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【高考调研】2016届高考数学一轮复习 第四章 第2课时 同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件 理


第四章

三角函数

第2课时

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式:sin2α sinα +cos α=1,cosα=tanα,掌握已知一个角的三角函数值求其
2

他三角函数值的方法. π 2.借助单位圆中的三角函数

线导出诱导公式(2± α,π±α 的正弦、 余弦、 正切), 经历并体验用诱导公式求三角函数值, 感受诱导公式的变化规律.

请注意 本课内容是高考热点之一,通常出现在选择或填空题 中,复习时应注意控制难度.

课前自助餐 授人以渔 自助餐

题组层级快练

课前自助餐

1.同角三角函数基本关系式 2α+cos2α=1 sin (1)平方关系: (2)商数关系:
sinα tanα=cosα

.

.

2.角的对称
相关角的终边 α 与 π+ α α 与 π- α α 与-α π α 与2-α 对称性 关于 原点 对称 关于 y轴 对称 关于 x轴 对称 关于 y=x 对称

3.诱导公式
sin 2kπ+α -α π+α π-α π 2-α π 2+α cos tan

sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα

cosα cosα -cosα -cosα

tanα -tanα tanα -tanα

sinα
-sinα

10 1.(课本习题改编)sin(- 3 π)=________;cos2 490° = ________.

答案

3 2

3 2

sin2α 2.若 tanα=3,则cos2α的值等于( A.2 C.4
答案 D

)

B.3 D.6

sin2α 2sinαcosα 解析 cos2α= cos2α =2tanα=2×3=6,故选 D.

π 3 π 3π 3.(2015· 辽宁五校)已知 cos(2+α)=5,且 α∈(2, 2 ), 则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 ) 3 B.4 3 D.± 4

答案 B

π 3 3 解析 因为 cos(2+α)=5,所以 sinα=-5.显然 α 在第 4 3 三象限,所以 cosα=-5,故 tanα=4.

5 4. 已知 α 是第四象限角, tanα=-12, 则 sinα 等于( 1 A.5 5 C.13
答案 D

)

1 B.-5 5 D.-13

5.已知 tanx=2,则 sin2x+1 的值为( A.0 4 C.3 9 B.5 5 D.3

)

答案 B
解析
2 2 2 2sin x + cos x 2tan x+1 9 2 sin x+1= 2 = = ,故选 B. sin x+cos2x tan2x+1 5

授人以渔

题型一 诱导公式
3π 3π sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? (1)化简: . π π cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α?

例1

sin?nπ-α?· cos?nπ+α? (2)若 n∈Z,化简: . sin[?n+1?π+α]· cos[?n+1?π-α]

【解析】

cosα?-cosα?tan2α 1 (1)原式= =-sinα. sinα?-sinα??-sinα?

sinα· ?-cosα? (2)方法一:n 为奇数时,原式= =-1; sinα· cos?-α? sin?-α?· cosα n 为偶数时,原式= =-1. -sinα?-cosα? 综上可知,原式=-1.

sin?nπ-α?· cos?nπ+α? 方法二:原式= sin[π+?nπ+α?]cos[π+?nπ-α?] sin?nπ-α?cos?nπ+α? = sin?nπ+α?cos?nπ-α? sin[2nπ-?nπ+α?]cos?nπ+α? = sin?nπ+α?· cos[2nπ-?nπ+α?] -sin?nπ+α?cos?nπ+α? = =-1. sin?nπ+α?cos?nπ+α? 1 【答案】 (1)-sinα (2)-1

探究1

熟练运用诱导公式是本题的关键.诱导公式除了

正面用于化简外,还应掌握它的逆向应用,从角的形式上分 析出两角之间的关系.

π 1 7 思考题1 (1)已知 sin(α+12)=3,则 cos(α+12π)的 值为( 1 A.3 2 C.-3 2
【解析】

) 1 B.-3 2 D.3 2 7π π π π cos(α+12)=cos(2+α+12)=-sin(α+12)=

1 -3,选 B. 【答案】 B

3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=-5,求 sin(3π+α)· tan(α 7 -2π)的值.

3 【解析】 ∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=-cosα=-5, ∴ 3 cosα=5. 7 7 ∴sin(3π+α)· tan(α-2π)=(-sinα)· [-tan(2π-α)] 3 cosα 3 =sinα· tan(2π-α)=sinα· sinα =cosα=5.

3 【答案】 5

题型二 同角三角函数的基本关系式

5 例 2 (1)已知 cosα=13,且 α 是第四象限角,求 sinα 和 tanα. 5 (2)已知 tanα=12,求 sinα.

【解析】

5 (1)因为 cosα=13,且 α 是第四象限角,
2

所以 sinα=- 1-cos α=- 12 -13 sinα 12 所以 tanα=cosα= 5 =- 5 . 13

5 2 12 1-?13? =-13.

5 sinα 5 (2)∵tanα=12,∴cosα=12. ∵sin2α+cos2α=1, 12 5 2 ∴sin α+( 5 sinα) =1,∴sinα=± 13.
2

5 ∴当 α 为第一象限角时,sinα=13; 5 当 α 为第三象限角时,sinα=-13.

12 5 【答案】 (1)- 5 (2)sinα=± 13

探究2

本例属同角三角关系式中的基本题,关键是掌握

住“先开方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相联系 的 cosα ,再由公式求 tanα. 例 2(2) 中 α 的范围不确定,须讨论确 定开方的符号.

