奖励函数模型: (1) y ? 符合公司要求.

1 x ? 1 ; (2) y ? log2 x ? 2 .试分析这两个函数模型是否 20

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知圆 E: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) ,P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直 平分线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与(Ⅰ)中轨迹 ? 相交于 A, B 两点, 直线 OA, l , OB 的 斜率分别为 k1 , k , k2 ( 其中 k ? 0 ) .△ OAB 的面积为 S , 以

OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 . 若 k1 , k , k 2 恰好构
成等比数列, 求

S1 ? S2 的取值范围. S
第 20 题图

21.(本小题满分 14 分)

a ? ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . 2 x (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; 1 (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ? [? ,3] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,求满足条件的最大整数 M ; 3 1 (Ⅲ)如果对任意的 s , t ? [ , 2] ,都有 sf (s) ≥ g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 3
设函数 f ( x ) ?

-4-

荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试

数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 二、填空题(每小题 5 分,5 小题共 25 分) 11. ?1 ; 12. 17 ; 13. [1, ) ; 7.B 14. 1.6 ; 8. C 9. D 10. A

3 2

15.①5,② (5,1, 2) .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.因为 m ? (cos

r

r r r x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? mgn . 2 2 2

所以 f ( x) ? 3 sin

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2

………………………2 分

?

3 1 1 π 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2

………………………4 分

π 1 )? . 6 2 π π π 5π ∴ x ? = +2kπ ,或 x ? = +2kπ,k ? Z 6 6 6 6 π ∴ x = +2kπ ,或 x =? +2kπ,k ? Z ………………………6 分 3 π 又 x ? ?0, π? ,? x ? 或 π . 3 π 所以 f ( x ) 在区间 ? 0, π ? 上的零点是 和 π . ………………………8 分 3 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 2 ? ≥ ? . (Ⅱ)在△ ABC 中, b ? ac ,所以 cos B ? 2ac 2ac 2ac 2 1 π π π π 由 cos B ≥ 且 B ? (0, π) ,得 B ? (0, ], 从而 B ? ? (? , ] ……………10 分 2 3 6 6 6 π 1 1 π 1 ∴ sin( B ? ) ? ( ? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? ( ?1, 0] . ………………12 分 6 2 2 6 2
(Ⅰ)由 f ( x) ? 0 ,得 sin( x ? 17. (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 ,………2 分

1 ? 2 ? ?q ? 2, ?a1q ? 8, ?q ? , 解之得 ? 或? ? a2 ? a4 ? 20 ,? ? 2 3 a ? 2 a q ? a q ? 20, ? ? 1 ? 1 1 ? a ? ? 1 32.

…………4 分

-5-

1 ? 1 ?q ? , 当? an ? 2 ; 2 时, an ? n ?6 . 2 ? ? a1 ? 32. 1 …………………6 分 ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 或 an ? n ?6 . 2 (Ⅱ)∵ 等比数列{an}是单调递增的,? an ? 2n ,? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,

?q ? 2, 当? 时, ?a1 ? 2

n

2

? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n )
n ? n? ( ? 1) ?n 2? n? 1



………………………8 分

2Sn ? ? [ 1 ? 22? ? 2 3? 2

2④ ]

由③ -④ ,得
………………………10 分

Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

? Sn ? n ? 2n?1 ? 50 即 2n?1 ? 2 ? 50 ,即 2n?1 ? 52.
易知:当 n ≤ 4 时, 2n ?1 ≤ 25 ? 32 ? 52 ,当 n ≥ 5 时, 2n ?1 ≥ 26 ? 64 ? 52 故使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 18.(选修 2 一 1 第 109 页例 4 改编) 方法一: (Ⅰ )证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME . Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. ME 是△ DSB 的中位线. Q M 是 SD 的中点,∴ ME // SB . ∴ ………………………2 分 ME ? ACM SB 又 平面 , ? 平面 ACM , SB // 平面 ACM . ∴ ………………………4 分 (Ⅱ )证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA,
……………………12 分

AM ? DC. ∴ DC ? 平面 SAD ,且 AM ? 平面 SAD, ∴

AM ? SD. 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴
AM ? 平面 SDC . SC ? 平面 SDC, ∴ SC ? AM . ∴
……………6 分

SC ? 平面 AMN . 由已知 SC ? AN ∴
又 SC ? 平面 SAC , ∴ 平面 SAC ? 平面 AMN .
……………………8 分

(Ⅲ )取 AD 中点 F ,则 MF // SA .作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ .

