nbhkdz.com冰点文库

全国高考文科数学立体几何综合题型汇总

时间:2015-12-29


新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 A E B F C 证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ? 同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 ° G H D

1 BD 2

1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1) A E

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?
B

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE

C

又∵ CE ? DE ? E

D

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

考点:线面垂直,面面垂直的判定

E 是 AA1 的中点, 3、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE 。 求证: AC 1 // 平面
证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 B1 A
1

D1

E

C
1

A

D

BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面
B

BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
考点:线面平行的判定 4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
?

C

证明:∵?ACB ? 90 °

? BC ? AC ? S A? B C 又 SA ? 面 ABC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD
A

S

D B C

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设

D1 A1 D O A B B1

C1

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

1

∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

C

又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C 1 ? B 1 D ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 , ?B D ? 面 A C C 又 即A1 C? B 1 1 1 1 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1 1 1 1 1 1 同理可证 , 又 ? 面 AB1D1 ? AC 1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定

6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

考点:线面垂直的判定 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形) 8、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ? A1 E D A D1 B1 F G B C C1

2 AC , 2

?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD
证明:取 CD 的中点 G ,连结 EG, FG ,∵ E , F 分别为 AD, BC 的中点,∴ EG

// 1 AC ?
2

// 1 BD ,又 AC ? BD, ∴ FG ? 1 AC ,∴在 ?EFG 中, EG 2 ? FG 2 ? 1 AC 2 ? EF 2 FG ? 2 2 2 ? ∴ EG ? FG ,∴ BD ? AC ,又 ?BDC ? 90 ,即 BD ? CD , AC ? CD ? C ∴ BD ? 平面 ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形 9 、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,

AN ? 3NB P ? (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。 证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点, M ∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴ MQ ? 平面 PAB A ? P B ,∴ C ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 , 取 AB 的中点 D , 连结 PD , ∵P A PD ? AB ,又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND N ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB B 1 ? ( 2 )∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ? AB ? 2 ,∴ QN ? 1 ,∵ MQ ? 平面 PAB . ∴ MQ ? NQ ,且 2 1 MQ ? BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2
[来源:学§科§网]

考点:三垂线定理

E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥ 10、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
平面 BDG . 证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E , 平面 D EF ∥平面 BDG ? 1
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

E 是 AA1 的中点. 11、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥ EO

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1
(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A AC ? ? 1 1

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 12、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.
2 2 2 证明:在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 13 、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
0 0

且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG

且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45
0

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 14、如图 1,在正方体 ABCD ? A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1
证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A 1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 . 1
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4


A1M 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中,

9 2 2 2 2 a . ∵ AO , ∴A O O ? M ? MO ? A1M 1 1 4

∵OM∩DB=O,∴ AO 1 ⊥平面 MBD. 考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF ? DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 考点:线面垂直的判定


赞助商链接

高考文科数学试题分类汇编—立体几何

高考文科数学试题分类汇编—立体几何_高考_高中教育_...3 3. 【高考全国文 8】 已知正四棱柱 ABCD ? ...体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型. ...

2015年高考文科数学立体几何试题汇编

2015年高考文科数学立体几何试题汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。P 为对角...(全国新课标 15)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 半径的球的表面积为___...

高考文科数学立体几何题型与方法

高考文科数学立体几何题型与方法_数学_高中教育_教育专区。高考文科数学立体几何题型与方法一、考点回顾 1.平面 (1)平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点...

高考文科数学立体几何题型与方法

彼扬教育 超越极限 超越自我 专题六:高考文科数学立体几何题型与方法(文科) 专题六:高考文科数学立体几何题型与方法(文科)一、考点回顾 1.平面 .(1)平面的基本...

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:立体几何

2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:立体几何_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:立体几何_...

北京文科高考立体几何大题题型总结

北京文科高考立体几何大题题型总结_数学_高中教育_教育专区。立体几何复习一、点、直线、平面之间的关系 (一) 、立体几何网络图:⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵⑶⑾...

立体几何-2017年全国各地高考文科数学试题分类汇编(解...

立体几何-2017年全国各地高考文科数学试题分类汇编(解析)[1] - 2017 高考立体几何汇编 1.【2017 课标 1,文 6】如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两...

全国统一高考数学试卷(文科) 立体几何

全国统一高考数学试卷(文科) 立体几何 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 全国统一高考数学试卷(文科) 19. 如图,直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, D , ...

2018数学高考二轮复习题型练6大题专项立体几何综合问题...

2018数学高考二轮复习题型练6大题专项立体几何综合问题检测 - 数学 题型练 6 1. 大题专项(四)立体几何综合问题 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90...

2013年高考文科数学立体几何试题汇编

2013年高考文科数学立体几何试题汇编_高考_高中教育_教育专区。2013 年高考文科数学...(全国新课标 15)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 半径的球的表面积为___...