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数学直觉思维的一些思考


2014年

第53卷

第8期

数学通报

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数学直觉思维的一些思考
杨鹤云
(江苏省泰州中学225300)

数学教育的核心,是培养学生的数学思维能力. 大多数教师对培养学生的理性精神、逻辑思维能力 都有充分认识,也有很好的做法,

但对直觉思维能力 的认识和研究相对薄弱.其实,直觉思维对学好数 学、发展学生智力、培育创新型人才起着巨大的作 用,越来越受到广大教师的关注.本文就直觉思维从 哲学思想的角度谈几点肤浅的认识及做法.


度的数学对象为基础的.与此相应,数学直觉也是 由低到高地建构和发展的,较高层次的数学直觉 是对相对具体的数学对象及其性质的直接洞察. 为提高学生的数学直觉思维能力,教学中应培养 学生对数式、图形、命题及其关系结构的敏感性、 感悟力,并在长期学习中发展不同层次的数学直 觉判断力. 吸收现代认识论、认知科学的一些新观点、新 理论,有助于重新理解数学直觉思维并加以有效 培养.皮亚杰创立“发生认识论”,运用心理学乃至 生物学的成果研究认识的发生发展过程.而根据 现代认知科学,从认识的发生及其内在机制来看, 直觉作为一种特殊的认识形式,也是建构于相应 的知识表征之上的.以色列学者费施拜因在其专 著《数学和科学中的直觉:从教育的角度看》中写 道:“数学认识活动的一个重要内容,即是要发展 相应的直觉(直觉的表征或解释).”[23知识的内在 表征具有多元形式,认识主体借此可以从多角度、 多方面直觉地理解数学知识.知识的多元表征往 往表示不同的意义,导致不同的直觉效果和认知 难度;而不同的认识主体,其思维往往倾向于某种 类型的直觉敏感性,因而知识的不同表征之间经 常需要转化,以求简单明晰,易于理解.个体认知 需要根据自身特点建立不同的知识表征或解释, 以便迅捷、直接地获得对数学对象的清楚明了的 直觉认识.我国学者喻平教授和外国学者Kap— lan,Simon的研究表明:问题表征伴随着解题过 程,问题解决过程中顿悟现象的出现,与被试者找 到适宜的问题表征方式颇为相关.[31

数学直觉思维的形成过程符合认识发展规律 所谓数学直觉思维就是人脑对数学对象及其

结构关系一种迅速的判断与直接的领悟.所谓迅 速的判断就是人脑对于数学对象及其规律性关系 的敏捷的洞察、直接的理解与综合的判断,而直接 的领悟是指与普通逻辑推理相区别的悟性,直接 触及数学对象的本质.[13 直觉判断与直觉想象来源于丰富学识和经 验,是数学的洞察力和感悟力的表现形式,它是以 实践为基础的,事实上,一个数学文盲就不可能产 生数学上直觉判断与想象,这符合哲学中认识事 物的一般规律.数学发展过程本身就是人的认识 不断发展的过程,受数学知识、实践条件、认知水 平、心理因素等内在和外在条件的限制,数学直觉 思维的产生,自然也需要一定的条件和孕育的过 程,人们不可能在认识之初就对事物洞察无遗. 数学教学中培养学生的直觉思维能力,首先要充 分认识学生的思维过程是有着由表及里、由浅入 深的内在发展规律和由低到高、从单一判断到综 合判断的发展过程,为直觉思维的形成创造条件. 数学直觉因数学对象的本性,而有着独特的 内涵.数学认识的对象是量化模式和空间形式,具 有很强的抽象性,较高层次的抽象是以较低抽象

笔者在高三复习研讨课——平面向量的应

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的分子与分母同除以Y,可减少分类讨论的麻烦. 直觉判断六:“的形式与点到直线距离公式

