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2012届高三数学一轮复习:数列练习题4

时间:2014-06-02


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第6章
一、选择题

第4节

1.(文)(2010· 重庆理,1)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比 q 的值为( A.2 C.4 [答案] A [解析] a2010=a2007· q3,故 q3=8,∴q=2

. 4 (理)(2010· 黑龙江哈三中)已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (n≥2),则 a5=( an-1 12 A. 5 11 C. 5 [答案] A 4 4 8 4 5 4 12 [解析] a1=4,a2=4-a1=3,a3=4-a2=3,a4=4-a3=2,a5=4-a4= 5 . 2.(2010· 大庆铁 人中学)若“*”表示一种运算,且满足如下关系: (1)1]N*). 则 n*1=( A.3n-2 C.3n [答案] A ) B.3n+1 D.3n-1 7 B.3 24 D.11 B.3 D.8

)

)

[解析] 设 n*1=an,于是有 a1=1,an+1=3+an,则数列{an}是等差数列,公差 d=3, 所以 n*1=an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.故选 A. 3.(文)(2010· 安徽安庆联考)已知等比数列{an}中有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 a7 =b7,则 b5+b9=( A.2 C.8 [答案] C [解析] ∵a3a11=a72=4a7,∴a7=4,∴b7=a7=4,∴b5+b9=2b7=8. (理)(2010· 昌南模拟)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列 ) B.4 D.16

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(

1

)的前 n 项和为 Sn,则 S2 010 的值为( 2 008 B. 2 009 2 010 D.2 011

)

2 007 A. 2 008 2 009 C.2 010 [答案] C

[解析] 0=f′ (x)=2x+b,∴0=f′ (1)=2+b=3,∴b=1, ∴f(n)=n2+n,∴ 1 = 1 + 1 1 =n- , n+1

1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1-2)+(2-3)+…+(n- )= n+1 n+1 2010 ∴S2010=2011. 4.(2010· 浙江金华十校)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为 S3-S2 {an}的前 n 项和,则 的值为( S5-S3 A.2 1 C.5 [答案] A [解析] 由条件 a32=a1a4,∴(a1+2d)2=a1(a1+3d),∴a1d+4d2=0, S3-S2 a1+2d -2d a3 ∵d≠0,∴a1=-4d,∴ = = = =2. S5-S3 a4+a5 2a1+7d -d 5.(文)(2010· 马鞍山市质检)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=3(a1+a3+…+a2n-1), a1a2a3=8,则 a10 等于( A.-512 C.-1024 [答案] D [解析] ∵{an}为等比数列,a1a2a3=8,∴a23=8, ∴a2=2, 又 S2n=a1+a2+…+a2n=3(a1+a3+…+a2n-1), ∴a2+a4+a6+…+a2n=2(a1+a3+a5+…+a2n-1), ∴q=2,∴a10=a2q8=2×28=512. (理)(2010· 长沙模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=?3(1+2x)dx,S20=18,则 ?0
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)

B.3 D.不存在

) B.1024 D.512

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S30 为( A.36 C.24 [答案] D

) B.27 D.21

[解析] S10=?3(1+2x)dx=(x+x2)03=12, 又 S20=18, 且{an}等比数列, ∴S10, S20-S10, ?0 S30-S20,也成等比数列,即:12,6,S30-18 成等比数列,∴S30-18=3,S30=21,故选 D.

?5 3? 6.(2010· 东北三校)在圆 x2+y2=5x 内,过点 2,2 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长 ? ? ?1 1? 为数列的首项 a1,最长弦长为 an,若公差 d∈ 6,3 ,那么 n 的取值集合为( ? ?
A.{4,5,6} C.{3,4,5} [答案] A B.{6,7,8,9} D.{3,4,5,6} )

?5 3? [解析] 圆心到点 2,2 的距离 ? ?
d=

?5-5?2+?3-0?2 =3,圆半径为5, 2 ?2 2? ?2 ? 2 ?5?2-?3?2=4,an=5. ?2? ?2?

