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课题:双曲线

时间:2014-07-25


课题:双曲线 【知识点分析】 【考纲全景透析】 1.双曲线的定义 (1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件: ①与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a. ②2a<F1F2。 (2)上述双曲线的焦点是 F1 , F2 ,焦距是| F1 F2 |。 注:当 2a=| F1 F2 |时,动点的轨迹是两条射线;当 2a﹥| F1 F2 |时,动点的轨迹不

存在;当 2a=0 时,动点的轨迹是线段 F1 F2 的中垂线。 2.双曲线的标准方程和几何性质

注:离心率越大,双曲线的“开口”越大。 3.等轴双曲线
2 2 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x ? y ? ?(? ? 0) ,离心率



渐近线方程为
1

【热点难点全析】 (一)双曲线的定义与标准方程 1.在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值” ,弄清是指整条双曲线, 还是双曲线的哪一支。 2.求双曲线标准方程的方法 (1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应 a、b、c 即可求得方程; (2)待定系数法
2 2 注:若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为: mx ? ny ? 1(mn ? 0) 。

※例题解析※
2 2 2 2 〖例〗已知动圆 M 与圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 2 外切,与圆 C2 : ( x ? 4) ? y ? 2 内切,求动圆圆心 M

的轨迹方程。 思路解析:利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出 M 点满足的几何条件,结合双曲 线定义求解。

(二)双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” (两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端 点) , “四线” (两条对称轴、两条渐近线) , “两形” (中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系。 2.在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程。同时要熟练掌 握以下三方面内容: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线; (2)求已知渐近线的双曲线的方程; (3)渐近线的斜率与离心率的关系。



k?

b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e2 ? 1 2 a a a

※例题解析※ 〖例〗中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1 , F2 ,且 | F1F2 |? 2 13 , 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4,离心率之比为 3:7。 (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos ?F1PF2 的值。
2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 2 2 b2 思路解析:设椭圆方程为 a ,双曲线方程为 m n →分别求

a,b,m,n 的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得 cos ?F1PF2 。

(三)直线与双曲线的位置关系 〖例〗 (1)求直线 y ? x ? 1 被双曲线 (2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线
x2 ? y2 ?1 4 截得的弦长; y2 ?1 4 截得的弦中点轨迹方程

x2 ?

? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? 2 2 ? 2 解 析:由 ? y ? x ? 1 得 4x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*)
2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有

得,

d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

(2)设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P( x, y) ,则
2 2 ? ?4 x1 ? y1 ? 4 ? 2 2 ? ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,

y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? x ? x y1 ? y2 , 1 2 ∴

y 4x ? 即 x y ?1 ,

2 2 即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分)

【高考零距离】 1. (2012?辽宁高考文科?T15)已知双曲线 x2

?

y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲

线上一点,若 P F1⊥PF2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【解题指南】利用双曲线定义得
2 PF 1 ? PF2 ? F 1F2 ? (2c) 2 2 2

PF1 ? PF2 ? 2a,

利 用 已 知 条 件 PF1 ? PF2 , 由 勾 股 定 理 得

,即可解得

PF1 , PF2

2. (2012?新课标全国高考文科?T10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛 物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ) (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8

【解题指南】注意到双曲线为等轴双曲线,可先设出曲线 C 的方程,然后利用|AB|的长及抛物 线的准线方程,提取出 A、B 两点的坐标,代入所设的曲线 C 方程,可求得曲线 C 的方程,最
3

后求得实轴长。
x2 y2 ? 2 ?1 3 (2012?江苏高考数学?T8)面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m m ? 4 的离心率为 5 ,

则 m 的值为 【解题指南】应从焦点的位置入手,确定长半轴长。
x2 y 2 ? ?1 2 5 4. (2012?福建高考文科?T 5)已知双曲线 a 的右焦点为 (3, 0) ,则该双曲线的离心

率等于( )
3 14 A. 14 3 2 B. 4
3 C. 2 4 D. 3

【解题指南】对于双曲线的标准方程,只须注意到 c 最大,同时也满足一个平方关系式即可,
e? c a

同时明确离心率

2 2 5. (2011?安徽高考理科?T2)双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是

(A)2

(B) 2 2

(C)4

(D) 4 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 6. (2011?山东高考理科?T 8)已知双曲线 a b (a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:

x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为
x2 y 2 ? ?1 (A) 5 4 x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5 x2 y 2 ? ?1 (C) 3 6 x2 y 2 ? ?1 3 (D) 6

