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《空间向量的数乘运算》课件4

时间:2014-11-07


3.1.2

空间向量的数乘运算
河北饶阳中学高二数学组

上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展 到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则

/>a?b ? b?a 加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.

b

b
a a

我们知道平面向量还有数乘运算.

类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其
运算律是否也与平面向量完全相同呢?

例如:

3a

a

?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律

即:? (a ? b) ? ? a ? ? b

? (? a) ? (?? )a
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.

对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a ? ? b , 那么

a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面, 对于空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ),

a // b ? ?? ? R, a ? ? b.

b a

如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量
a 的直线 ,对空间任意一点

O,点 P 在直线 l 上的充要

条件是存在实数 t,使 OP ? OA ? t a , 其中向量 a 叫做直 线 l 的方向向量.
P B A

a

若P为A,B中点, 则
1 OP ? OA ? OB 2

?

?
O

l

由l∥a知存在惟一的t,满足 AP = ta, 对空间任意一点O,AP = OP - OA, 所以OP - OA = ta, 即OP = OA + ta, OP = OA + tAB. ① ②
l A

a
B

P

若在l 上取AB = a,则有
O

①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.

探究点2 共面向量

共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意 三个向量既可能共面,也可能不共面.

那么什么情况下三个向量共面呢?

? e2

? a ? e1

由平面向量基本定理知,如果 e1 , e2 是平面内的两个不共线的向量,那么

对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ?2 使 a ? ?1e1 ? ?2e2 只有一对实数 ?1 ,

共面向量定理的剖析
如果两个向量

a,b 不共线,
存在唯一的一对实数x, y,使

★ 向量c与向量a,b共面

★ c=xa+yb

c=xa+yb (性质) 向量c与向量a,b共面 (判定)

思考 1:如图 ,平面 ? 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P p 呢? C b A a B ⑴∵ AP与a 、b 共面,

∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y),

O

使 AP ? xa ? yb .

C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ⑵∵已知点 B 、

∴点 P 在平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xa ? yb ①

∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP ? xAB ? yAC ②

C 在平面 ? 内且 AB ? a , AC ? b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 ? 上 ? ? 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP ? OA ? xAB ? yAC ③

注:①、②、③式都称为平面?的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 . 证明:⑴充分性

∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC 可变形为 OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ∴ AP ? yAB ? z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、

B、 C ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A 、 ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP ? mAB ? nAC ∴ OP ? OA ? m(OB ? OA) ? n(OC ? OA) ∴ OP ? (1 ? m ? n)OA ? mOB ? nOC
∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 OB 、 OC 不共面, ∴ x ? 1 ? m ? n, y ? m, z ? n , ∴ x ? y ? z ? 1

得证.

为什么?

※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法: (1)只需得到存在实数

? ,使

AB ? ? BC 或 AB ? k AC
(2)对空间任意点O,存在实数t,使

OC ? (1 ? t )OA ? tOB
特别地,当t=1/2时,

1 OC ? (OA ? OB ) 2 C恰为线段AB的 中点 此时,点

例1.若对任一点O和不共线的三点A,B,C,有
OP ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R), 则x+y+z=1

是四点P,A,B,C共面的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

C.充要条件

例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外 一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上 分别取点E,F,G,H,并且使 OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证: E,F,G,H四点共面.   

O D B H G F

C

A

E

OE OF OG OH 证明 :因 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 所以 OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD. 由于四形ABCD是平行四形,所以 AC ? AB ? AD . 因此 EG ? OG ? OE ? kOC ? kOA=k AC ? k ( AB ? AD) ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ? EF ? EH 由向量共面的充要件知E , F, G, H 四共面.

1.下列命题中正确的个数是( D ) ①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ②向量 a , b , c 共面即它们所在的直线共面; ③若 a ∥ b ,则存在惟一的实数λ ,使 a =λ b . A .1 C .3 B.2 D.0

2.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的 是( C ) → =3OA → -2OB → -OC → A.OM → +OA → +OB → +OC → =0 B.OM

→ → → C. MA+MB+MC= 0
1→ → 1→ → D.OM= OB-OA+ OC 4 2

3.下列说法正确的是( D )

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线

4.下列说法正确的是( C ) A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面

D.空间的任意三个向量都共面

5.已知 A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点, 1 → → → 3 OP= OA+βOB,则 β=________. 3
2

1.空间向量的数乘运算.
2.共线向量的概念.

3.直线l的方向向量.
4.共面向量的概念.


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