∴a1=2

an-a1 1 1 1 1 1 1 ∴d= = ,∵6<d≤3,∴6< ≤ ,∴3≤n-1<6,∴4≤n<7, n-1 n-1 n-1 3 ∵n∈N*, ∴n=4,5, 6.故选 A. 7.运行如图的程序框图,则输出的结果是( )

A.2009

B.2010

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1 C.2009 [答案] D

1 D.2010

a1 [解析] 如果把第 n 个 a 值记作 an,第 1 次运行后得到 a2= ,第 2 次运行后得到 a3 a1+1 a2 an = ,……,第 n 次运行后得到 an+1= ,则这个程序框图的功能是计算数列{an} a2+1 an+1 an 1 1 1 的第 2010 项.将 an+1= 变形为 = +1,故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的 an+1 an+1 an 1 1 1 等差数列,故an=n,即 an=n,故输出结果是2010. 8.(2010· 浙江宁波十校)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 n 值是 8,则 S0 的值为 ( )

A.0 C.2 [答案] A [解析] 由题意可知

B.1 D.3

?3nS0+3n-1+3n-2+…+3+1≥2010 ? ? , ? ?3n-1S0+3n-2+…+3+1<2010

∵n=8,易验证 S0=0,故选 A. 9.(文)(2010· 海淀模拟)数列{an}的前 n 项和是 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,…, 若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak=( 1 A.7 5 C.7 6 B.7 3 D .7 )

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[答案] C [解析] 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 S 20+1=2+ 3 + 4 + + + = 5 6 7

1 3 5 2+1+2+2+2+3=10.5 6 ∵7>0.5, ∴S20<10,S21=10.5>10,即 k=20 5 ∴a20=7. (理)(2010· 杭州质检)已知在平面直角坐标系中有一个点列:P1(1,2),P2(x2,y2),…,Pn(xn, yn),Pn+1(xn+1,yn+1)(n∈N*),若点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为
? ?xn+1=yn-xn ? (n∈N*),则|P2 009P2 010|等于( ?yn+1=yn+xn ?

)

A.2 1 004 C.22 010 [答案] A [解析]

B.1 0052 D.2 0102

P1(1,2)→P2(1,3)→P3(2,4)→P4(2,6)→P5(4,8)→P6(4,12)→P7(8,16)→P8(8,24)→P9(16,32)→P10(1 6,48)→P11(32,64)→P12(32,96)→…. 由此可归纳出:P2n-1(2n-1,2n),p2n(2n-1,3×2n-1), 所以 P2 009(21 004,21 005),P2 010(21 004,3×21 004), 所以|P2 009P2 010|=21 004. 10.(文)(2010· 广东罗湖区调研)在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a10 是方程 x2 +12x-8=0 的两个根,那么 S11 的值为( A.44 C.66 [答案] D + 2 = + 2 = - 2 =-66. B.-44 D.-66 )

[解析] ∵a2+a10=-12,∴S11=

(理)(2010· 衡水市模考)已知公比不为 1 的正项等比数列{an}的通项公式为 an=f(n)(n∈N*), 记 f(x)的反函数为 y=f-1(x),若 f-1(3)+f-1(6)=7,则数列{an}的前 6 项乘积为( )

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A.33 C.63 [答案] D

B.36 D.183

[解析] ∵f(x)的反函数为 f-1(x),设 f-1(3)=m, f-1(6)=-k,则 f(m)=3,f(k)=6,即? ∵{an}为等比数列,m+k=7, ∴a1qm-1=3,a1qk-1=a1q6-m=6, 两式相乘得 a12q5=18, ∴{an}的前 6 项乘积 a1a2a3a4a5a6=a16· q15=(a12q5)3=183,故选 D. 二、填空题 11.(2010· 新乡市模考)设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然数 n Sn 2n-3 a9 a3 都有Tn= ,则 + 的值为________. 4n-3 b5+b7 b8+b4 19 [答案] 41 [解析] a9 a3 a9 a3 2a6 a1+a11 + =2b6+2b6=2b6= b5+b7 b8+b4 b1+b11
? ?am=3 ?ak=6 ?



