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例说高考数学复习中的由“点”到“线”——对一类椭圆离心率问题的讨论

时间:2010-08-24


3  6

数 学教 学 研 究 

第 2 9卷第 2 期

21 年 2   00 月

例说高考数学复习中的由“ 到“   点” 线" 对一类椭圆离心率问题的讨论 
— —

王 丕春



健 
7 0 5  3

0 0

甘肃 省 兰 州市 第 四 中学

乌 申斯 基 指 出“ 力 就是 形成 系统 的 知  智
识” 如果 没有系统 的知识 , , 就只能 是“ 机械模 

定理 1 若点 P是椭 圆   + 一1“     ( >6 a“
>O上 的一点 , 1F 是 椭 圆的左 、 ) F ,2 右焦点 , 且  /F P 2 o,  ̄ F —9 。则椭圆 的离心率  ≤F . <1   证 明  如 图 1 因 为 P是 椭 圆 上 的 点 , ,  
F ,:   F 是焦点 , 以  所 『 l + f F =2 . PF    2 i P i a   由( ) 得  I。 () 1 

仿 ”“ ,死记硬 背” 只有 对局部 的 、 , 零散 的数学 
知识及数 学思想方 法用 由“ 到 “ 、 以线  点” 线” “

串珠” 的思 想进 行 整合 , 能 使 知识 系统 化 、 才  

结构化 、 网络 化. 能用“ 高临下 ” 才 居 的观点 审 
视高考数学 复习 , 你在高 考数学 复习 中, 让 思  路的产生 , 是“ 面玲珑 ” 会 八 的顺畅 , 方法的形  成会是“ 绵绵 不绝 ” 的通 达 , 问题 的解决 , 会是 

“ 易如反掌 ” 的轻 松. 面笔 者 用 对一 类 椭 圆 下   离 心率 问题 的讨 论 , 例说 如 何 构建 数学 知 识 

  1 I F  十2 P , l F + I F  =4   P l   I F lP 2   2。 a ,       l P I 在 R △F  2 , t 1 PF 中  

体系, 使高考数 学复 习有章 可循 , 少走 弯路.  
2   .  2

  I I 2。 1   2。 I 。 PF  +     一   F    PF 1 F I
= ( c = 4 。  2) c,

题目

设 P是 椭 圆  + : l “ 6   ( > > 
a  o 

故  f F。 ·} 2 一2 a 一c )   P f PF  f (  。.  

() 2 

O 上的一点 , , 。 椭 圆的 左 、 ) F。F 是 右焦 点 , 且 
P ,   1 。 一 PF F 一 7 。求 椭 圆 的  F F 一 5,   2   5,

由( ) ( ) 根据 韦 达 定理 逆定 理 知 , 1和 2 ,   I F I I F  方程      , P z是 P   I
2 一 2 z+ 2 d 一 f ) 0 。 a (。   =  

离心率 e 的值.  
分 析  如 图 l所 示 ,  
P  

的 两 根 , L=4 。 (  C) 0 即 X a 一8 a - 。 ≥ .  

设 J   2 : 2 ,J F。 一   F  F J c   {   P


l F 一t,   2 P 1 2 因为 三角 形 
图 l  

所 ()扣     以詈 ≥ ≥ .  
又椭 圆的离心 率小 于 l故  ≤P . , <1  

P   。是 直 角 三 角 形 , FF 所 
以 

t— I l 2s   PF F , l F F  i   ln 2l   t一 f l 2s   PF  2 2 F    i F fn   1 . F 

推论  若 点 P是 椭 圆x  y — ln    T Z ( >6 z
>O 上 的一点 ,   F 是椭 圆的左 、 ) F ,。 右焦 点 , e   是离心 率 , OP 的倾 斜 角 为 口 且  F P 2 设 , 1 F 
—9 。则 0 i 口 I O , <s  ≤ . n   证 明  如 图 l 因为 △ F P  是 直角 三  ,  F
角形 , 以 I P I   所    一 o , I     一2 , 设   F } f F  

由椭 圆的定 义得 
t + t= 2   I 2 a,

即  J i 2s   P z i F F  i   l n F F 
+ ll 2s   P l 2 F F  i In   F F 
— 2 ( i  5 + sn l o 一 2   c sn 7 。 i    ) a,
一  

n  

c    0 s n 1 。 3 os 1   i 5  +  ~  

一 3‘ .  

