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《空间向量的数乘运算》课件3


3.1.2 空间向量的数乘运算

复习
空间向量的定义、表示、几种特殊的向量 空间向量的加减运算: 加法运算:三角形法则或平行四边形法则 减法运算:三角形法则 空间向量的运算律: 加法交换律 a?b ? b?a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义

空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?

空间向量的数乘定义:
与平面向量一样 , 实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? a 仍然是一个向量. ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

数乘空间向量的运算法则
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即:? (a ? b) ? ? a ? ? b (? ? ?) a ? ?a ? ?a

? ( ? a) ? (?? ) a

练习:如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD, E,F分别是BC,CD中点.化简下列各表达式,并标 出化简结果的向量:

(1) AB ? BC ? CD; 1 (2) AB ? ( BD ? BC ); 2 1 (3) AF ? ( AB ? AC ). 2
B E

A

D
F C

复习
1. 平面向量共线的充要条件:

b ∥a(a ? 0) ? b = ? a(? ? R)
2.平面向量基本定理:
若 a, b不共线,则平面内任一向量 p ? ?1 a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R)

那么空间向量共线的条件是什么?空间 任意向量又有什么结论?

定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) 思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a ? ? b , 那

么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?

类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ),

a // b ? ? ? ? R , a ? ? b .

b

c

a

思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?

A?

?

l

a

P

注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
O

a a
p

A

?
b
B

共面向量定理:如果两 个向量a , b不共线,则向 量 p 与向量 a , b 共面的 充要条件是存在实数对 使 x, y P ? xa ? yb
O

P
A?

M a A

推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使

MP ? xMA ? yMB
或对空间任一点O,有OP ? OM ? xMA ? yMB

思考:利用向量可以判断三点共线,利 用向量能否判断四点共面?

对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,满 足向量关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点P、A、B、C是否 共面?

空间四点P、A、B 、C共面 ? 存在唯一实数对 (x , y ) , 使得CP ? xCA ? yCB

? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

练习一

1.下列说明正确的是:

B

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是: C
A.平面内的任意两个向量都共线

B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面

D.空间的任意三个向量都共面

3.对于空间任意一点O,下列命题正确的是: A
A.若 OP ? OA ? t AB,则P、A、B共线

B.若3OP ? OA ? AB,则P是AB的中点
C.若 OP ? OA ? t AB ,则P、A、B不共线 D.若 OP ? ?OA ? AB ,则P、A、B共线



如图,已知平行四边形ABCD,过平

面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使
OE OF OG OH ? ? ? ?k OA OB OC OD
D B O

求证:

⑴四点E、F、G、H共面; A

C

⑵平面EG//平面AC。
D' A' B' C'

课堂小结:
1.共线向量的概念。

2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。


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