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高二数学下学期期末试题 理


高二 A 部周练数学试题(5. 8)
考号 姓名
b 为纯虚数”的( i
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分) 1. 设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 2.已知 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 ( D. 第四象限 (

) ) )

z ? 2 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限

A.第一象限

2 3.已知 ? ? N (0,8 ) 且 P( ?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) 等于

A. 0.1

B. 0.2
2 3

C. 0.3

D. 0.4 ( )

4.由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形面积为 A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

7 12

5. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A, B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法 分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 0.78 82 10 115 6 则哪位同学的试验结果体现 A, B 两变量有更强的线性相关性 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
1

丙 0.69

丁 0.85

r

0.

m

124

103





6. 两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各 人输赢局次的不同视为不同情形)共有( (A) 10 种 (B)15 种 ) (D) 30 种

(C) 20 种

7. 在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一 或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有 A.34 种
7





B.48 种

C.96 种

D.144 种 ( D.第 8 项 )

8. (1 ? x ) 展开式中系数最大的项为 A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 7 项

9.设 15000 件产品中有 1000 件废品,从中抽取 150 件进行检查,查得废品个数的均值为 ( A.20 B.10 C.5 D.15 )

10. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ?? ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范 围是 A. ( , ) ( )

1 3

1 2 3 3

B. [ , )
? 1 2, 则

1 2 3 3

C. ( , )

1 2 2 3

D. [ , ) ( )

1 2 2 3

11. 设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

12. f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 在区间

(0, 6) 内解的个数的最小值是
A.5 B.4 C.3 D.2





二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分) 13. (a ? x) 展开式中 x 的系数为 10, 则实数 a 的值为
5
2

。 , 则

14.



3n?1 n ?6 C23 ? C23 (n ? N ? )



(3 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn

2

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1)n an ?



15.有一批种子的发芽率为 0.9 , 每粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72 , 则在这批种子中, 出芽后的幼苗成活率为 。

16.若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦,M 是二次曲线上异于 A、B 的任一点,且 AM、BM

x2 y2 b2 均与坐标轴不平行,则对于椭圆 2 ? 2 ? 1 有 K AM ? K BM ? ? 2 。类似地,对于 a b a
双曲线

x2 y2 ? ? 1 有 K AM ? K BM = a2 b2



三、解答题(17 题 10 分,其余每小题 12 分) 17.已知函数 f ( x ) ? ( ax ? x ) ln x ?
2

1 2 ax ? x (a ? R ) . 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718? ) (Ⅱ)已知 x ? e 为函数 f ( x ) 的极值点,求函数 f ( x ) 的单调区间。 18.用 0,1,2,3,4 这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数. (1)被 4 整除; (2)比 21034 大的偶数; (3)左起第二、四位是奇数的偶数. 3 3 19.已知在( x- )n 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 x (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 20.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次 性抽取 3 道题独立作答,然后由乙回答剩余 3 道题,每人答对其中 2 题就停止答题,即 为闯关成功。已知 6 道备选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是 (Ⅰ)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (Ⅱ)设乙答对题目的个数为? ,求? 的方差;

2 。 3

3

(Ⅲ)设甲答对题目的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。 21.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一根为 Sn ? 1, n ? 1,2,3,? 。 (Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)猜想数列 {Sn } 的通项公式,并给出严格的证明。 22.已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

1 2 x (a ? R ) 。 (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 a ? 1 2

时,设 g ( x ) ?

f ( x) ?

1 2 x ?1 k 2 ,若 x ? 1 时, g ( x ) ? 恒成立。求整数 k 的最大值。 x x ?1

理科数学(参考答案)
一、选择题。 1~5 BAAAD 二、填空题。 ; 6~10 CCBBA ; 11~12 CB

13. 1; 14. 256 ; 三、解答题。 17.解: (Ⅰ)? a ? 0

15. 0.8 ;

16.

b2 a2



? f ( x) ? ? x ln x ? x
所以直线的斜率 k ? f ?(e) ? ? ln e

? f ?( x) ? ? ln x

f (e) ? ?e ln e ? e ? 0
故所求切线方程为 x ? y ? e ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

(Ⅱ) f ?( x) ? (2ax ? 1)ln x ? ax ? 1 ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)ln x 因为 x ? e 为函数 f ( x ) 的极值点 所以 f ?(e) ? 2ae ? 1 ? 0 解得 a ?