即 1 Pl . P点 坐标 为(  ) 则  O =C设 z, ,
X= C O C S口, =c i  , v=: sn  

下 面对这 一类问题一般化 给出两个定理.  

第 2 卷 第 2期  2 l 9 6 d年 2月  

数 学 教 学 研 究 

由点 P在椭 圆 十  一l ,   上 得 
b f C S a n C sn 口 口 b . 。  O 。 + 。   i 0 = 0   

—10, 椭 圆的 离心 率 的取僵 范围. 2  求  

解  由定理 2 因为  F P 2: 2 ̄所以  ,   F = 10, : 因为 C S a 一s 。 , 理得  O  一1 i 口 整 n
C (  - b ) i  口一 b (  — c ), 。 “ -   sn  “ —。  
. ,  一

L PF1Fz +  PF2F 1 L —
— —




















3 。  0 ,

b  。
 

COS — — — — — — ■   — — — — 一

P   2r P 2   0   FFj   F FL 3  
 

'  

’  



3。 0< 

生  

<3。 o
,  



a O 7 , 以  ∈[ , ) 所 【
. 

6  n2 f  0 一 2

s  一 一丁 i   n
:   一   一  

 
即 

<cs o  
≤  1 < .  

坠  

≤l

,  

2  

2  

由定 理 l 得  ≤P l 所 以 o i ≤ 1 < , <s a . n  

例 2 如 图 2    ,

已知 椭 圆X 十    2 2

定 理 2 若 点 P为椭 圆x       2

y2



 

T  

=1n 6 (>  

l n > O 的左 右  ( >6 )

>O 上 一 点 , , 。是 椭 圆 的左 、 焦 点 , ) F。 F 右   为离心率 . 若  P 1 z , P 2   1则 e FF    —a  F F 一. 9 ,  
COS — —  。  

焦 点 F。 F , 该  , 2过
椭 圆 中  O 的 半 弦 

图 2  

口+ 

端点 P 在  轴上 的射 影为椭 圆 的左焦点 F ,    若  PF F 一3 。求 O 的斜 率 矗 的值 . 2   0, P    

CO S —   J-  

口一 8   ’

证明
证 明  如 图 1 设 I 1   一2 , ,   F l c 由椭 圆定  F

设 k 一 忌 则 OP 的直 线 方 程 为    ,
f  一 点 ,    

义 , } F i , 2 一2 , 得 J   十i)   a 因为  ) FI
f   2  c 2  c

Y x联立方程{ 十  22 ,解得z 一 —k , z .   1. 2£ —      l —
L   a D  ‘

一 :   = =  
由正弦定理 , 得 

『F =丽

‘  


n b    0

b—-—一‘ —Ja—2 2—— k   - 2 —

I F 一2 i , P 2 一2 i , P l l Rs n i F   Rs l n口 

因为点 P 在 z轴 上 的 射 影 为椭 圆 的焦 

I 。 2=2 s [ -(+  ]   F  = R i n 口 )  F l= n
一2 i a Rsn( + )   ,
一  

点 以22 c  等 ,   , z c 2 军  得 所 一, 一 即 解
k一 竺  : z :  
由定 理 2得 ,  
矗一 一 - C a 2 z


2  (

2 i ( +B  Rsn a )


一  



. 


i 。 n(  

一— (i a if 2 s  +s  ) R n — n1  
2 i  sn … s  
一  

9 。 30   0上 。
CO S -

s  +s    2 i i a i f sn n nl  
口- 8 F  一
COS 
口一   ‘  

… s  

一  —
o  —

 

一      亨· 一 一 一一 . ÷   


3  

综上 , 在高考 数学 复 习 过程 中 , 只有从 学  生 的实 际出发 ,由薄 到厚” 由厚 到薄 ” “ 再“ 的构  建“ 知框 架 ” 才 能 使学 生 运 用 知 识 不再 是  认 ,

COS —   』   =

思路的产生不 再是“ 坐井观天 ” .   例 已 P 椭薯  1 6 “ l 知 是 圆 + =n > 画地为牢”,   (   > 0 上 一点 ,   F 是 椭 圆的焦 点 , ) F ,z 若  F P 2 。 F 
( 稿 日期 :0 9 1 —5  收 20 — 11 )


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