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2011年上海市卢湾区高三数学(理科)二模试卷

时间:2011-04-22


卢湾区 2010 学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷(理科)
(本卷完成时间为 120 分钟,满分为 150 分) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格 内直接写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 | x ? 2 | ≤1 的解集是 2.函数 y ? 2 x ? 1 的反函数为 3.方程

sin 2 x ? 2sin x ? 0 的解集为 . . . . 2011.4

4.若实数对 ( x, y ) 满足 x2 ? y 2 ? 4 ,则 xy 的最大值为

? x ? ?3, ? m 0 6? 5.若关于 x, y 的线性方程组的增广矩阵为 ? 则 mn ? ,该方程组的解为 ? ?0 3 n? ? y ? 4.
的值为 .
开始

6.在极坐标系中,点 A 的极坐标为 (2, 0) ,直线 l 的 极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ,则点 A 到直 线 l 的距离为 . 7.某算法的流程图如图所示,则该算法输出的 n 值 是 . 1 8.已知 (2 x 2 ? 5 )n (n ?N*)的展开式中含有常数项, x 则 n 的最小值是 . π 3 π 9.已知 0 ? α ? , ? ? β ? 0 , cos(α ? β ) ? ,且 2 5 2

n←1 n←n+1 2n>n2
是 输出 n 结束 否

(第 7 题图)

3 tan α ? ,则 sin β ? 4



10. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为 (?1, 2), (3,3), (?3,5),
(1,6) ,则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是



11. 某船在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30? 方向, 它以每小时 30 海里的速度向正北方向航行, 经过 40 分钟航行到 B 处,看灯塔 S 在北偏东 75? 方向,则此时该船到灯塔 S 的距离 约为 海里(精确到 0.01 海里) . 12.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过定点 ( p,0) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,l1 与抛物线

交于 P, Q 两点, l2 与抛物线交于 M , N 两点,设 l1 的斜率为 k .若某同学已正确求得 弦 PQ 的中垂线在 y 轴上的截距为 .
OB 13. 已知向量 OA , 的夹角为 ??? ? ??? ?

2p p ? ,则弦 MN 的中垂线在 y 轴上的截距为 k k3

? ??? ? ??? ???? ? ? π ??? ,OA |? 4 ,OB |? 1 , 若点 M 在直线 OB 上, | OA ? OM | 则 | | 3

的最小值为


? ? ,当 m 为 4022 时,集合 A 的元素个数 ?

(2n ? 1)? ? , n?Z 14.已知集合 A ? ? x x ? cos 2 m ?

为 . 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. ? ? π ”是“函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 是奇函数”的 “ A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
n??





16. 已知数列 {an } 是无穷等比数列, 其前 n 项和是 Sn , a2 ? a3 ? 2 , 3 ? a4 ? 1 , m Sn 若 则il a 的值为 A. ( B. )

2 3

4 3

C.

8 3

D.

16 3

17.已知复数 z 满足 z ? 1 ? 2i ? z ? 2 ? i ? 3 2 (i 是虚数单位) ,若在复平面内复数 z 对 应的点为 Z,则点 Z 的轨迹为 ( ) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.一条射线 D.两条射线 2 3 4 101 2 3 x x x x x x x4 x101 18.已知 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ??? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ??? ? , 2 3 4 101 2 3 4 101 若函数 f ( x) 有唯一零点 x1 ,函数 g ( x) 有唯一零点 x 2 ,则有 A. x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2) C. x1 ? (0,1), x2 ? (0,1) B. x1 ? (?1,0), x2 ? (1,2) D. x1 ? (?1,0), x2 ? (0,1) ( )

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的 编号规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O ,PA 是圆柱的母线, AB ? 6 ,AD ? 8 , 若 此圆柱的体积为 300π ,求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值.
P

A
O

D

20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 某校 10 名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队(简称“科服队”,他们参加 ) 活动的有关数据统计如下: 参加活动次数 人 数 1 2 2 3 3 5

(1)从“科服队”中任选 3 人,求这 3 人参加活动次数各不相同的概率; (2)从“科服队”中任选 2 人,用 ? 表示这 2 人参加活动次数之差的绝对值,求随 机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

21. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. x2 y2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a b

???? ???? ? F1P ? F2 P ? ?6 .
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否 过定点?请说明理由.