{z一面+2<o,则弓鬻的取值范围为 仁z泌,则器……
Vz

相类似,联想到点到直线的距离公式.设经过区域



【y≥0




≠些几何意义为平面上定点Q(1,一√亨)到

I,

中点(n,6)所在的直线OP方程为:6z—ay=0,

留心观察目标式“=≠兽的结构,通过
^J

√口‘+b‘



直线如一ay=0的距离. 以上直觉判断一、二、六主要是借助于已知不 等式组或目标代数式的图形表征(知识的表象表 征),直觉判断三、四、五则主要利用数式的结构特 征和转化,用单变量函数取值的变化表征代数式 “的取值情况. 需要指出的是,个体的知识表征或解释作为 内在认知结构的一部分,不具有认识论意义上绝 对的可靠性和客观性,但这是通往客观知识与自 然法则的可能途径.而数学直觉思维活动,则借助 适合主体认知结构的、具有数学意义的表征,进行 敏锐的观察感悟,能够生动、具体、直接地洞察到 较为明晰可靠的知识. 2直觉思维与逻辑思维是对立统一关系 从思维的特征看:逻辑思维以抽象性、连续性 为主要特征,每前进一步都有充分的依据.而直觉 思维是以在一瞬间迅速解决问题为特征的.从思 维的形式看:逻辑思维基本形式是概念、判断和推 理,直觉思维的基本形式是以高度的省略、简化、 浓缩的方式洞察问题的实质,其思维是非逻辑性 的,是逻辑思维的浓缩.庞加莱是最早研究数学直 觉的数学大家,他是如何看待数学直觉及其在数 学研究中的作用呢?他首先强调了直觉和逻辑的 对立性,认为数学家著作分为两种类型:一种类型 主要是逻辑型的,另一种类型则是主要凭借直觉. 直觉思维的结果的不严格性与不可靠性则需要逻 辑思维加以验证其结果的正确性,因此庞加莱十 分明确地强调了直觉和逻辑的互补性:“逻辑和直 觉各有其必要的作用,两者缺一不可.唯有逻辑能 给我们以可靠性,它是证明的工具;而直觉则是发 明的工具.,,L4J 以往的研究更多地强调了直觉思维与逻辑思 维的对立.事实上,数学直觉是从多次反复逻辑思

z‘★Y1

适当变形、表征,赋予“以新的意义或解释,获得 了以下多种基于赢觉判断的解法: 直觉判断一:目标式的结构形式与平面向量数 量积坐标表示形式非常相似,考虑构造向量,利用 向量数量积知识解决问题.在直角坐标系xou中,

设A(等,丢),P(x,y)为满足不等式组的平面区

=器一虿1×丽,,/-3x+y.利用图形直 觉,可得≠警的取值范围为[一捂,捂).
一订蟊可可丽一虿^了尹彳亨∽”川图形且
 ̄/z’十y。

域内一个动点,向量蕊,o---f的夹角为0.则cos8

直觉判断二:在给定区域取特殊点(1,√3),

(o,2),(一3,o),则“一_,4i3x若+y取值分别为
√z。十Y“

万、1、一万.可以直觉猜测M的取值范围为 [一万,√可).不过,这个结论并不可靠,需要进一
步证实.

捂南+南,由三角函数的定义,设
“=万cosO+sinO一2sinf口+詈1.本题把代数
关系通过转化重新表征为三角关系加以研究,这 时,原本无法解决或模糊不清的问题,运用直觉判 断就能直接洞察问题的本质,看得真真切切. 直觉判断四:观察目标式的结构特征:分子与 分母可以看成关于z、Y的齐次式,同除以z,问题 转化为与以斜率上为变量的函数的值域问题. 直觉判断五:由于区域中y>0,则将目标式

P(x,y)到原点的距离,而“=≠祟一
√z。十y。

直觉判断三:直觉上看, ̄/z2+了2表示点

维和形象思维的交叉作用下脱胎成长的.直觉思 维是逻辑思维过程的压缩,运用知识组块对当前

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数学通报 联想全¨S。2 n。十n。一1十…十口z十口l