【思路点拨】先求出圆 C 的圆心坐标(3,0) ,半径 r=2,再求出渐近线方程,由圆心到渐近线 的距离等于半径即可得到 a,b 的关系,再由双曲线的右焦点为圆 C 的圆心知 c=2,即可求 【考点提升训练】 一、选择题
y2 x 2 ? 2 2 b =1 的一个焦点与抛物线 x2=4y 的焦点重合,且双曲线的 1.(2012?福州模拟)已知双曲线 a

实轴长是虚轴长的一半,则该双曲线的方程为( )
5 (A)5y2- 4 x2=1

x 2 y2 ? 4 =1 (B) 5

y2 x 2 ? 4 =1 (C) 5

5 2 y (D)5x2- 4 =1

x2 2.(2012 ? 沈 阳 模 拟 ) 双 曲 线 n -y2=1(n > 1) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2,P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足

|PF1|+|PF2|= 2 n ? 2 ,则△PF1F2 的面积为(

)
4

1 (A) 2

(B)1

(C)2

(D)4

3.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为( (A) 2 (B) 3 )
3 ?1 (C) 2 5 ?1 (D) 2

x 2 y2 4.(预测题)已知双曲线 25 - 9 =1 的左支上一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是线段 MF2 的中

点,O 是坐标原点,则|ON|等于(

)
2 (D) 3

(A)4

(B)2

(C)1

5.(2012?哈尔滨模拟)已知双曲线的右焦点为 F,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 A, 过 A 作 x 轴的垂线,B 为垂足,且 OF = 3OB (O 为原点) ,则此双曲线的离心率为( (A) 2 (B) 3
3 (D) 2

)

(C)2

x 2 y2 2 2 6.设 F1、F2 分别为双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满

足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( (A)3x±4y=0 (C)4x±3y=0 二、填空题 (B)3x±5y=0 (D)5x±4y=0

)

x 2 y2 ? 2 2 b =1 的左、 右焦点.若双曲线上存在点 A,使 7.(2012?厦门模拟)设 F1、F2 分别是双曲线 a

∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|, 则双曲线离心率为_________.
y2 8.P 为双曲线 x2- 15 =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和 (x-4)2+y2=1 上的点,则

|PM|-|PN|的最大值为_______. 9.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若| PA |-| PB |=k,
1 则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 OP = 2

( OA + OB ),则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离

5

x 2 y2 x2 心率;④双曲线 25 - 9 =1 与椭圆 35 +y2=1 有相同的焦点.

其 中真命题的序号为_______(写出所有真命题的序号). 三、解答题
x2 y2 2 2 10.点 P 是以 F1,F2 为焦点的双曲线 E: a - b =1(a>0,b>0)上的一点,已知 PF1⊥PF2,

|PF1|=2|PF2|,O 为坐标原点. (1)求双曲线的离心率 e; (2)过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1,P2 两点,且 OP1 ? OP2 =
- 27 4 , 2PP1 +

PP2 = 0 ,求双曲线 E 的方程.

x2 y2 2 2 11.(易错题)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: a - b =1(a>0,b>0)相交于 B、D 两点,且

BD 的中点为 M(1,3). (1)求 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|?|BF|= 17,求证:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

6

答案解析
y2 x 2 ? 2 2 b =1 的一个焦点与 x2=4y 的焦点重合知 c=1,又 b=2a 故 a2+b2=5a2=1, 1.【解析】选 A.由 a
1 4 5 ∴a2= 5 ,b2= 5 .∴所求双曲线方程为 5y2- 4 x2=1,选 A.

? ? PF1 ? PF2 ? 2 n ? ? PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , 2.【解析】选 B.不妨设点 P 在双曲线的右支上,则 ?
∴|PF1|= n ? 2 ? n ,|PF2|= n ? 2 ? n ,又 c= n ? 1 , ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴∠F1PF2=90°,



S PF1F2

1 PF1 PF2 =2 =1.

x2 2 3.【解析】选 D.因为焦点在 x 轴上与焦点在 y 轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为 a y2 b ? 2 - b =1(a>0,b>0) ,则双曲线的渐近线的斜率 k= a ,一个焦点坐标为 F(c,0),一个虚轴的端点

7

b b b (? ) c 为 B(0,b),所以 kFB= c ,又因为直线 FB 与双曲线的一条渐近线垂直,所以 k?kFB= a ?
b 1? 5 =-1( a 显然不符合),即 b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2 -ac=0,即 e2-e-1=0,解得 e= 2 (负值 ?

