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《空间向量的数乘运算》课件1

时间:2014-11-07


一、空间向量的数乘:
1、定义: 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 量,称为空间向量的数乘 2、空间向量的数乘的性质

?a

仍然是一个向

? a 与 a 同向 (1)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 反向 (2)当 ? ? 0 时,
(3)当 ? ? 0 时, ?a ? 0

r />当? a ? 0,

有? ? 0或a ? 0

a
3a ? 3a

(4) | ? a |? | ? | ? | a |
2、空间向量的数乘的运算律 (1)数乘分配律1: ?(a ? b) ? ? a ? ?b

? ? ? (2)数乘分配律2: (? ? ? )a ? ?a ? ?a
(3)数乘结合律:

?(? a) ? (?? )a

二、空间中的共线向量 1、定义: 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合, 则这些向量叫做 共线向量 (或平行向量) 探 究:
对空间任意两个向量 a与b, 如 果a ? ? b, a与b有 什 么 位 置 关 系 ? 反过来 , a与b有 什 么 位 置 关 系 时 ,a ? ?b?

a

b ? 2a
c ? ?3a

2、空间中共线向量的性质 (1)向量a与向量a 共线

若a // b, 则b // a, (2)非零共线向量的传递性:

若b ? 0, a // b, b // c, 则a // c,
(3)零向量与任一向量共线, 即0 // a,

(4)空间共线向量定理:
对空间任意两个向量

a, b(b ? 0),

a // b(b ? 0) ? 有且只有一个实数 ? , 使 a ? ?b
思考1:为什么要强调

b ? 0?

思考2:这个定理有什么作用? 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线

推论:如果 l 为经过已知点A且平行已知非零 向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 l上
其中向量 a 叫做直线
若 OP ? OA ? t AB

的充要条件是存在实数t,满足等式OP ? OA ? ta

l

的方向向量.
P B A

a

(或 AP ? t AB)
则A、B、P三点共线。

若P 为 A,B中点 , ( x ? y ? 1), O 若OP ? xOA ? yOB 1 OP 向量参数表示式 ?OA ? OB ? 则A则 、B 、? P三点共线。
2

共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O

a

A

?

a
3—1—2

注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。

复习:
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量,那么,该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?

2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向

量,那么,该平面内的任一向量a,存在惟一 的一对实数a1,a2,使 a= a1 e1 +a2 e2

3、共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b
共面的充要条件是,存在唯一的一对实数 x,y,使 c c=x a+y b B 证明: (1)必要性:如果向量c与向量a,b共面, C
则通过平移一定可以使他们位于同一平面内, O A 由平面向量基本定理可知,一定存在唯一的实数对x,y, 使c=x a+y b (2)充分性:如果c 满足关系式c=xa+yb,则可选定一点O, 作OA=xa,OB=AC=yb,于是OC=OA+AC=xa+yb=c, 显然OA,OB,OC,都在平面OAB内,故c,a,b共面

共面向量定理的剖析
如果两个向量

a,b 不共线,
存在唯一的一对实数x, y,使 c=xa+yb

★ 向量c与向量a,b共面

★ c =xa +yb

(性质) 向量c与向量a,b共面
(判定)

思考 1:如图,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
b

⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y),
O

A a B

使 AP ? xa ? yb .

∴点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①
C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ⑵∵已知点 B 、

∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②

C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③

注:①、②、③式都称为平面?的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 . 证明:⑴充分性

∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC 可变形为 OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ∴ AP ? yAB ? z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、

B、 C ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A 、 ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP ? mAB ? nAC ∴ OP ? OA ? m(OB ? OA) ? n(OC ? OA) ∴ OP ? (1 ? m ? n)OA ? mOB ? nOC
∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x ? 1 ? m ? n, y ? m, z ? n , ∴ x ? y ? z ? 1

得证.

为什么?

※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法: (1)只需得到存在实数 ? ,使

AB ? ? BC 或 AB ? k AC
OC ? (1 ? t )OA ? tOB

(2)对空间任意点O,存在实数t,使

1 特别地,当t=1/2时, OC ? (OA ? OB ) 2
此时,点C恰为线段AB的 中点

例1、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的 任一点O,确定在下列条件下,M是否与A,B,C 三点共面:

1 1 1 (1)OM ? OA ? OB ? OC; 3 3 3 (2)OM ? 2OA ? OB ? OC.

例2(课本例)如图,已知平行四边形ABCD,从平

面AC外一点O引向量 OE ? kOA , OF ? kOB,
OG ? kOC , OH ? kOD ,

求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.

例2 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE? kOC ? kOA

C

? k (OC ? OA)? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入 ? k (OB ? OA ? OD ? OA)

A
H

B
G

? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。

课外补充练习:

A 1.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:
(A)若 OP ? OA ? t AB ,则P、A、B共线 (B)若 3OP ? OA ? AB ,则P是AB的中点 (C)若 OP ? OA ? t AB ,则P、A、B不共线 (D)若 OP ? ?OA ? AB ,则P、A、B共线 2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点 O, OM ? xOA + OB + OC , 则x的值为( D)

1 3

1 3

( A)1

( B)0

(C )3

1 ( D) 3

课外补充练习:

1.下列说明正确的是: D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是:C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面

例3:如图,已知空间四边形ABCD中,向量

AB ? a, AC ? b, AD ? c, 若M为BC的中点,

c 表示下列向量: G为Δ BCD的重心,试用 a,b,
(1) DM
A

1 ( a+ b)- c 2
(2) AG

D

B
M C

G

1 ( a+ b + c) 3


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