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南师附中2008年高考数学模拟试卷(最后一卷)

时间:2011-03-06


★6月1日前绝密

年高考数学模拟试卷(最后一卷) 南师附中 2008 年高考数学模拟试卷(最后一卷)
必做题部分

分钟, (时间 120 分钟,满分 160 分) 填空题:本大题 小题, 请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 一.填空题 本大题 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. ,则 z=__________. 1. 若复数 z 满足 ( 3 ? 3i ) z = 6i (i 是虚数单位)
1 ? ? 2. 已知集合 A = ? y | y = x , x ∈ R ? , B = {y | y = log 2 ( x ? 1), x ∈ R} ,则 A ∩ B = 2 ? ?
3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S n = 2 ? 1 ,则 a7 =
n



.

4. 已知 sin α =

4 3 π ? π? , 其中 α ∈ ? 0, ? ,则 cos(α + ) = 7 3 ? 2?



5. 一组数据中每个数据都减去 80 构成一组新数据,则这组新数据的平均数是 1.2 ,方差是 4.4 ,则原来一组数的方差 为 . 6. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上是增函数.若 f (a ) ≥ f ( 2) ,则实数 a 的取值范围是 7. 函数 f ( x) = x
α 2 ? 2α ? 3

.

(常数 α ∈ Z )为偶函数,且在 (0, +∞ ) 上是单调递减函数,则 α 的值为_________.

8. 从集合 A = {?2, ?1,1, 2,3} 中任取两个元素 m 、 n ( m ≠ n ) ,则方程

x2 y2 + = 1 所对应的曲线表示焦点在 y 轴上 m n

的双曲线的概率是



9. 已知 i, j 为 互相垂直 的单位向 量, a = i ? 2 j , b = i + λ j ,且 a 与 b 的 夹角为锐 角,则实数 λ 的 取值范围 是 ____________. 10.若直线 ax + by = 1 与圆 x + y = 1 相切,则实数 ab 的取值范围是
2 2



11. 定义: 若对定义域 D 上的任意实数 x 都有 f ( x) = 0 , 则称函数 f ( x) 为 D 上的零函数 根据以上定义, f ( x) 是 D 上 零函数. “ 零函数 的零函数或 g ( x) 是 D 上的零函数”为“ f ( x) 与 g ( x) 的积函数是 D 上的零函数”的 条件. 12. 已知 P 为抛物线 y = 4 x 上一点,设 P 到准线的距离为 d 1 , P 到点 A(1,4) 的距离为 d 2 ,则 d 1 + d 2 的最小值为
2

________.
13. 已 知 函 数 f ( x ) = x + (b ? 4 ? a ) x + 2a ? b 是 偶 函 数 , 则 函 数 图 像 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 的 最 大 值
2 2




2 2

14. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ≤ ax + 2 y 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [ 2,3] 恒成立,求 a 的取值范围”提出了

各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是



1

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二.解答题:本大题 6 小题,共 90 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 15.(本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分)
如图,在三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中,四边形 A1 ABB1 为菱形, ∠A1 AB = 60° ,四边形 BCC1 B1 为矩形,若 AB ⊥ BC 且
C C1

AB = 4 , BC = 3
⑴求证:平面 A1CB ⑵求三棱柱 ABC

⊥ 平面 ACB1 ;
B B1

? A1 B1C1 的体积.

A

A1

16. ( 本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分) 已知二次函数 f ( x) = ax + x ,若对任意 x 1 、x 2 ∈R,恒有 2f( R
2

x1 + x2 ) ≤f(x 1 )+f(x 2 )成立,不 2

等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B = {x || x + 4 |< a} ,若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围.

17.( 本大题 15 分,第一小题 7 分,第二小题 8 分) 已知 z1 = 3i, z2 = 3, z3 = sin α + i cos α , α ∈ [0, 2π ) , z1 , z2 , z3 在平面上对应的点 为 A, B, C . (1)若 AC = BC ,求 α 的值; (2)若 AC ? BC = ?1 ,求

2sin 2 α + sin 2α 的值. 1 + tan α

18. ( 本大题 15 分,第一小题 7 分,第二小题 8 分) ⑴在长度为 a 的线段 AB 上任意作一点 C ,求 CB ≤ CA 的概率; ⑵若将长度为 a 的线段截成三段,则三段长能围成一个三角形的概率有多大.

2

19. ( 本大题 16 分,第一小题 5 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分)

x2 y 2 如图,已知椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的焦点和上顶点分别为 F1 、 F2 、 B ,我们称 ?F1 BF2 为椭圆 C 的特征三角 a b
形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,且三角形 的相似比即为椭圆的相似比. (1)已知椭圆 C1 :

x2 x2 y 2 + y 2 = 1 和 C2 : + = 1 ,判断 C2 与 C1 是否 4 16 4 相似,如果相似则求出 C2 与 C1 的相似比,若不相似请说明理由;

(2)写出与椭圆 C1 相似且半短轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程,并列举 相似椭圆之间的三种性质(不需证明) ; (3)已知直线 l : y = x + 1 ,在椭圆 Cb 上是否存在两点 M 、 N 关于直 线 l 对称,若存在,则求出函数 f ( b ) = MN 的解析式.

20. ( 本大题 16 分,第一小题 5 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且满足: a3 ? a4 = 117 , a2 + a5 = 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn =

Sn ,求非零常数 c; n+c

(3)若(2)中的 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 >

64bn (n + 9)bn +1

参考答案:
一.填空题: 1.