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 已知数列 a , b, c 是各项均为正数的等差数列,公差为 d(d ? 0) .在 a, b 之间和 b,c 之间共插入 n 个实数,使得这 n ? 3 个数构成等比数列,其公比为 q.

(1)求证: | q |? 1 ; (2)若 a ? 1, n ? 1 ,求 d 的值; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,且 s , t 都为奇数,试 比较 s 与 t 的大小,并求插入的 n 个数的乘积(用 a, c, n 表示).

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若有常数 M,使得对任意的 x1 ? D ,存在唯一的
x2 ? D 满足等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? M ,则称 M 为函数 y ? f (x)的“均值” 2

(1)判断 1 是否为函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ≤ x ≤ 1) 的“均值” ,请说明理由; (2)若函数 f ( x) ? ax2 ? 2x(1 ? x ? 2, a 为常数)存在“均值” ,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f ( x) 是单调函数,且其值域为区间 I.试探究函数 f ( x) 的“均值”情况(是 否存在、个数、大小等)与区间 I 之间的关系,写出你的结论(不必证明) . 说明:对于(3) ,将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分 .

卢湾区 2011 年高考模拟考试数学试题(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题: (每小题 4 分) 1. [1,3] 6. 2 2 11. 14.14 2. y ? log 2 ( x ? 1) 7. 5 8. 7 3. {x | x ? k ?, k ? Ζ} 9. ? 4. 2 5. ?24

7 25

10. (0, 4) 14. 1006 z

12. ?2 pk ? pk 3

13. 2 3

二.选择题(每小题 5 分) 15.A 16.D 17.C 18.B
P

19.解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 AC , 由矩形 ABCD 内接于圆 O ,可知 AC 是圆 O 的直径, 于是 2r ? AC ? 62 ? 82 ? 10 ,得 r ? 5 , ?????3 分
A
B
O
C

D

y

x

又圆柱的体积 V ? 25? ? PA ? 300? ,可得 PA?12 .??6 分 分别以直线 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标 系 A ? xyz ,可得 AC ? (6,8,0), PB ? (6,0, ?12) ,???8 分 ? ???? ??? 设异面直线 AC 与 PB 所成角所成的角 ? ,向量 AC 与 PB 的夹角为 ? , ???? ??? ? | AC ? PB | 36 3 5 ? 则 cos? ?| cos ? |? ???? ??? ? , ? 25 | AC | ? | PB | 10 ? 6 5 故异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为

??? ?

??? ?

3 5 . 25

????????????12 分

20.解: (1)3 人参加活动次数各不相同的概率为

P?

C1 C1 C1 1 2 3 5 ? 3 C10 4

故这 3 名同学中参加活动次数各不相同的概率为 (2)由题意知: ? ? 0, 1, 2 , 2 2 C2 ? C3 ? C5 14 P(? ? 0) ? 2 ? ; 2 C10 45

1 . ???????????5 分 4

?????7 分 ?????9 分 ?????10 分

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?

C1 C1 ? C1 C1 21 7 2 3 3 5 ? ? ; 2 C10 45 15 C1 C1 10 2 2 5 ? ? . 2 C10 45 9

? 的分布列为 : x 0
P(? ? x)

1

2

14 45

7 15

2 9

?????11 分

所以 ? 的数学期望: E? ? 0 ?

14 7 2 41 . ? 1? ? 2 ? ? 45 15 9 45

?????????13 分

21.解: (1)设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0)(c ? 0) , 则 F1P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1), 故 F1P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ? 1 ? 10 ? c2 ? ?6 ,可得 c ? 4 ,

????