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问题进行减缩判断.直觉思维的跳跃性是逻辑性 与非逻辑性的结合,能迅速地发现解决问题的方 向和途径.双方在认识过程中既相互矛盾又相互 依靠,使人的思维能力不断发展.充分认识逻辑思 维与直觉思维的对立统一关系,才不会因循守旧、 死抱成规,才会发现、发明、创造、获取新的知识发 展智力.徐利治教授指出:“数学直觉既是抽象思 维的起点,又是抽象思维的归宿”.通过抽象性思 维,对数学对象的本质有所洞察,有所概括,在此 基础上就形成了更高层次的数学直觉,从而又可 进行更高层次的创造性思维活动.
1 1
1 A

2(5。一

S。一1)+(S。一1一S。一2)+…+(S2一S1)+S,累积 法解决问题,

令厂(行)一茅击+i毛+…+西三j+五1①

m_1)一土7"/+南+...+志②
挖十l
Z挖一Z

①一②得:厂(扎)一,(行一1)一磊圭1+去一丢

:上一土
2n.——1

2n

由积累法,(咒)=[厂(行)--f(n--1)]+If(n--1)

例2证明:—*+—k+…+去<÷(以 |‘T T乙
L lI

--f(n--2)]+…+[,(2)~厂(1)]+厂(1)

g-,1"1



∈N。).

=丢+(i1一丢)+(i1一丢)+…+

本题直接利用数学归纳法证明有一定的难 度,式子左边似曾相识,直觉告诉我们问题与
1 厶 1



(丽1一万1)
以下和解法1一样求解. 解法3:(直觉发现+逻辑推理):

厂(咒)一1+丢+÷+…+三有关联,由此寻求它




们之间关系获得问题的解决。 解法1:(直觉关联+逻辑推理):令厂(咒)一1

+虿1十i1+…+丢,

11+I’+…+西赢成立,从而原命题
Z竹

由解法2发现ib+莉1
以十上

咒十二

+…+磊1一

则i击+i毛+…+磊1=,(2咒)一厂(咒)
一1+虿1十i1+…+刍) 一(1+虿1十了1+…+丢)
=(1+虿1十i1+…+磊1)

转化为右边<i4的证明. 解法4:(直觉类比+逻辑推理): 分母中7z+1,竹+2,…,2n为等差数列,类比

联想等差数列求和方法——倒序相加求和:

令s。=击+南+..?+麦.

一2(÷+i1十百1+…+去) 一(?一丢)+(i1一丢)+(i1一吉) +(了1~丢)+…+(磊与一去) <虿1十砭1+(i1一号)+(了1一告)+…+

又s。=去+击+..?+击.
因为,l≥k,行,k∈N‘

则赤+南<南+点
所以S。<{<詈.
解法5:(直觉创造+逻辑推理):

所以(翘+走)(2n--志+1)>2n(7z+1),

(函12n 1一熹2n

一 一S,

所以2S。<咒(ib+磊1)=虿3~再1一<号,

+,

1)

<虿1+矗+(i1一磊b)<磊+吉<詈
解法2:(直觉联想+逻辑推理): 由数列n。与S。关系,即以≥2时,口。=S。

由解法一不难发现得出更一般性的结论:

再b+茅b+…+1z咒4b—一丽1
纳法证明此结论容易得多.

,用数学归

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数学通报 直觉思维与逻辑思维有很强的互补性,交替

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学生2:和S。一2n2—3n是咒的二次函数,且 常数项为0,所以{a。)是等差数列.只要求出a,= S1一一1,a1+口2=2,a2=3,即可得a。=4n一5. 教师:很好!解题就是要善于观察,抓住题目的 特点.想一想S是怎么来的,还有更简洁的解法吗? 学生3:我突然想到行2=1+3+5+…+(2n 一1),咒一1+1+1+…+1,于是S。=2[(1+3+ 5)+…+(2n一1)]一3(1+1+…+1),所以
a。=2(2n一1)一3—4n一5.

