8.3.2平面向量平行的坐标表示

8.3.2 平面向量平行的坐标表示

向量平行的坐标表示
即墨市第二职业中专
闫作顺

例： 如图，在梯形ABCD中，底DC长是 底AB长的3倍，已知顶点 A坐标 （-2.1），B（-1，3），C（4，5）， 求点D的坐标。
B（-1，3）

C（4，5）

A
（-2.1）

D（x，y）

一、复习引入：
向量平行的基本定理： 如果想向量

? ? b ?0

，则存在唯一的实数 ?

使：

? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ?b (b ? 0)

思考：这个定理用向量坐标能不能表示，能的话如何表示呢？

二、讲解新课：
1．平面向量平行的坐标表示

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设a ? (a1, a2 ),b ? (b1, b2 )， 果 b ? 0 ? a // b ? a ? ?b (b ? 0) 如
? (a1 , a2 ) ? ? (b1 , b2 )
消 ? 得： 即：

a1 ? ?b1 a2 ? ?b2
都有：

a1b2 ? a2b1 ? 0 ? ? 所以对于任意向量 a ? (a1 , a2 ) ， b ? (b , b ) 1 2

? ? a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0

例4 判断下列两个向量是否平行。

? ? a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0
2.

1.

? ? a ? (?1,3),b ? (5,?15);

? ? e ? (2,0), f ? (0,3);
所以

解： 1. 因为（-1）×（-15）-3 ×5=0

? ? a // b

2. 因为 2×（3）-0 ×0=6≠0

所以

? ? e 和f不 行 平

练习：P64

1、2

? ? 果 量 向 行 方 相 例5：如 向 a ? (?1, x)与 量 b ? (? x,2)平 且 向 同 , ? ? 求x的 。 值 a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0
? ? 解： ? a ? (?1, x)与b ? (? x,2)平 ， 行

? (?1) ? 2 ? x(? x)
得 x ? ? 2或x ? 2 ： ? ? 又? a与b 方 相 。 对应坐标符号相同 向 同

?x ? 2
练习：P64 3

例6： 如图，在梯形ABCD中，底DC长是 底AB长的3倍，已知顶点 A坐标 （-2.1），B（-1，3），C（4，5）， 求点D的坐标。

? ? a // b ? a1b2 ? a2b1 ? 0

解： 设点D的坐标是（x,y）,因为DC//AB,且DC的长度是AB的3倍，

所以

DC ? 3 AB

? AB ? (?1,3) ? (?2,1) ? (1,2), DC ? (4,5) ? ( x, y) ? (4 ? x,5 ? y)

? (4 ? x,5 ? y) ? 3(1,2) ? (3,6)
得 x ? 1, y ? ?1. ： ?点D的 标 (1,?1) 坐 是
A
（-2.1）

C（4，5）

B（-1，3）

练习：P64

4、5

D（x，y）

课堂小结
1. 向量平行的充要条件

? ? a // b ?

? ? a ? ?b

平行基本定理

a1b2 ? a2b1 ? 0

坐标形式

2. 向量平行的充要条件的应用。
1.求线段中的点坐标 2.证明两线平行

作业

P64

4、5

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