MF ? 底面 ABCD . SA ? 底面 ABCD ,∴ ∵

FQ 为 MQ 在平面 ABCD 内的射影. ∴ FQ ? AC ,∴ MQ ? AC . ∵
?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平面角. ∴
设 SA ? AB ? a ,在 Rt ?MFQ 中, MF ?
………………………10 分

1 a 1 2 SA ? , FQ ? DE ? a, 2 2 2 4

-6-

a
∴ tan ?FQM ?

2 2 4

? 2. a
3

. ………………………12 分 3 方法二: (II)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系

∴二面角 D ? AC ? M 的余弦的大小为

O ? xyz ,由 SA ? AB ,可设 AB ? AD ? AS ? 1 ,则
1 1 A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), S (0, 0,1), M ( , 0, ) . 2 2 uur uuu r 1 1 Q AM ? ( , 0, ) , CS ? ? ?1, ?1,1? , 2 2 uuu r uu r uuu r uu r 1 1 ? AM ? CS ? ? ? ? 0 ? AM ? CS ,即有 SC ? AM …6 分 2 2 又 SC ? AN 且 AN AM ? A .
? SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 平面 SAC ,
∴ 平面 SAC ⊥ 平面 AMN .
………………………8 分

(Ⅲ ) Q SA ? 底面 ABCD ,∴ AS 是平面 ABCD 的一个法向量, AS ? (0,0,1) . 设平面 ACM 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

uu r

uu r

uur

r uur ? x ? y ? 0 ? 0, ? ? y ? ? x, 1 1 ?n ? AC ? 0, ? AC ? (1,1, 0), AM ? ( , 0, ) , 则 ? r uuu 即 ?1 ,∴ r 1 ? 2 2 x ? 0 ? z ? 0. ? z ? ? x. n ? AM ? 0. ? ? ? ?2 2
uuu r
……………………10 分

令 x ? ?1 ,则 n ? ( ?1,1,1) .

uu r r uu r r AS gn 1 3 cos ? AS , n ?? uu r r ? ? , 由作图可知二面角 D ? AC ? M 为锐二面角 3 | AS | ? | n | 1? 3

∴ 二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

3 . 3

………………………12 分

19. (本小题满分 12 分)(必修一第 127 页例 2 改编) (Ⅰ )设奖励函数模型为 y ? f ( x) ,则该函数模型满足的条件是: ① 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) 是增函数; ② 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 5 恒成立;

x ③ 当 x ? ?10,100? 时, f ( x) ≤ 恒成立. 5
(Ⅱ ) (1)对于函数模型 (1) y ?

………………………5 分

1 ; x ? 1 ,它在 ?10,100? 上是增函数,满足条件① 20 但当 x ? 80 时, y ? 5 ,因此,当 x ? 80 时, y ? 5 ,不满足条件② ;
故该函数模型不符合公司要求.
-7………………………7 分

(2)对于函数模型 (2) y ? log2 x ? 2 ,它在 ?10,100? 上是增函数.满足条件①
…9 分 ? x ? 100 时 ymax ? log2 100 ? 2 ? 2log 2 5 ? 5 ,即 f ( x) ≤ 5 恒成立.满足条件②

log2 e 1 1 1 1 1 设 h( x) ? log2 x ? 2 ? x ,则 h?( x) ? ? ,又 x ? ?10,100? ? ≤ ≤ 5 x 5 100 x 10

? h?( x) ?

log2 e 1 2 1 ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 ?10,100? 上是递减的,因此 10 5 10 5

x h( x) ? h(10) ? log 2 10 ? 4 ? 0 ,即 f ( x) ≤ 恒成立.满足条件③ 5
故该函数模型符合公司要求 综上所述,函数模型 y ? log 2 x ? 2 符合公司要求.
………………………12 分

20.(选修 2 一 1 第 49 页习题第 7 题改编) (Ⅰ )连结 QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ?| EF |? 2 3 , 故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. ………………………2 分 x2 x2 设其方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 , c ? a 2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 ,……3 分 a b x2 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为 ? y 2 ? 1 . ………………………4 分 4 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 可得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4(m 2 ? 1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?4
由韦达定理有:

8km ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 ? 2 ? x1 x 2 ? 4(m ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?

