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第2课时-集合的运算


一.课题:集合的运算 二.教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴或文氏图 进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 三.教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.交集、并集、全集、补集的概念; 2. A ? B ? A ? A ? B , A ? B ? A ? A ? B ;

3. CU A ? CU B ? CU ( A ? B) , CU A ? CU B ? CU ( A ? B) . (二)主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. (三)例题分析: 例 1. 设全集 U ? x | 0 ? x ? 10, x ? N ? , A ? B ? ?3? ,A ? CU B ? ?1,5, 7? ,CU A ? CU B ? ?9? , 若 则 A ? ?1,3,5, 7? , B ? ?2,3, 4, 6,8? . 解法要点:利用文氏图. 例 2.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 x ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,若 A ? B ? ?x |0 ? x ? 2 ? ,
3 2 2

?

?

?

?

?

?

A ? B ? ? x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值.
解:由 x ? 3x ? 2 x ? 0 得 x( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 ,
3 2

∴ A ? (?2, ?1) ? (0, ??) ,又∵ A ? B ? ? x | 0 ? x ? 2? ,且 A ? B ? ? x | x ? ?2? , ∴ B ? [?1, 2] ,∴ ?1 和 2 是方程 x ? ax ? b ? 0 的根,
2

由韦达定理得:

a ? ?1 ? ? ??1? 22 ? b?a ,∴?b ? ?2 . ?1

说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用. 例 3.已知集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 0} , B ? {( x, y ) |

(参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6 题) . A ? B ? {( x, y) | ( x ? 2 y)( y ?1) ? 0}; 解法要点:作图. 注意:化简 B ? {( x, y) | y ? 1, x ? 2} , (2,1) ? A . 例 4. ( 《高考 A 计划》 考点 2 智能训练” 15 题) “ 第 已知集合 A ? { y | y ? (a ? a ? 1) y ? a(a ? 1) ? 0} ,
2 2 2

y ?1 ? 0} ,则 A ? B ? ? ; x?2

B ? {y | y ?

1 2 5 x ? x ? , 0 ? x ? 3} ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 2 2

解答见教师用书第 9 页.

例 5. ( 《高考 A 计划》 考点 2 智能训练” 16 题) “ 第 已知集合 A ? ( x, y ) | x ? mx ? y ? 2 ? 0, x ? R ,
2

?

?

B ? ?( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, 0 ? x ? 2? ,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.
分析:本题的几何背景是:抛物线 y ? x ? mx ? 2 与线段 y ? x ? 1(0 ? x ? 2) 有公共点,求实数 m 的取值范围.
2

x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 2 得 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ① x ? y ?1 ? 0 ∵ A ? B ? ? ,∴方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 2 首先,由 ? ? (m ? 1) ? 4 ? 0 ,解得: m ? 3 或 m ? ?1 . 设方程①的两个根为 x1 、 x2 ,
解法一:由 (1)当 m ? 3 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 知 x1 、 x2 都是负数,不合题意; (2)当 m ? ?1 时,由 x1 ? x2 ? ?(m ? 1) ? 0 及 x1 ? x2 ? 1 ? 0 知 x1 、 x2 是互为倒数的两个正数, 故 x1 、 x2 必有一个在区间 [0,1] 内,从而知方程①在区间 [0, 2] 上至少有一个实数解, 综上所述,实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .

?

y ? x 2 ? mx ? 2 在 [0, 2] 上有解, y ? x ?1 2 即 x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 在 [0, 2] 上有解, 2 令 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 ,则由 f (0) ? 1 知抛物线 y ? f ( x) 过点 (0,1) ,
解法二:问题等价于方程组 ∴抛物线 y ? f ( x) 在 [0, 2] 上与 x 轴有交点等价于 f (2) ? 2 ? 2(m ? 1) ? 1 ? 0
2

?



? ? ? (m ? 1) ? 4 ? 0 ? 1? m ?2 或 ?0 ? ② 2 2 ? ? f (2) ? 2 ? 2( m ? 1) ? 1 ? 0 3 3 由①得 m ? ? ,由②得 ? ? m ? 1 , 2 2 ∴实数 m 的取值范围为 (??, ?1] .
2

(四)巩固练习: 1.设全集为 U ,在下列条件中,是 B ? A 的充要条件的有 ① A ? B ? A ,② CU A ? B ? ? ,③ CU A ? CU B ,④ A ? CU B ? U ,

( D )

( A) 1个

( B) 2 个

(C ) 3 个

( D) 4 个

2.集合 A ? {( x, y) | y ? a | x |} , B ? {( x, y) | y ? x ? a} ,若 A ? B 为单元素集,实数 a 的取值范 围为 [?1,1] . 五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 2,智能训练 3,7, 10,11,12,13.


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