?
1

3 3 + i 2 2
8. 4

2. (0,+∞ ) 9.

3. 64

4.

?

11 14

5.

4.4

6.

( ?∞, ?2] ∪ [ 2, +∞ )
12.

7. 13.

3 10
14.

1 (?∞, ?2) ∪ (?2, ) 2

10.

1 1 [? , ] 2 2

11. 充分非必要

4

[?1,+∞)

二.解答题: 15.[解]:⑴略;⑵ VABC ? A1B1C1 = 12 3 . [ 16. 解:(1)对任意 x 1 、x 2 ∈R,由 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ? 2 f ( R

x1 + x 2 1 ) = a( x1 ? x 2 ) 2 ≥0 成立. 2 2

要使上式恒成立,所以 a ≥ 0 。…………………………………………………3 分 由 f(x)=ax 2 +x 是二次函数知 a≠0,故 a>0. ………………………………4 分 解得 A = ( ?

1 ,0) 。……………………………………………………………5 分 a

(2) 解得 B = ( ? a ? 4, a ? 4) ,…………………………………………………6 分 因为集合 B 是集合 A 的子集,所以 a ? 4 ≤ 0 …………………………8 分

3

且? a ? 4 ≥ ?
2

1 ,…………………………………………………………………11 分 a

化简得 a + 4a ? 1 ≤ 0 ,解得 0 < a ≤ ?2 + 5 ………………14 分 17. [解]: (1) BC =

(sin α ? 3)2 + cos 2 α = 10 ? 6sin α ,

AC = (cos α ? 3) 2 + sin 2 α = 10 ? 6 cos α .
由 AC = BC 得 sin α = cos α

5π . ---------7 分 4 4 (2) AC ? BC = (sin α , cos α ? 3) ? (sin α ? 3, cos α ) = ?1 ,得 tgα = 1 ,∵ α ∈ [0,π ) ,∴ α = 2
或α =

π

sin α (sin α ? 3) + cos α (cos α ? 3) = ?1 , 1 ? 3(sin α + cos α ) = ?1 , (sin α + cos α ) = 4 5 , 2 sin α cos α = ? . 9 9 2sin α (sin α + cos α ) 5 = 2 sin α cos α = ? .---------14 分 ∴ 原式 = sin α + cos α 9 cos α 1 1 18. 解: (1) P = (2) P = 2 4
两边平方得 1 + 2 sin α cos α = 19. [解]: (1)椭圆 C2 与 C1 相似.

2 . 3

底边长为 2 3 的等腰三角形, 而椭圆 C1 的特征三角形是腰长为 2, 底边长为 3 因为 C2 的特征三角形是腰长为 4, 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为 2 :1 . ------- 4 分

x2 y2 (2)椭圆 Cb 的方程为: 2 + 2 = 1(b > 0) .------------------------7 分 4b b
两个相似椭圆之间的性质有: 写出一个给 1 分 ① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方; ② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比; ③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合; 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ----10 分 (3)假定存在,则设 M 、 N 所在直线为 y = ? x + t , MN 中点为 ( x0 , y0 ) .

?y = ?x + t ? 则 ? x2 ? 5 x 2 ? 8 xt + 4(t 2 ? b 2 ) = 0 .-------------------12 分 y2 ? 2 + 2 =1 b ? 4b
所以 x 0 =

x1 + x 2 4t t = , y0 = . 2 5 5

中点在直线 y = x + 1 上,所以有 t = ?

5 .-------------16 分 3

4

( x1 ? x2 =

40 2 100 ) ? 20( ? 4b 2 ) 4 25 3 9 5b 2 ? = . 5 5 9

f (b) = MN = 2 x1 ? x2 =

4 50 5 10b 2 ? (b > ) .-------------18 分 5 9 3

20.解: (1) {an } 为等差数列,∵ a3 + a4 = a2 + a5 = 22 ,又 a3 ? a4 = 117 , ∴ a3 , a4 是方程 n ? 22 x + 117 = 0 的两个根
2

又公差 d > 0 ,∴ a3 < a4 ,∴ a3 = 9 , a4 = 13 …………………………………… 2 分 ∴ ?

? a1 + 2d = 9 ?a1 + 3d = 13

∴?

?a1 = 1 ?d = 4

∴ an = 4n ? 3 …………………………………… 4 分

(2)由(1)知, S n = n ? 1 +

n(n ? 1) ? 4 = 2n 2 ? n ………………………………………… 5 分 2

∴ bn = ∴ b1 =

Sn 2n 2 ? n = ……………………………………………………………… 6 分 n+c n+c 1 6 15 , b2 = , b3 = ……………………………………………… 8 分 1+ c 2+c 3+c
2

∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 = b1 + b3 ,∴ 2c + c = 0 …………………………… ∴c = ?

9分

1 ( c = 0 舍去) …………………………………………………………… 10 分 2 2n 2 ? n = 2n ………………………………………………………… 12 分 (3)由(2)得 bn = 1 n? 2 2 2Tn ? 3bn ?1 = 2(n + n) ? 3(2n ? 2) = 2(n ? 1) 2 + 4 ≥ 4 , n = 1 时取等号 ………… 15 分 64bn 64 × 2n 64n 64 = = 2 = ≤ 4 , n = 3 时取等号…17 分 (n + 9)bn +1 (n + 9) ? 2(n + 1) n + 10n + 9 n + 9 + 10 n
(1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 >

64bn ………………… 18 分 (n + 9)bn +1

5


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