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四川省南充高中2011年素质技能邀请赛(数学)(2011南充高中自主招生考试)

时间:2011-06-12


南充高中 2011 年素质技能邀请赛 数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分) 第Ⅰ卷(选择.填空题) 一、选择题(每小题 5 分,共计 30 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填 入答题卷的相应位置) 1.已知

y ≤1

且 2 x + y = 1 ,则 2 x + 16 x + 3

y 的最小 值为
2 2

19 A. 2

B. 3

27 C. 7

D.13

2. AE , CF 是锐角三角形 ABC 的两条高,如果 AE : CF = 3 : 2 ,则 sin A : sin C 等于 A. 3:2 B. 2:3 C. 9:4 D.4:9

2 x ,x x < 1 < x2 3.关于 x 的方程 ax + ( a + 2) x + 9a = 0 有两个不等的实数 根 1 2 ,且 1 ,那么 a 的

取值范围是

?
A.

2 2 <a< 7 5

a>
B.

2 5

a<?
C.

2 7

?
D.

2 <a<0 11

4.在某种浓度 的盐水中加入“一杯水”后,得到新的盐水,它的浓度为 20℅,又在新盐水中加

33
入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后,盐的浓度变为 A.23℅ B.25℅ C. 30℅

1 3 ℅,那么原来盐水的浓度为
D.32℅

5.已知是两个连续自 然数 ( m < n) ,且 q = mn ,设 A.总是奇数 C.有时是奇数有时是偶数

p = q + n + q ? m ,则 p

B.总是偶数 D.有时是有理数有时是无理数

6. P 为正三角形 ABC 内部一点, PD ⊥ BC 于 D , PE ⊥ AC 于 E , PF ⊥ AB 于 F ,则 A. PA + PB + PC 的值不变 C. PD + PE + PF 的值不变 B. PA ? PB ? PC 的值不变 D. PD ? PE ? PF 的值不变 A

[来源:学科网] 二、填空题 (每小题 5 分,共计 50 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处)

1 2 3 3 2 1 1 1 1 + + = 5, + + = 7 + + = x y z 7.若 x y z ,则 x y z

D B E C

2 2 则 8.关于 x, y 的二次式 x + 7 xy + my ? 5 x + 43 y ? 24 可以分解为两个一次因式的乘积, m 的

值是 9.如图△ABC 中,AC>AB,AB=4,AC=x,AD 平分∠BAC, BD⊥AD 于 D,点 E 是 BC 的中点,DE=y,则 y 关于 x 的函数关系式为 10.袋中装有 3 个红球,一个白球,它们 除了颜色以外都相同,随机从中摸出一球,记下颜色后 放回袋中充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率为 11.光线如图示的角度照射到平面镜上,然后在两平面镜之间来回反射,已知 α = 60 , β = 50 ,
0 0

则γ =

α
A1

β

α

γ

12.在平面直角坐标系中,已知 延长

P 的坐标 (1, 0 ) ,将其绕着原点按逆时针方向旋转 300 得到 P2 , 1

0 OP2 到 P3 使 OP3 = 2OP2 , P P 延长 OP4 到 P5 使 再将 3 绕原点按逆时针方向旋转 30 得到 4 ,

OP5 = 2OP4 ,如此继续下去,则点 P2010 的坐标为
13. 一 圆 周 上 有 三 点 A, B, C , ∠A 的 平 分 线 交 边 BC 于 D , 交 圆 于 E , 已 知

BC = 2, AC = 3, AB = 4 ,则 AD ? DE =
0 14.在锐角 ?ABC 中,高 BD, CE 交于点 F , ∠A = 45 , ?DEF 的面积为 S ,则 ?BFC 的面积

为 15.方程 x + 2 x ? 1 +

x ? 2 x ? 1 = x ? 1 的 解为

2 16. 下 列 命 题 : ① 若 x = 2010 × 2012 + 1 , 则 x = 2011 ; ② 若 xy < 0 , 且

a ? 2 y + 1 + ( x + 1) 2 = 0 ,则 a > ?1 ;③若一直角梯形的两条对角线的长分别为 9 和 11,上、
2 下两底长都是整数,则该梯形的高为 6 2 ;④已知方程 ax + bx + c = 0( a > b > c ) 的一个根

为 1,另一个根的取值范围是

?2 < α < ?