???? ?

???? ???? ?

???????2 分

所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (3 ? 4)2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 ,???????4 分 故 a ? 3 2, b2 ? a2 ? c2 ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 18 2

???????????6 分

(2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m),(5, n) ,则 F1M ? (9, m), F2 N ? (1, n) , 又 F1M ? F2 N ,可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 ,

?????

???? ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???????8 分

m?n |m?n| , ), 半径为 2 2 m?n 2 |m?n| 2 故圆 C 的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? ) ?( ) , 2 2
又圆 C 的圆心为 (5,

即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 , 也就是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 , 令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2, 故圆 C 必过定点 (8,0) 和 (2,0) . ????????13 分 ????????11 分

(另法: (1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解; (2)中可利用圆 C 直径 的两端点直接写出圆 C 的方程) 22.解: (1)由题意知 qn? 2 ? 又 a ? 0, d ? 0 ,可得 qn?2

c , c ? a ? 2d , a c 2d ? ?1? ? 1, a a

????????????2 分

即 | q n? 2 |? 1 ,故 | q |n? 2 ? 1 ,又 n ? 2 是正数,故 | q |? 1 .????????????4 分 (2)由 a , b, c 是首项为 1、公差为 d 的等差数列,故 b ? 1 ? d , c ? 1 ? 2d , 若插入的这一个数位于 a , b 之间,则 1 ? d ? q 2 , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 (1 ? 2d ) 2 ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? d 2 ? d ? 0 ,其正根为 d ? 若插入的这一个数位于 b, c 之间,则 1 ? d ? q , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 1 ? 2d ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? 3d 2 ? d ? 0 ,此方程无正根. 1? 5 故所求公差 d ? . ???????????????9 分 2 (3)由题意得 q s ?1 ?

1? 5 .???7 分 2

b a?d c a ? 2d , qt ?1 ? ? ,又 a ? 0, d ? 0 , ? a a b a?d a ? d a ? 2d d2 a ? d a ? 2d a ? 2d ? ? ? 0 ,可得 故 ,又 ? ?0, a a?d a (a ? d ) a a?d a?d
故 q s ?1 ? qt ?1 ? 0 ,即 | q |s ?1 ?| q |t ?1 .

又 | q |? 1 ,故有 s ? 1 ? t ? 1 ,即 s ? t .

???????????????12 分

设 n ? 3 个数所构成的等比数列为 {a n } ,则 a1 ? a, as ? 2 ? b ? 由 ak an? 4?k ? a1an?3 ? ac(k ? 2,3,4, ?, n ? 2) ,可得

a?c , an?3 ? c , 2

( a 2 a 3 ? an?2 )2 ? (a2 an?2 )(a3an?1 ) ? (an?1a3 )(an?2 a2 ) ? (ac)n?1 , ????????14 分
又 q s ?1 ?

b c ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , a b
n ?1 2

由 s , t 都为奇数,则 q 既可为正数,也可为负数, ①若 q 为正数,则 a2 a 3 ? an ? 2 ? (ac) ,插入 n 个数的乘积为
n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , ? , an ? 2 中共有 故 a 2 a 3 ? an ? 2 ? (?1)
n ( ?1) 2

(ac)

n ?1 2

n ? 1 个负数, 2

,所插入的数的乘积为

所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为

n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

n n ?1 ( ?1) 2 (?1) 2 (ac) 2 . a?c

n ?1 2 (ac) 2 . ???????18 分 a?c b c c (另法:由又 q s ?1 ? ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , qn?2 ? ? 0 a b a 由 s , t 都为奇数,可知 n 是偶数,q 既可为正数也可为负数.