1 (经检验符合题意) 2e
4

1 f ?( x ) ? ( x ? 1) ln x e

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

18.解析:(1)被 4 整除的数,其特征应是末两位数是 4 的倍数,可分两类:当末两位 2 数是 20,40,04 时,其排列数为 3A3 A1 3=18 个,当末两位数是 12,24,32 时,其排列数为 3· 2A2 =12 个,故满足条件的五位数共有 1 2 3A3 3+3A2A2=30 个. (2)法一:可分五类,当末位数是 0,而首位数是 2 时, 2 2 有 A1 2A2+A2=6 个; 当末位数字是 0,而首位数字是 3 或 4 时, 3 有 A1 2A3=12 个; 1 3 当末位数字是 2,而首位数字是 3 或 4 时,有 A2 A3=12 个;当末位数字是 4,而首 2 1 位数字是 2 时,有 A2+A1=3 个;当末位数字是 4,而首位数字是 3 时,有 A3 3=6 个. 1 2 2 1 3 1 3 2 1 3 故有(A2A2+A2)+A2A3+A2A3+A2+A1+A3=39 个. 法二:不大于 21034 的偶数可分为三类: 3 万位数字为 1 的偶数,有 A1 3A3=18 个; 万位数字为 2,而千位数字是 0 的偶数,有 A1 2个; 还有 21034 本身. 而由 0,1,2,3,4 组成的五位偶数有 4 3 3 1 3 1 A4 +A1 2A3A5=60 个.故满足条件的五位偶数共有 60-A3A3-A2-1=39 个. 2 2 1 (3)法一:可分两类,0 是末位数,有 A2A2=4 个,2 或 4 是末位数,有 A2 2A2=4 个.故 2 2 1 共有 A2 2A2+A2A2=8 个. 1 法二:第二、四位从奇数 1,3 中取,有 A2 2;首位从 2,4 中取,有 A2个;余下的排在 2 剩下的两位,有 A2个, 1 2 故共有 A2 2A2A2=8 个. 19.解析:(1)通项公式为 n-r r r n-2r Tr+1=Cr (-3)rx- =Cr . nx n(-3) x 3 3 3 n-2r ∵第 6 项为常数项,∴r=5 时,有 =0, 3 ∴n=10. n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2 ∴所求的系数为 C2 ( - 3)2=405. 10 10-2r ? ? 3 ∈Z (3)根据通项公式,由题意,得? 0≤r≤10. ?r∈N ? 10-2r =k(k∈Z),则 3 3 10-2r=3k,r=5- k. 2 ∵r∈N,∴k 应为偶数. 令
5

故 k 可取-2,0,2,即 r 可取 2,5,8,所以第 3 项、第 6 项、第 9 项为有理项,它们分 别为: 2 5 8 8 -2 C10 (-3)2x2、C5 10(-3) 、C10(-3) x . 20.解: (Ⅰ)设事件 A:甲、乙至少有一人闯关成功

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
2 3

2 1 C2 C4 1 3 128 2 1 2 2 [( ) ? C3 ( ) ]? 3 C6 3 3 3 135

(Ⅱ)由题意? ? (3, ) ,所以 D (? ) ? 3 ? (Ⅲ) ? ? 1, 2

2 1 2 ? ? 3 3 3

P(? ? 1) ?

1 C4 1 ? 3 C6 5 1 2 3 C2 C4 ? C4 4 ? 3 C6 5

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?

1

2

P

1 5

4 5
即 ( Sn ? 1)2 ? an Sn ? 0

21. 解: (Ⅰ) ( Sn ? 1)2 ? an ( Sn ? 1 ? 1) ? 0 令n ?1 令n ? 2

(S1 ? 1 2 ) ? a1 S1 ? 0 解得 a1 ?

1 2 1 6

( S2 ? 1 2 ) ? a2 S2 ? 0 解得 a2 ?
2

(Ⅱ)解法一: Sn ? 2Sn ? 1 ? ( Sn ? Sn?1 )Sn ? 0 化简得 Sn ?

1 2 ? Sn?1
? x ( Sn ?1 ? 1 ? 2x ) ?x

1 Sn ? x ? ?x? 2 ? Sn ?1

2 ? Sn ?1

6

令x ? ?

1 ? 2x 解得 x ? ?1 x

所以 Sn ? 1 ?

Sn ?1 ? 1 2 ? Sn ?1

令 bn ? Sn ? 1, bn?1 ? Sn?1 ? 1 所以 bn ?

bn?1 b ? n?1 2 ? bn?1 ? 1 1 ? bn?1

化简得

1 1 ? ?1 bn bn ?1



1 1 ? ? ?2 b1 S1 ? 1
?1? ? 是以-2 为首项,-1 为公差的等差数列 ? bn ?

所以 ?

所以

1 ? ?n ? 1 bn

得 Sn ?

n n ?1

解法二:猜想 S n ?

n ,下面用数学归纳法证明: n ?1 1 1 (1) 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? ? ,所以当 n ? 1 时猜想成立 2 1?1
(2) 假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时,猜想成立
?

k k ?1 那么当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 Sk ?1 ? ? ? 2 ? Sk 2 ? k (k ? 1) ? 1 k ?1 所以当 n ? k ? 1 时猜想成立。
即 Sk ? 综合(1) 、 (2)可得对于任意的正整数猜想都成立。 22. (1) f ?( x ) ?

a a ? x2 ?x? ( x ? 0) x x

当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0,??) 上单调递减;
7

当 a ? 0 时,当 0 ? x ?

a 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, a ) 上单调递增;

当 x ? a 时, f ?( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 ( a ,??) 上单调递减。 (2) g ( x ) ? 所以 k ?

ln x ? 1 k ? ( x ? 1) x ?1 x

x ln x ? x ? p( x ) x ?1

p?( x ) ?

x ? ln x ? 2 ( x ? 1) 2

p?( x 0 ) ? 0 解得 x0 ? 2 ? ln x0
所以 p( x ) 在 (1, x ? ) 单调递减;在 ( x? ,??) 单调递增 所以 p( x 0 ) ?

x? ( x? ? 2) ? x? ? x ? 所以 k ? x? x? ? 1

因为 p?(4) ? 0 , p?(3) ? 0 ,所以 k 的最大值为 3

8


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