且 ? ? 16(1 ? 4k ? m ) ? 0
2 2

………………………6 分

∵ k1 , k , k 2 构成等比数列,? k ? k1k2 =
2

(kx1 ? m)(kx2 ? m) 2 ,即: km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 x1 x2 1 1 2 由韦达定理代入化简得: k ? .∵ k ? 0 ,? k ? . ………………………8 分 4 2 2 此时 ? ? 16(2 ? m ) ? 0 ,即 m ? (? 2, 2 ) .又由 A、O、B 三点不共线得 m ? 0
从而 m ? (? 2,0)

(0, 2) . 1 1 |m| 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 故 S ? | AB | ?d ? 2 2 1? k 2 1 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | ? 2 ? m2 ? | m | ……………………………………10 分 2 x2 x2 2 2 ∵ 1 ? y1 ? 2 ? y2 ? 1 4 4
-8-

4 3? ? 5? ? ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? 为定值. ……………………12 分 16 2 4 S ? S 2 5? 1 5π ? ? ? 1 ≥ 当且仅当 m ? ?1 时等号成立. 4 4 S 2 ? m2 ? | m | S ? S2 5π ? ?) . 综上: 1 的取值范围是 [ , ……………………13 分 S 4
21. (Ⅰ ) f ?( x ) ? ?

则 S1 ? S 2 ?

?

2 2 ? ( x12 ? y12 ? x 2 ? y2 )?

?

3 3 2 ? ( x12 ? x 2 ? 2) 4 4 4

2a 1 x 2 ? 2a ? ? , 定义域(0, ?? ) ……………………1 分 x3 x x3 ①当 a ≤ 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, …………………2 分
②当 a ? 0 时, f ?( x) ≥ 0 ? x ≥ 2a ,函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 2a , ??) .

f ?( x) ≤ 0 ? 0 ? x ≤ 2a ,函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2a ) . …………4 分
(Ⅱ)存在 x1 , x2 ? [? ,3] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立, 等价于 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ≥ M . 考察 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3, g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 3x( x ? ) ……………………5 分

1 3

x
g ?( x)
g ( x)

?

1 3
85 27

1 (? , 0) 3
+

0 0

2 3 2 (0, ) 3
递减

2 3
0

2 ( ,3) 3
+ 递增

3

?

递增

?3

?

85 27

15

……………7 分

1 2 85 由上表可知 g ( x)min ? g (? ) ? g ( ) ? ? , g ( x)max ? g (3) ? 15 3 3 27 490 , [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max = g ( x)max ? g ( x)min = 27 所以满足条件的最大整数 M ? 18 . ……………………9 分 1 1 2 (Ⅲ )当 x ?[ ,2] 时,由(Ⅱ)可知, g ( x) 在 [ , ] 上是减函数, 3 3 3 2 1 83 在 [ , 2] 上增函数,而 g ( ) ? ? ? g (2) ? 1 3 3 27 ? g ( x) 的最大值是 1. ……………………………………10 分
要满足条件,则只需当 x ?[ ,2] 时, xf ( x) ? 等价于 a ≥ x ? x 2 ln x 恒成立, 记 h( x) ? x ? x2 ln x , h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x , h?(1) ? 0 .…………11 分 当 x ?[ ,1) 时, 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h?( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增,

1 3

a ? x ln x ≥1恒成立, x

1 3

1 3

2] 上递减, (, 1 2] 时, 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h?( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 (1, 当 x?

? x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1 .
-9-

………………………13 分

所以 a ≥ 1 . 另解:设 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x, m?( x) ? ?3 ? 2ln x , 由于 x ?[ ,2], m?( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减,又 h?(1) ? 0

……………………14 分

1 3

1 3

1 ?当 x ?[ ,1) 时, h?( x) ? 0, x ? (1,2] 时 h?( x) ? 0 , 3 1 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减, 3
所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ≥ 1 .

……………13 分

………………………14 分

- 10 -


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