当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ?

a2 a 3 ? an ? 2 ? (aq)(aq 2 )(aq3 ) ? (aq n ?1 ) ? a n ?1q
①若 q 为正数,则 a2 a 3 ? an ? 2 ? a n ?1 (q n ? 2 ) 故插入 n 个数的乘积为
n ?1 2 (ac) 2 ; a?c
n ?1 2

( n ?1)( n ? 2) 2

n ?1 c n ?1 ? a n ?1 ( ) 2 ? (ac) 2 , a

???????15 分

②若 q 为负数,由 n 是偶数,可知 ( n ?1)( n ? 2) 的奇偶性与 2 可得 a2 a 3 ? an ? 2 ? (?1)
n?2 2

(ac)

n ?1 2

n?2 的奇偶性相同, 2



所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为

n ?1 2 (ac) 2 ; a?c n ?1 2 (ac) 2 . ???????18 分) 当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ? a?c

23.解: (1)对任意的 x1 ?[?1,1] ,有 ? x1 ? [?1,1] , 当且仅当 x2 ? ? x1 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 , 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故存在唯一 x2 ?[?1,1] ,满足 ? 1, 2
所以 1 是函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ? x ? 1) 的“均值” . (另法:对任意的 x1 ?[?1,1] ,有 ? x1 ? [?1,1] ,令 x2 ? ? x1 , 则 x2 ?[?1,1] ,且

????????2 分 ????????4 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 , 2 f ( x1 ) ? f ( x2? ) ? 1 ,则有 f ( x2 ) ? f ( x2? ) ,可得 x2 ? x2? , 若 x2? ?[?1,1] ,且 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故存在唯一 x2 ?[?1,1] ,满足 ????????2 分 ? 1, 2
所以 1 是函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ? x ? 1) 的“均值” . ????????4 分)

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?2 x(1 ? x ? 2) 存在“均值” ,且“均值”为 ?3 ;????5 分 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? ax2 ? 2 x(1 ? x ? 2) 存在均值,可知对任意的 x1 , 都有唯一的 x 2 与之对应,从而有 f ( x) ? ax2 ? 2 x(1 ? x ? 2) 单调,

1 1 1 ? 1 或 ? 2 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 或 0 ? a ? , a a 2 1 综上,a 的取值范围是 a ? 或 a ? 1 . 2 1 1 1 (另法:分 a ? 0, ? 1,1 ? ? 2, ? 2 四种情形进行讨论) a a a
故有

????????9 分 ????????10 分

(3)①当 I ? (a, b) 或 [a, b] 时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” .

这时函数 f ( x) 的“均值”为

a?b ; 2

???????12 分

②当 I 为 (??, ??) 时,函数 f ( x) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x) 的“均值” ; ????????14 分

③当 I ? (a, ??) 或 (??, a ) 或 [a, ??) 或 (??, a ] 或 [ a, b) 或 ( a, b] 时, 函数 f ( x) 不存在“均值” . ????????16 分

[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得 6 分;若三种 情况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得 5 分] ①当且仅当 I 形如 ( a, b) 、 [a, b] 其中之一时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” . 这时函数 f ( x) 的“均值”为

a?b ; 2

????????13 分

②当且仅当 I 为 (??, ??) 时,函数 f ( x) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x) 的“均值” ; ????????16 分

③当且仅当 I 形如 (a, ??) 、 (??, a ) 、 [a, ??) 、 (??, a ] 、 [ a, b) 、 ( a, b] 其中之一时, 函数 f ( x) 不存在“均值” . ????????18 分

(另法:①当且仅当 I 为开区间或闭区间时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” .这时函数 f ( x) 的均值为区间 I 两端点的算术平均数; ????????13 分

②当且仅当 I 为 (??, ??) 时,函数 f ( x) 存在无数多个“均值” .这时任意实数均为函数

f ( x) 的“均值” ;

????????16 分

③当且仅当 I 为除去开区间、闭区间与 (??, ??) 之外的其它区间时,函数 f ( x) 不存在 “均值” . ????????18 分)

[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值” ,各扣 1 分]


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