1 2.

其中正确的命题的序号为 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)

a b c + + 17.(本小题 10 分)设 abc = 1 ,求 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 的值.

18. (本小题 12 分)已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

x 2 ? (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根,第三边长为 5.
(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长

19. (本小题 12 分)在平行四边形 ABCD 中, P 为 CD 边上一点, AP 与 BP 分别为 ∠DAB 和

∠CBA 的平分线
(1)判断 ?APB 是什 么三角形,并证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小; (3)以 AB 为直径的⊙ O交 AD 于点 E ,连接 BE 与 AP 交于 F ,若 AD = 5, AP = 8 ,求 证: ?AEF ∽ ?APB ,并求 tan ∠AFE 的值

D

P

C

A

B

BT B P 20. (本小题 12 分)已知 ?ABC 是⊙ O的内接三角形, 为⊙ O的切线, 为切点, 为直线 AB
上一点,过点 P 做 BC 的平行线交直线 BT 于点 E ,交直线 AC 于点 F (1)当点 P 在线段 AB 上时求证: PA ? PB = PE ? PF (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,否 则说明理由;

(3)若

AB = 4 2, cos ∠EBA =

1 3 ,求⊙ O的半径

A P

F

.
O B

C

E T

, 21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A B两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) ,动点 P从点 A开始,在
线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O运动,动直线 EF 从 x 轴开始,以每秒 1 个长度 单位的速度向上移动(即 EF ∥ x 轴) ,且分别与 y 轴、线段 AB交于点 E, F,连接 FP,设动点 P 与动直线 EF 同时出发,运动时间为 ts (1)当 t =1s 时,求梯 形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积是多 少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 PF 的长; (3)设 t 的值分别取 1 2 时( 1

t ,t

t ≠t2

) ,所对应的三角形分别为

?AFP ?AFP 1 1 2 2


,判断这两个三

角形是否相似,请证明 你的结论.

y
B

E P

F

x
O A

22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B,C 的 ⊙ M 与直线 x=?1相 切于点 A( A在 第二象限),点 A关于 x 轴的对称点是 1,直线

A

AA 1

与 x 轴相交点 P

B (1)求证:点 1在直线 M 上
(2)求以 M 为顶点且过 1的抛物线的解析式; (3)设过点 1且平行于 x 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 D,当⊙ D与⊙ M 相

A

A

A

y
切时,求⊙ D的半径和切点坐标

M C D

A B P O
A1

x

南充高中 2011 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅱ卷(答题卷) 答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 选择题答案: 每小题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 B 8. ______-18____ 10.______ 5 A 6 C

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 填空题答案: 每小题 7. 3 9.___ y=

x ? 2 _______ 2
0

9 _______ 16

11._______ 40 _______

12.____(0,

?21004 )__

13.___

48 ________ 49

14_________2S____

16. ②③④ 15._____5_____________ 解答题: (本大题共 个小题,共 解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤 三、解答题: 本大题共 6 个小题 共 70 分,解答应写出必要的说明 证明过程和推演步骤 ( 解答应写出必要的说明 证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分)设 abc = 1 ,求 (

a b c + + 的值. ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 a 1 解: ab + a + 1 = ab + a + abc = a (b + 1 + bc ) ∴ = ab + a + 1 b + 1 + bc
而 ac + c + 1 = ac + c + abc = c ( a + 1 + ba ) = ac (b + 1 + bc)



c 1 = ac + c + 1 a (b + 1 + bc)
1 b 1 a + ab + 1 + + = =1 bc + b + 1 bc + b + 1 a (bc + b + 1) a (b + 1 + bc)

∴ 原式=

18. (本小题 12 分)已知 ?ABC 的两边 AB, AC 的长是关于 x 的一元二次方程

x 2 ? (2k + 3) x + k 2 + 3k + 2 = 0 的两个实数根,第三边长为 5.
(1) k 为何值时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ?ABC 是等腰三角形,并求 ?ABC 的周长
2 2 解: (1)因为 AB, AC 是方程 x ? (2k + 3) x + k + 3k + 2 = 0 的两个实数根,