使用,使我们不断有所想象、有所发现、有所创造, 为数学学习带来乐趣、带来收获.直觉思维扎根于 学生数学学习的经验,来自于发现问题、分析问题 和解决问题的过程.伴随着经验的自我改造、重组 和更新,直觉思维得到生长. 3教学中如何培养学生的数学直觉思维能力 数学直觉思维具有突变性、不可预测性,往往 与灵感相伴相生,具有很强的个性色彩和偶然性, 因而有人觉得数学直觉思维具有神秘性,是天生 的、无法培养的.徐利治教授指出:“数学直觉是可 以后天培养的.实际上每个人的数学直觉也是不 断提高的.”那么中学数学教学中如何培养和发展 学生的数学直觉思维能力呢?
3.1

学生1解法具有一般性,逻辑推理合理到位; 学生2巧妙利用了特殊到一般的思想方法,利用 等差数列的特殊性解题;学生3的解法从数学直 觉地猜想,联想到基本数列的前咒项的和,抓住了 等差数列前行项和公式的本质,可以得出一般性 结论:等差数列前咒项和为S。一An2+Bn的形 式,其通项公式为a。=A(2n一1)+B的形式.其 直觉思维基于朴素的想法和范例表征:等差数列 的求和的实质就是数列{以)的前订项和的组合.可 见直觉思维具有突变性,利用知识集成块减缩思 维链,直达问题本质,迅速解决问题,有利于培养 学生的创造性. 3.2整体领悟、综合增强数学直觉洞察力 直觉思维的重要特征之一:就是从整体上作 出迅速的判断和领悟.徐利治、王前教授按数学直 觉在数学认识活动中的作用,将数学直觉分为辨 识直觉(对命题、想法的真伪、价值进行直觉判 断)、关联直觉(对不同知识领域问的内在联系具 有直觉判断力)和审美直觉.综合归纳所学过的知 识,可使零散知识系统化、整体化,便于记忆、便于 运用.从宏观上整体把握研究的内容和方向,认识 问题和方法的地位、价值以便取舍(辨识直觉),暂 时不纠缠于问题的元素分析,而是注重元素之间 的联系、系统的整体结构(关联直觉),以及部分之 间的和谐统一(审美直觉),从思维策略的角度确 定解题总体思路,就可以提升数学直觉洞察力.
例4

创设和谐热烈研究讨论的求知情境 数学认识的过程有很多非智力因素参与.心

理学家罗杰斯曾提出,一个人的创造力只有在其 感觉到“心理安全”和“心理自由”的条件下,才能 获得最大限度的表现和发展.教育心理学研究也 表明,人在轻松自由的心理状态下才可能展开丰 富的想象,激发潜意识活动,孕育直觉思维的灵 感,也才会迸发出创造性思维的火花.因此在课堂 教学中,教师应把学生对课堂的情感和态度纳入 教研的视野中来,课堂教学中有意识地调动学生 的情感因素,营造研讨甚至争辩的课堂气氛,激发 学生学习的兴趣. 除调动情感因素外,教师应指导学生运用正 确的思维方式,勇于质疑、相互答辩,使思想相互 碰撞、互相激励,彼此促进,放飞心灵.让学生从若 干次失败中深入反思、上下求索,找到正确的思 路;鼓励学生从常规的思路中跳出来,运用直觉思 维洞察问题的本质、知识之间的联系,催生简洁明 了的解法.在课堂上,创造和谐热烈的学习情境, 可以调动和启发学生的直觉思维并与教师有准备 的定向引导产生共振,从而激发学生的创造潜力, 提高学生的逻辑思维和直觉思维的能力. 例3已知数列前72项和S。一2n2—3n,求数 列{a。)的通项公式. 学生1:利用a。=S。一S。一,(咒≥2)可求得口。 一4咒一5,验证咒一1,结论也成立. 教师:这是由S。求a。的通法,大家再想一想, 原来的数列有什么特点?