S11 2×11-3 19 =T11= = . 4×11-3 41 12.(2010· 浙江金华十校模考)数列{an}中,Sn 是前 n 项和,若 a1=1,3Sn=4Sn-1,则 an= ________. 1 n=1 ? ? [答案] ?1 ?4? · n-2 n≥2 ? ?3 ?3? [解析] ∵3Sn=4Sn-1,∴ Sn 4 = ,又 S1=a1=1, Sn-1 3

4 ∴{Sn}是以 S1=1,公比为3的等比数列,

?4? ∴Sn= 3 n-1, ? ?
1 ?4? ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3· 3 n-2,

? ?

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1 n=1 ? ? ∴an=?1 ?4? . · n - 2 n≥2 ? ?3 ?3? 13.(文)(2010· 浙江杭州质检)已知数列{an}满足:a1=1,如果 an 是自然数,则 an+1=an -2,否则 an+1=an+3,则 a6=________. [答案] 1 [解析] a1=1∈N,∴a2=a1-2=-1,a2=-1?N,∴a3=a2+3=2; 依次类推有:a4=0,a5=-2,a6=1. [点评] 此题若求 a2010=?,则需研究其周期,你知道其周期是几吗? (理)(2010· 山东聊城联考)设集合 M={m|m=7n+2n,n∈N*,且 m<200},则集合 M 中所有 元素的和为________. [答案] 450 [解析] ∵n=6 时,m=7×6+26=106,n=7 时,m=7×7+27=177,又 28=256, ∴由 m<200 知, n≤7, n∈N*, 故集合 M 中所有元素之和为 S=7×(1+2+…+7)+(21+22+… +27)=450. 14.(文)( 2010· 上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这 个正整数为“神秘数”.介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为____. [答案] 2500 [解析] 设正整数 x=(2n+2)2-(2n)2=8n+4, 由 1≤x≤200 及 n∈Z 知,0≤n≤24, ∴所有这样的神秘数之和为 + 2 =2500.

2 (理)已知数列{an}满足 a1=3,且对任意的正整数 m、n 都有 am+n=am· an,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=________. 2n+1 [答案] 2- 3n an+1 2 2 [解析] 令 m=1,得 an+1=a1· an,即 an =a1=3,可知数列{an}是首项为 a1=3,公比 2 为 q=3的等比数列,于是 Sn= - 1 -q 2 2 3×[1- 3 = 2 1-3

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2n+1 2 =2[1-(3)n]=2- 3n . 三、解答题 15.(2010· 山东滨州)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4, a13 成等比数列. (1)求数列{an}的 通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项,…,第 2n 项,…,按原来顺序组成一 个新数列{bn},记该数列的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. [解析] (1)依题意得 3×2 4×5 ? ?3a1+ 2 d+5a1+ 2 d=50 ? , ? = + ? +
? ?a1=3 解得? , ?d=2 ?

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即 an=2n+1. (2)由已知得,bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1 ∴Tn=b1+b2+…+bn=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1) = - 1-2 +n=2n+2-4+n.

16.(文)已知{an}是由正数组成的数列,a1=1,点( an,an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+2 的 图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=2,bn+1=bn+2an+1, 求 bn. [解析] (1)由已知得 an+1=an+2, 即 an+1-an=2,a1=1 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列. 故 an=2n-1. (2)由(1)知:an=2n-1,从而 bn+1-bn=22n+1. ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