所以 AB + AC = 2k + 3, AB ? AC = k + 3k + 2
2

又因为 ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,且 BC = 5 所以 AB + AC = BC ,所以 ( AB + AC ) 2 ? 2 AB ? AC = 25 ,
2 2 2

即 (2k + 3) ? 2( k + 3k + 2) = 25 ,所以 k + 3k ? 10 = 0 所以 k1 = ?5, k 2 = 2
2 2 2

当 k = 2 时,方程为 x ? 7 x + 12 = 0 ,解得 x1 = 3, x2 = 4
2

当 k = ?5 时,方程为 x + 7 x + 12 = 0 ,解得 x1 = ?3, x2 = ?4 (不合题意,舍去)
2

所以当 k = 2 时, ?ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形。 (2)若 ?ABC 是等腰三角形,则有① AB = AC ② AB = BC ③ AC = BC 三种情况。 因为 ? = (2k + 3) 2 ? 4( k 2 + 3k + 2) = 1 > 0 ,所以 AB ≠ AC ,故第①种情况不成立。所以
2 2 当 AB = BC 或 AC = BC 时,5 是 x ? (2k + 3) x + k + 3k + 2 = 0 的根,

所以 25 ? 5(2k + 3) + k 2 + 3k + 2 = 0, k 2 ? 7 k + 12 = 0 ,解得 k1 = 3, k2 = 4 当 k = 3 时, x ? 9 x + 20 = 0 所以 x1 = 4, x2 = 5 ,所 以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、4,
2

周长是 14 当 k = 4 时, x ? 11x + 30 = 0 所以 x1 = 5, x2 = 6 ,所以等腰 ?ABC 的三边长分别为 5、5、6,
2

周长是 16. 19. (本小题 12 分)在平行四边形 ABCD 中,P 为 CD 边上一点, AP 与 BP 分别为 ∠DAB 和 ∠CBA 的平分线 (1)判断 ?APB 是什么三角形,并证明你的结论; (2)比较 DP 与 PC 的大小; (3)以 AB 为直径的⊙ O交 AD 于点 E ,连接 BE 与 AP 交于 F ,若 AD = 5, AP = 8 ,求 证: ?AEF ∽ ?APB ,并求 tan ∠AFE 的值 解: (1)Q AD ∥ BC

D

P

C

∴∠DAB + ∠CBA = 1800

A

B

又 AP 与 BP 分别为 ∠DAB 和 ∠CBA 的平分线[来源:Z,xx,k.Com]

∴∠PAB + ∠PBA = 900 ,∴∠APB = 900 ,∴?APB 是直角三角形。
(2)Q DC ∥ AB ,∴∠BAP = ∠DPA

Q ∠DAP = ∠PAB,∴∠DAP = ∠DPA,∴ DA = DP
同理, CP = CB,∴ DP = PC

(3) Q AD = 5, AP = 8,∴ AB = DC = DP + PC = 2 AD = 10 因为 AB 为⊙ O直径, ∠APB = 90 , PB =
0 0

AB 2 ? AP 2 = 102 ? 82 = 6

又Q ∠AEB = ∠APB = 90 , ∠EAF = ∠PAB ∴?AEF ∽ ?APB

∴∠AFE = ∠ABP ∴ tan ∠AFE = tan ∠ABP =

AP 4 = PB 3

, ,动点 P从点 A开 21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A B两点的坐标分别为(28,0)和(0,28)
始,在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O运动,动直线 EF 从 x 轴开始,以每