3 思考题2 (1)已知 cos(π+x)= , 2π), 则 tanx 5 x∈(π, 等于( ) 4 B.-3 4 D.3

3 A.-4 3 C.4

【解析】

3 cos(π+x)=-cosx=5,

3 3π ∴cosx=-5<0.∴x∈(π, 2 ). 4 4 此时 sinx=-5,∴tanx=3,故选 D.
【答案】 D

(2)已知sinα=m(m≠0,且m≠±1),求tanα.
【解析】 ∵sinα=m(m≠0,且 m≠± 1),

∴cosα=± 1-sin2α=± 1-m2(当 α 为第一、四象限角 时取正号,当 α 为第二、三象限角时取负号). m ∴当 α 为第一、四象限角时,tanα= 2; 1-m m 当 α 为第二、三象限角时,tanα=- 2. 1-m

【答案】

m m 2或- 1-m 1-m2

题型三

考查sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx 之间的关系

7 例 3 已知 sinθ+cosθ=13,θ∈(0,π),则 (1)sinθ-cosθ=________; (2)sin3θ+cos3θ=________; (3)tanθ=________.

【解析】

7 (1)∵sinθ+cosθ=13,
2

49 ∴(sinθ+cosθ) =169. 120 ∴2sinθcosθ=-169. 又 θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0. ∴sinθ-cosθ= ?sinθ-cosθ?2 = sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ 17 =13.

(2)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) 7 60 1 603 =13×(1+169)=2 197. 7 ? ?sinθ+cosθ=13, (3)方法一:由? ?sinθ-cosθ=17, 13 ? 12 5 12 解得 sinθ=13,cosθ=-13.∴tanθ=- 5 .

7 60 方法二:因为 sinθ+cosθ=13,sinθcosθ=-169, 7 60 由根与系数的关系, 知 sinθ, cosθ 是方程 x -13x-169=
2

12 5 0 的两根,所以 x1=13,x2=-13. 60 又 sinθcosθ=-169<0,所以 sinθ>0,cosθ<0. 12 5 所以 sinθ=13,cosθ=-13. sinθ 12 所以 tanθ=cosθ=- 5 .

60 方法三:同方法二,得 sinθcosθ=-169, sinθcosθ 60 所以 2 =-169. sin θ+cos2θ tanθ 60 齐次化切,得 2 =-169, tan θ+1 即 60tan2θ+169tanθ+60=0, 12 5 解得 tanθ=- 5 或 tanθ=-12.

7 60 又 θ∈(0,π),sinθ+cosθ=13>0,sinθcosθ=-169<0, π 3π 12 所以 θ∈(2, 4 ),所以 tanθ=- 5 .

17 1 603 12 【答案】 (1)13 (2)2 197 (3)- 5

探究 3

(1) 已知 asinx + bcosx = c 可与 sin2x + cos2x = 1 联

立,求得sinx,cosx. (2)sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间的关系为

(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx, (sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,可 求其余两个代数式的值.

思考题3 已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cosα

1 1 =5,则 2 =________. cos α-sin2α
【解析】 1 7 由 sinα+cosα=5,可求得 sinα-cosα=5.

1 1 ∴ 2 = = cos α-sin2α ?cosα-sinα??cosα+sinα? 25 1 7 =- 7 . 5×?-5? 25 【答案】 - 7 1

自助餐

1. cos2600° 等于________.

1 答案 2 解析 1 1 cos 600° =|cos120° |=|-2|=2.
2

2.下列各数中与 sin2 015° 的值最接近的是( 1 A.2 1 C.-2
答案 C 解析 2 015°=5×360°+180°+35°,

)

3 B. 2 3 D.- 2

∴sin2 015°=-sin35°和-sin30°接近,选C.

3. 1+2sin?π-3?cos?π+3?化简的结果是( A.sin3-cos3 C.± (sin3-cos3) B.cos3-sin3 D.以上都不对

)

答案 A

解析 sin(π-3)=sin3,cos(π+3)=-cos3, ∴ 1-2sin3· cos3= ?sin3-cos3?2=|sin3-cos3|. π ∵2<3<π,∴sin3>0,cos3<0. ∴原式=sin3-cos3,选 A.

4 .化简 cosα ( ) A.sinα+cosα-2 C.sinα-cosα

1-sinα + sinα 1+sinα

1-cosα 3π (π<α< 2 ) 得 1+cosα

B.2-sinα-cosα D.cosα-sinα

答案 A

解析 原式=cosα

?1-sinα?2 cos2α +sinα

?1-cosα?2 sin2α ,

3 ∵π<α<2π,∴cosα<0,sinα<0. ∴原式=-(1-sinα)-(1-cosα)=sinα+cosα-2.

5.记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k k C. 1-k2
答案 B

)

1-k2 B.- k k D.- 1-k2

解析

cos(-80° )=cos80° =k,sin80° = 1-k2,tan80°

1-k2 1-k2 = k ,tan100° =-tan80° =- k .

π 3 7 6.已知 sin(5-x)=5,则 cos(10π-x)=( 3 A.5 3 C.-5
答案 C

)

4 B.5 4 D.-5

7 π π π 3 解析 cos(10π-x)=cos[2+(5-x)]=-sin(5-x)=-5.


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