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3[1].1.2空间向量基本定理


3.1.2空间向量基本定理

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一、共线向量: 1.共线向量:

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, ? ? ? r 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . ? ? 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
r r r r 2、共线向量定理 对空间任意两个向

量 a, b(a ? 0), r r r r b与a共线的充要条件是存在实数λ, 使b ? ? a.

平面向量基本定理:

?? ?? ? 如果是 e1?,2 同一平面内两个不共线的 ?e 向量,那么对于这一平面内的任一向 ? 量 a ,有且只有一对实数?1,?2,使 ? ? ? ?? ? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 a
思考1:空间任意向 ?? 量 p 与两个不共线 ? ? 的向量 a?, 共面时, ?b 它们之间存在怎样 的关系呢?
? b ?C b A ? B a

P

二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.

a
O A

?

a

2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b ? ? ? ? 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b ? ? ? ? 序实数对 ( x, y) 使 p ? xa ? yb . ??

注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 间任意三个向量就不 一定共面的了 ? ?

请证明

?C b A ? B a

p

P

思考2:有平面ABC, 若P点在此面内,须 满足什么条件?
O

?C b? A a B

?? p

P

结论:空间一点P位于平面ABC内
uuu r uuu r uuu r 1.存在唯一有序实数对x,y使 AP ? x AB ? y AC uuu uur r u uuu r uuu r 2.对空间任一点O,有 OP ? OA ? x AB ? yAC

3.能转化为都以O为起点的向量吗? uur u uur uur uuu u r OP ? 1? x ? y)OA ? xOB ? yOC (

uuu r uur u uuu uuu r r OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

可证明或判断四点共面

练 习2:

B 1.下列命题中正确的有: ? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ; uuu r uuu r uuu r (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A B共面; 、
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

?? ?? 2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,

??? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ? 若AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,

求证:A,B,C,D 四点共面.

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
???? ? ??? ? 1 ??? 1 ???? ? O, OM ? xOA + OB + OC 3 3

,则x的值为: D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ???? ? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

??? ? ???? ? ? 例1.如图三棱柱, 设 AB ? a, AC ? b, A1 ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? AA1 ? c, AM ? k AC1 , BN ? k BC , ???? ? ? ? ? 求证 : MN与向量a和c共面. c
追问:求证 : MN ? 平面. AA1 B1 B
A

C1 B1 M

? b

? a
B

C N

在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
如 果e1,2是 同 一 平 面 内 的 两 个 共 线 向 量 , e 不 那 么 对 于 这 一 平 面 内 任 一 向 量, 有 且 只 有 的 a 一 对 实 数 λ, λ 2, 使a= λ 1 e1+ λ 2 e 2。 1

问题 情境

(e1、2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 有 向 量 的 一 组 基 底 ) e 所

这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示. 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?

猜想:
如 果 三 个 向 量1、2、3不 共 面 , 那 么 空 间 任 一 e e e ? 向 量p, 存 在 一 个 唯 一 的 有 实 数 组 x, y, z, 序 ? 使p ? xe1 ? ye2 ? ze3。

? ? ? 如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 b ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x, y, z? 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc . 证明思路:先证存在性

类似地,

空间向量分解定理

? b E

p
O C

A

? ? 对向量 p 进行分解,

D
B

? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OB ? ??? ? OC ? OD ? OE ?BA ? ? c p

? ? ? 作 AB // b, BD // a, BC // c

注:空间任意三个不共面向量都可以构成空
? ? ? 间的一个基底.如: a , b, c

? a

? xa ? yb ? zc
然后证唯一性

?

?

看书P83

三.空间向量基本定理:

?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 把 e1、2、3 称为空间的一个基底, e1、2、3叫做基向量. e e e e

?? ?? ?? ? ? ? 如果三个向量e1、2、3 不共面,那么空间任一 e e ? 向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, ?? ? ?? ? ?? ? ? 使p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .

?

?

说明: ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。(零向量与 任意非零向量共线,与任意两个非零向量共面) ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基 向量是指基底中的某一个向量。

三.空间向量基本定理:

?? ?? ?? ? ? ? 如果三个向量e1、2、3 不共面,那么空间任一 e e ? 向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, ?? ? ?? ? ?? ? ? 使p ? xe1 ? ye2 ? ze3 . 推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对空间 任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、y、z使 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ?

OP ? xOA ? yOB ? zOC O
C

A P
B

练 习3 ? ? ? 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底,从
? ? ? a , b , c 中选哪一个向量,一定可以与向量

? ? ? ? ? ? ? ? p ?a ?b , ?a ?b p

构成空间的另一个基底?

? ? 2.如果向量 a , b 与任何向量都不能构成 ? ? 空间的一个基底,那么a , b 之间应有什

么关系?

3.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,且
? ? ? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? OO OC OA ? a , ? b, ? ? c ,用a , b , c 表示如下 ???? ???? ???? ? ? ? 向量:(1) OB? , BA? , CA; ???? (2)OG (点G是侧面BB’C’C的中心)

O/

A/

? a
O A

? c?
b
B

? C/ ????'

B/ G

???? ? ? ' BA ? c ? b ???? ? ? ? ' CA ? a ? b ? c

? ? ? OB ? a ? b ? c

??? ? ? 1 ? ? C OG ? a ? b ? 1 c 2 2

4:已知空间四边形OABC,对角线OB、AC,M 和N分别是OA、BC的中点,点G在MN上,且使 MG=2GN,试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

?

?

解:在△OMG中,
O
M
G

??? ???? ???? ? ? ? OG ? OM ? MG

C N

? ? 1 ??? 2 ???? ? OA ? MN 2 3 ? ? 1 ??? 2 ???? ???? ? OA ? (ON ? OM ) 2 3

A B

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

小结:
1. 共线向量定理. 2.共面向量定理. 3.空间向量基本定理及推论. (1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理,即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和; (2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面

的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量, 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。


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