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第15讲 直线、平面垂直的判定及其性质

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第 15 讲
【高考会这样考】

直线、平面垂直的判定及其性质

1.以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定,与命题或充要条件相结合. 2.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能力, 考查转化与化归思想的应用能力. 3.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公理、定理和已获得的结 论,证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题. 【复习指导】 1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考的 热点,是复习的重点.纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过大的题,所以 复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 2.要重视和研究数学思想、数学方法.“化归”思想尤为重要,不论何种“垂直” 都要化归到“线线垂直”,观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 考向一 直线与平面垂直的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥ 平面 ABCD.证明:AD⊥平面 PAC. 1 【训练 1】 如图,已知 BD⊥平面 ABC,MC= BD,AC=BC,N 是 2 棱 AB 的中点.求证:CN⊥AD.

考向二

平面与平面垂直的判定与性质

【例 2】 ?如图所示, 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=

4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD. 【训练 2】 如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD =1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

考向三

平行与垂直关系的综合应用

【例 3】 ?如图, 在四面体 ABCD 中, CB=CD, AD⊥BD, E、 点 F 分别是 AB、BD 的中点.求证:(1)直线 EF∥平面 ACD;(2) 平面 EFC⊥平面 BCD.

【训练 3】 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE;(2)求证:CF⊥平面 BDE.

考向四

线面角

【例 4】?(2012· 无锡模拟)如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD, 点 E 在棱 PB 上.(1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB;(2)当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

【训练 4】 (2012· 丽水质检)如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE,AB 的中 点.(1)证明:PQ∥平面 ACD;(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦

值.


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