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北京市东城区2015届高三上学期期末教学统一检测数学(理)试题


东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)

第一部分(选择题
(1)已知集合 A ? {0,1} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A (A) {0,1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限
2

共 40 分)

r />
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

B?

(B) {0,1, 2} (D) {x | 0 ? x ? 2}

i 对应的点位于 1+ i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)设 a ? R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 等于 (A) 12 (C) 22 (B) 18 (D) 44
开始
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(5)当 n ? 4 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 (A) 6 (B) 8 (C) 14 (D) 30

输入

n

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k
k ? n?
否 输出 S 是

S

?log 1 x, x ? 0, 1 ? 3 (6)已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (a ) ? ,则实数 a 的取值范围是 2 x ? ? 2 , x ? 0,
(A) (?1,0)

结束

( 3, ??)

(B) (?1, 3)

1

(C) (?1, 0)

(

3 , ??) 3

(D) ( ?1,

3 ) 3

( 7 )在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标为分别为 (0, 0, 2) , (2, 2, 0) , (0, 2, 0) ,

(2, 2, 2) .画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上.若存在圆 C 上的点 Q , 使得 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围是 (A) [0,1] (B) [0,

8 ] 5

(C) [ ?

1 ,1] 2

(D) [ ? 共 110 分)

1 8 , ] 2 5

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

(9)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为 1 ,则该抛物线的方程为 .
[来源:Zxxk.Com]

? x ? y ? 1 ? 0, ? (10)若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 3x ? y 的最大值为_______. ? x ? 3, ?
(11)在△ ABC 中, a ? 3 , b ? 13 , B ? 60 ,则 c ? _______. (12)已知向量 a , b 不共线,若( ? a ? b )∥( a ? 2b ) ,则实数 ? ? _______. (13)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若 f (1) ? 1 , 则 f (8) ? f (9) ? . ;△ ABC 的面积为

2

(14)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,

PD ? AD ? 2 , M , N 分别为线段 AC 上的点.若 ?MBN ? 30? ,则三棱锥

M ? PNB 体积的最小值为

.
P

D M A N B

C

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ) 部分图象如图所示. 2

? 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6
y
1

? [0, ] 上的最大值和最小值. 2

?? 3

o
?1

?? 12

x

3

(16) (本小题共 13 分) 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ,满 足 a2 ? 3 , a5 ? 6 , 数 列 {bn ? 2an }是 公 比 为 3 等 比 数 列 , 且

b2 ? 2a2 ? 9 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(17) (本小题共 14 分) 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 , M 为 PB 的中 点. (Ⅰ) 求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求

PD 的值. PC
C

A M P

D B

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ?

2 2 , g ( x) ? ?2a ln x ? ,其中 a ? R . x x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x ? [ , e ] ,使得不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围.
2

1 e

4

(19) (本小题共 13 分)

[来源:学科网 ZXXK]

已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 长轴上的 一个动点,过 P 作斜率为

3 . 2

1 的直 线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,求证: 2

| PA |2 ? | PB |2 为定值.
[来源:学科网]

(20) (本小题共 13 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) ,定义“ T 变换 ” : T 将数列 A 变换成数列 B : b1 , b2 , b3 ,其 中 bi ?| ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) ,且 b3 ? | a3 ? a1 | .继续对数列 B 进行“ T 变换” ,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此 类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问数列 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的各数 列;若不能,说明理由; (Ⅱ)设数列 A : a1, a2 , a3 ,对数列 A 进行“ T 变换” ,得到数列 B : b, 2, a (a ? b) ,若数列 B 的各项之和 为 2014 ,求 a , b 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值,并 说明理由.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

[来源:Zxxk.Com]

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