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=22n-1+22n-3+…+23+2=

- = 4-1

- . 3

(理)(2010· 山东潍坊)已知等差数列{an}的首项 a1≠0,前 n 项和为 Sn,且 S4+a2=2S3;等比 数列{bn}满足 b1=a2,b2=a4. (1)求证:数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项; 2 (2)若 a1=2,设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; log2bn· log2bn+1 (3)在(2)的条件下,若有 f(n)=log3Tn,求 f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由 S4+a2=2S3 得,4a1+6d+a1+d=6a1+6d, ∴a1=d 则 an=a1+(n-1)d=na1,∴b1=2a1,b2=4a1 b2 等比数列{bn}的公比 q=b1=2 则 bn=2a1· 2n-1=2n· a1 ∵2n∈N*, ∴{bn}中的每一项都是{an}中的项. (2)当 a1=2 时,bn=2n+1,cn= 1 ? ? 1 =2 n+1-n+2 ? ? 则 Tn=c1+c2+…+cn 1 1 ? ?1 1 1 1 =2 2-3+3-4+…+n+1-n+2 ? ? 1 ? n ?1 =2 2-n+2 = ? ? n+2 n 1 2 n (3)f(n)=log3Tn=log3 ,∴f(1)+f(2)+…+f(n)=log33+log34+…+log3 n+2 n+2 2 + +

?1 2·…· n ?=log3 =log3 3· ? 4 n+2?
≤log3 2 + + =-1,

2 + +

即 f(1)+f(2)+…+f(n)的最大值为-1. 17.(文)(2010· 湖南湘潭市)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n,数列{bn}满足 b1=-1,bn +1=bn+(2n-1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式;
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an· bn (3)若 cn= n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)∵Sn=3n, ∴Sn-1=3n-1,(n≥2) ∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2· 3n-1(n≥2). 当 n=1 时,a1=S1=3≠2×31-1,
?3 ? ∴an=? ? 3n- ?2·

= .

(2)∵bn+1=bn+(2n-1) ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5, …… bn-bn-1=2n-3, 以上各 式相加得 bn-b1=1+3+5+…+(2n-3) = - +2n- =(n-1)2 2

∵b1=-1,∴bn=n2-2n
? ?-3 (3)由题意得 cn=? ? ?

= - -

当 n≥2 时 Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2× 33+…+2(n-2)×3n-1, ∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n, 相减得:-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n ∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1) 3n-3 =(n-2)×3n- 2 = - 2 +3 ,

当 n=1 时,Tn=-3 也满足, ∴Tn= - 2 +3 (n∈N*).

1 (理)各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,函数 f(x)=2px2-(p+q)x+qlnx.(其中 p,q 均为常数, 且 p>q>0), 当 x=a1 时, 函数 f(x)取得极小值, 点(an,2Sn)(n∈N*)均在函数 y=2px2

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q - x +f ′ (x)+q 的图象上(其中 f ′ (x)是函数 f(x)的导函数). (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 4Sn (3 )记 bn= · qn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n+3 [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). q f′ (x)=px-(p+q)+ x px2- = + x +q - = - x ,

q 令f′ (x)=0 得,x=1 或 x=p, q ∵p>q>0,∴0<p<1. 当 x 变化时,f ′ (x)、f(x)的变化情况如下表:

?0,q? ? p?
f′ (x) f(x) +

q p 0 极大值

?q,1? ?p ?


1 0 极小值

(1,+∞) +

所以 f(x )在 x=1 处取得极小值,即 a1=1. q (2)依题意,y=2px2- x +f ′ (x)+q=2px2+px-p, 2Sn=2p· an2+p· an-p(n∈N*), 所以 2a1=2p· a12+p· a1-p. 由 a1=1 得,p=1. ∴2Sn=2an2+an-1① 当 n≥2 时,2Sn-1=2an-12+an-1-1② ①-②得,2an=2(an2-an-12)+an-an-1. ∴2(an2-an-12)-(an+an-1)=0, 1? ? ∴(an+an-1) an-an-1-2 =0,

?

?

1 由于 an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2), 1 所以{an}是以 a1=1,公差为2的等差数列,
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1 n+1 ∴an=1+(n-1)×2= 2 . (3)Sn=n+ ∵bn= - 1 n2+3n · 2 2= 4 ,

4Sn · qn=nqn, n+3

∴Tn=q+2q2+3q3+…+(n-1)qn-1+nqn③ 由已知 p>q>0,而由(2)知 p=1,∴q≠1. ∴qTn=q2+2q3+3q4+…+(n-1)qn+nqn+1④ ③-④得: (1-q)Tn=q+q2+q3+…+qn-1+qn-nqn+1 = - 1-q -nqn+1, - - - nqn+1 . 1-q

∴Tn=

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