正△ABC的边长为2,A。A、B zB、CI



都垂直于底面ABC,且A。A一1,B1B一2,C,C一 3,求这个几何体的体积. 解法l:(分割法)如图1,连结A-C、A-B,将 几何体分成两个棱锥A,一ABC,A-一BB-C。C,根 据体积变换法,所求体积是:VA,一ABc+VA,一BB,C1c (下转第37页)

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参考文献


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抓住解题过程中的每一个环节,不放过任何一个 “有价值”的机会,引导学生进行对比、分析,反复 琢磨,积累更多的经验、更多的解题途径,并能在 各种途径中作出合理的选择,少走弯路.

张文宇,范文贵,张守波.中学生数学学习选择能力与学习成 绩相关性研究[J].数学教育学报,2008,2:59

2张跃红.合理设计追求高效——从高三复习课“圆锥曲线中 的最值与范围问题”谈起[J].数学通报,2013,10:43~45,48

(上接第32页)

一U,一ABc+VA耶。c,c一2缸
解法2:(补形法)如图2,在已知几何体上补 一个同样大小的几何体,使得A。A—B:B—C。C 一4,所求几何体的体积一Lz


拨转向,在猜想中锻炼学生的数学直觉能力.

s△邶c?AzA一2万.
占2

芦十萨十≯一和丽唧


例6


已知土+÷+三=—T_F,求证: 已知丢+丢+÷=iFl而,求证:



口十D十C








(口+b+f)2013。

分析:仔细观察本题式子的主要结构特征:指
B.

数均为奇数;结论中前一等式的实质:三数的倒数 和等于三数之和的倒数,与已知一致,后一等式是 三数的乘方和等于三数和的乘方,据此凭直觉猜 想应有两数互为相反数,利用字母n、b、c的对称
1 1





图1

图2

性,并选择适当的等价表征,进一步猜想三+÷

(,

本题图形直观,对基本图形从整体上理解,把 不规则图形问题通过直觉想象与判断转换成规则 图形问题,便于问题解决.其解法具备一定创造 性、突变性.直觉思维与人头脑中潜存的信息有 关,积累的数学知识和解题经验越丰富,可刺激联 想的素材就越广泛,直觉洞察力也就越强. 例5一个五位数32541能否改变各个数字 的位置,把它变为五位素数? 分析:从整体上考察3、2、5、4、1,则由3+2+ 5+4+1—15,便能迅速作出判断:不论怎样改变 数字的位置,排出来的五位数一定是3的倍数,不 会是素数。 3.3勤观察、多联想、对比分析、合理表征、大胆 猜想 数学问题的规律性往往不是显现的,它隐含 在具体、特殊的对象之中,通过观察、对比分析相 近或相关知识的异同才能发现.对于未给出结论 的数学问题,猜想可能会形成解题思路的正确方 向;对于给出结论的数学问题,猜想也是寻求解题 思维策略的重要手段.教学中教师应引导学生大 胆猜想、鼓励学生猜定理、猜证法,猜错了加以点

+三=—F}的化简结果应为(口+6)(6+f)(f
1 1 C

“-r(,1-f

+口)=0,经过验证结论成立.喻平教授指出,命 题的等价表征,更容易在学习者的认知结构中激 活知识结点.因此,猜想通常不宜采用单一的表征 形式. 重视培养学生的数学直觉思维能力,让学生 从直觉上真懂、彻悟,使数学的许多概念、命题、方 法在学生心中成为清楚明了的,这对挖掘学生的 学习潜能、开发学生的智力、增强学生的创造力以 及提高学生的综合素质大有裨益,也是我们数学 教师永恒的追求。
参考文献 1徐利治.徐利治谈数学哲学[M].大连:大连理工大学出版
社,2008

2郑毓信,肖柏荣,熊萍.数学思维与数学方法论[M].成都:四 川教育出版社,2001 3,5喻平.数学学习心理的CPFS结构理论[M].南宁:广西教育 出版社,2008 4庞加莱.科学的价值[M].北京:光明日报出版社,1988

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