舍去). 4.【解析】选 A.设双曲线的左焦点为 F1,由双曲线的定义知:
1 而|ON|= 2 |MF1|=4.

|MF2|-|MF1|=10,

又因为|MF2|=18,所以|MF1|=8,

5.【解题指南】解答本题的关键是求出点 A 的横坐标,可先设出双曲线方程、焦点 F 的坐标, 求出直线 FA 的方程从而联立方程组求 A 的坐标.
x 2 y2 b 2 2 【解析】选 B.不妨设双曲线方程为 a - b =1(a>0,b>0),渐近线方程为 y= a x,F(c,0),
a 则直线 FA 的方程为 y= b (x-c), ?

b ? a2 ? y? x x? ? ? ? ? a c ? ? ?y ? ? a ? x ? c? ? y ? ab b ? c , ? 由? ,得 ?

a2 3a 2 ∴ OB =( c ,0),由 OF =3 OB 得 c= c ,

c2 2 ∴ a =e2=3,

∴e= 3 .

6.【解析】选 C. 设 PF1 的中点为 M,因为|PF2|=|F1F2|, 在直角三角形 F1F2M 中, 故|PF1|=4b, |F1M|= 所以 F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a, =2b,

(2c) 2 ? (2a) 2

根据双曲线的定义得 4b-2c=2a,即 2b-c=a,

因为 c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,即 3b2-4ab=0,即 3b=4a,
4 x 故双曲线的渐近线方程是 y= 3 ,即 4x±3y=0. ?

7.【解析】由双曲线的性质可知

? |AF | 1 ? AF 2 ? 2 AF 2 ? 2a ? ? 2 2 2 2 ? ? AF1 ? AF2 ? 10 AF2 ? 4c
c2 10 c 10 10 = ? 2 4 ,∴e= a 2 .答案: 2 ∴10a2=4c2,∴ a

8. 【解析】双曲线的两个焦点 F1(-4,0) 、 F2(4,0) 分别为两个圆的圆心,两圆的半径分别为 r1=2,r2=1.由题意得
8

|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1) =|PF1|-|PF2|+3=5.答案:5 9.【解析】①错误,当 k>0 且 k<|AB|,表示以 A、B 为焦点的双曲线的一支; 当 k>0 且 k=|AB|时表示一条射线;当 k>0 且 k>|AB|时,不表示任何图形;当 k<0 时,类似 同上.②错误,P 是 AB 中点,且 P 到圆心与 A 的距离的平方和为定值.故 P 的轨迹应为
1 圆.③方程两根为 2 和 2,可以作为椭圆和双曲线的离心率,故正确.④由标准方程易求双曲线和

椭圆的焦点坐标都为(± 34 ,0),故正确.答案:③④ 10.【解析】(1)∵|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. ∵PF1⊥PF2,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,即 5a2=c2,∴e= 5 .
x 2 y2 2 2 (2)由(1)知双曲线的方程可设为 a - 4a =1,渐近线方程为 y=±2x.

设 P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y), ∵ OP1 ? OP2 =-3x1 x2=
- 27 9 4 ? x1x2= 4 ,

2x +x ? x= 1 2 ? ? 3 ? 2(2x (2x1+x 2 )2 (2x1-x 2 )2 1-x 2 ) ? y= 3 ? 9a 2 9a 2 ∵2 PP1 + PP2 = 0 ? ? ∵点 P 在双曲线上,∴ - =1,
9a 2 9a 2 x2 y2 9 化简得 x1x2= 8 ,∴ 8 = 4 ? a2=2,∴双曲线方程为 2 - 8 =1.

11.【解析】(1)由题意知,l 的方程为 y=x+2. 代入 C 的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.
4a 2 4a 2+a 2 b 2 - 2 2 2 2 b -a , ① 设 B(x1,y1)、D(x2,y2),则 x1+x2= b -a ,x1?x2= 4a 2 x1+x 2 1 2 2 由 M(1,3)为 BD 的中点知 2 =1,故 2 ? b -a =1,即 b2=3a2, ②
c 故 c= a +b =2a,所以 C 的离心率 e= a =2.
2 2

(2)由①②知,C 的方程为:3x2-y2=3a2,
4+ 3a 2 - 2 <0, A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1?x2=

故不妨设 x1≤-a,x2≥a.
9

|BF|= |FD|=

(x1 ? 2a) 2 ? y12

= =

(x1 ? 2a) 2 ? 3x12 ? 3a 2
(x 2 ? 2a)2 ? 3x 2 2 ? 3a 2

=a-2x1, =2x2-a,

(x 2 ? 2a) 2 ? y 2 2

|BF|?|FD|=(a-2x1)(2x2-a) =-4x1x2+2a(x1+x2)-a2 =5a2+4a+8. 又|BF|?|FD|=17,故 5a2+4a+8=17,
- 9 5 (舍去).

解得 a=1 或 a=

故|BD|= 2 |x1-x2|= 2 ?

? x1 ? x 2 ?

2

? 4x1x 2

=6.

连接 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而|MA|=|MB|=|MD|,且 MA⊥x 轴, 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切. 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

10


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