秒 1 个长度单位的速度向上移动(即 EF ∥ x 轴) ,且分别与 y 轴、线段 AB交于点 E, F,连接

FP,设动点 P与动直线 EF 同时出发,运动时间为 ts [来源:学科网] (1)当 t =1s 时,求梯形 OPFE 的面积, t 为何值时,梯形 OPFE 的面积最大?最大面积是多
少? (2)当梯形 OPFE 的面积等于三角形 APF 的面积时,求线段 PF 的长; (3)设 t 的值分别取 t1,t2 时( t1 ≠ t2 ) ,所对应的三角形分别为 ?AFP和 ?AFP ,判断这两个三 1 1 2 2 角形是否相似,请证明你的结论. 解: (1)当 t =1s 时, OE =1, AP =3,∴OP = 28?3= 25

y
B

QOA=OB, EF∥ OA,∴EF = EB = 28?1= 27

( OP+EF)OE (25+27)×1 ∴S梯形OPFE = = = 26 2 2 S= (28?3t +28?t)t =?2t2 +28t =?2(t ?7)2 +98, [来源:Zxxk.Com] 2
O

E P

F

x
A

∴t =7s,梯形 OPFE 的面积最大,最大面积是 98
(2)QS梯形OPFE =

(56?4t)t 3t2 , S?AFP = 2 2 (56?4t)t 3t2 = ,∴t1 =8,t2 =0(舍去) 2 2

当∴S梯形OPFE = S?AFP 时,有

过点作 FH ⊥ AO,垂足为 H

Q ∠OAB = 450 ,∴ AH = FH = 8, PH = 3 × 8 ? 8 = 16
在 Rt ?FHP 中, FP = (3)相似,下面证明 分别过点 F1 , F2 ,作 F1 H1 ⊥ AP , F2 H 2 ⊥ AP2 ,垂足分别为 H1 , H 2 1

FH 2 + PH 2 = 82 + 162 = 8 5

Q ∠OAB = 450 ,∴ AH1 = F1 H1 = t1 , AH 2 = F2 H 2 = t2

y
B

AF t ∴ AF1 = 2t1 , AF2 = 2t2 .∴ 1 = 1 AF2 t2 AP 3t AP1 AF1 t1 又Q AP = 3t1 , AP2 = 3t2 ,∴ 1 = 1 , = = 1 AP2 3t2 AP 2 AF2 t2
且 ∠OAB = ∠OAB,∴ ?AFP∽ ?AFP 1 1 2 2

E2
E O

F2
F

H1 P2
P H2 A

x

y

22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B,C 的⊙ M 与直线 x=?1相切于点

A( A在第二象限),点 A关于 x 轴的对称点是 A,直线 AA 与 x 轴相交点 P 1 1
(1)求证:点 A 在直线 M 上 B 1 (2)求以 M 为顶点且过 A 的抛物线的解析式; 1 (3)设过点 A 且平行于 x 轴的直线与(2)中 1 的抛物线的另一交点为 D,当⊙ D与⊙ M 相切时, 求⊙ D的半径和切点坐标[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 解:易知 P(-1,0), BP =1,CP =3.

QPA与⊙ M 相切于 A, PBC 是⊙ M 的割线,
∴PA2 = PB? PC即 PA2 =1×3=3, PA= 3

A在第二象限, 点 A关于 x 轴的对称点是 A 1

∴A(?1, 3), A(?1, ? 3) ,可得 M(?3, 3) 1
从而直线 M 的解析式为 y =? 3x?2 3 B 当 x=?1 时 y= 3 ?2 3 =? 3,即点 A 在直线 M 上 B 1 (2)Q所求抛物线以 M(?3, 3) 为顶点,
[来源:Z&xx&k.Com]

∴抛物线的解析式可设为 y = a(x+3)2 + 3 ,将点 A坐标带入,可得 a=? 1 ∴抛物线的解析式为 y =?

3 2

3 (x+3)2 + 3 2

(3)过点 A 且平行于 x 轴的直线为 y=? 3 1 由 y =?

3 (x+3)2 + 3和 y=? 3 解得 x1 =?1, y1 =? 3.x2 =?5, y2 =? 3 2

∴A(?1, ? 3), D(?5, ? 3) 1
以点 D为圆心且与⊙ M 相切的圆有两种情况:外切或内切 当⊙ D与⊙ M 外切时, DM = 4

∴⊙ D的半径为 2,点 C( ?4,0) 就是切点,

2, 2 当⊙ D与⊙ M 内切时,⊙ D的半径为 6,点⊙ E(? ?

3) 是切点

[来源:学科网]

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