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新人教A版选修2-2《1.4 生活中的优化问题举例》知能检测及答案


1.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题 1.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x (x>0),生产成本 y2(万 元)是产量 x(千台)的函数:y2=2x -x (x>0),为使利润最大,应生产 ( A.6 千台 C.8 千台 B.7 千台 D.9 千台
2 3

2 3 2 3 2 2

)

【解析】 设利润为 y,则 y=y1-y2=17x -(2x -x )=-2x +18x (x>0), 又由 y′=-6x +36x=0 得 x=6, 且当 x∈(0,6)时, y′>0, 当 x∈(6, +∞)时, y′<0, ∴当 x=6 时,y 最大,故应生产 6 千台. 【答案】 A 2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为 ( A. 20 cm 3 B.10 cm D. 20 3 cm 3 )
2

C.15 cm

1 2 2 2 2 【解析】 设圆锥的高为 x, 则底面半径为 20 -x , 其体积 V= π x(20 -x )(0<x<20). 3

V′= (400-3x2), 令 V′=0 得 x= V′<0,
20 3 ∴当 x= 时,V 取最大值. 3 【答案】 D

π 3

20 3 20 3 20 3 , 又当 0<x< 时, V′>0; <x<20 时, 3 3 3

3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比 例系数为 k(k>0).已知贷款的利率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设 存款利率为 x,x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为( A.0.016 2 C.0.024 3
2

)

B.0.032 4 D.0.048 6
3 2

【解析】 依题意, 存款量是 kx , 银行支付的利息是 kx , 获得的贷款利息是 0.048 6kx ,

其中 x∈(0,0.048 6). 所以银行的收益是 y=0.048 6kx -kx (0<x<0.048 6), 则 y′=0.097 2kx-3kx . 令 y′=0,得 x=0.032 4 或 x=0(舍去). 当 0<x<0.032 4 时,y′>0; 当 0.032 4<x<0.048 6 时,y′<0. 所以当 x=0.032 4 时,y 取得最大值,即当存款利率为 0.032 4 时,银行获得最大收 益. 【答案】 B 4. 一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比, 已知当速度为 20 km/h 时,每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h, 要使从甲城开往乙城的总费用最少,则速度应为( 3 A.10 20 km/h 3 C.5 20 km/h )
2

2

3

3 B.20 20 km/h 3 D. 20 km/h

【解析】 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km.

a 200 3 2 则总费用 f(x)=(kx +200)· =a(kx + ). x x
1 3 由已知条件,得 40=k·20 ,∴k= . 200 ∴f(x)=a( 1 2 200 x + ). 200 x

由 f′(x)=

a x3-
100x
2

3 =0,得 x=10 20.

3 当 0<x<10 20时,f′(x)<0; 3 当 10 20<x<100 时,f′(x)>0. 3 ∴当 x=10 20时,f(x)有最小值, 3 即速度为 10 20 km/h 时,总费用最少. 【答案】 A 5.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个 无盖小盒,则小盒的最大容积是( A.20 C.16 ) B.18 D.14

【解析】 正方形边长为 x,则

V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0<x< ). V′=4(3x2-13x+10)(0<x< ). V′=0 得 x=1,根据实际情况,小盒容积最大值是存在的,
∴当 x=1 时,容积 V 取得最大值 18. 【答案】 B 二、填空题 6.(2013·开封高二检测)做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,那么用料最省时,它 的底面边长为________. 256 256×4 2 【解析】 设底面边长为 x 分米,则高 h= 2 ,其表面积 s=x + ,s′=2x- 5 2

5 2

x

x

256×4 ,令 s′=0,则 x=8. 2

x

【答案】 8 分米 7.已知矩形的两个顶点 A、D 位于 x 轴上,另两个顶点 BC 位于抛物线 y=4-x 在 x 轴 上方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边长为________. 【解析】 由题意,设矩形边长 AD=2x,则 AB=4-x , ∴矩形面积为 S=2x(4-x )=8x-2x (0<x<2).∴S′=8-6x . 2 2 令 S′=0,解之得 x1= 3,x2=- 3(舍去). 3 3 2 当 0<x< 3时,S′>0; 3 当 2 3<x<2 时,S′<0. 3
2 3 2 2 2

2 32 3 ∴当 x= 3时,S 取得最大值为 . 3 9 4 3 8 即矩形的边长分别是 , 时,矩形的面积最大. 3 3 【答案】 4 3 8 , 3 3

2 3 8.某厂生产某种产品 x 件的总成本 C(x)=1200+ x (万元),已知产品单价的平方与 75 产品件数成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为________件时,总利 润最大.

【解析】 设产品的单价为 p 万元,根据已知,可设 p = ,其中 k 为比例系数.因为 250 000 500 2 当 x=100 时,p=50,所以 k=250 000,所以 p = ,p= ,x>0.

2

k x

x

x

设总利润为 y 万元,则 y=

500 2 3 2 3 ·x-1 200- x =500 x- x -1 200. 75 75 x

250 2 2 求导数得,y′= - x . x 25 令 y′=0 得 x=25. 故当 x<25 时,y′>0; 当 x>25 时,y′<0. 因此,当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值. 【答案】 25 三、解答题 9.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年 投入广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t +5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公 司由此获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技 1 3 2 术改造费 x 百万元, 可增加的销售额约为- x +x +3x(百万元). 请设计一个资金分配方案, 3 使该公司由此获得的收益最大.(收益=销售额-投入) 【解】 (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t), 则有 f(t)=(-t +5t)-t=-t +4t=-(t-2) +4(0≤t≤3), ∴当 t=2 时,f(t)取得最大值 4,即投入 2 百万元的广告费时,该公司由此获得的收 益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元), 则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是 g(x)(百万元), 1 3 2 2 则 g(x)=(- x +x +3x)+[-(3-x) +5(3-x)]-3 3 1 3 =- x +4x+3(0≤x≤3), 3 ∴g′(x)=-x +4, 令 g′(x)=0,解得 x=-2(舍去)或 x=2. 又当 0≤x<2 时,g′(x)>0;当 2<x≤3 时,g′(x)<0, ∴当 x=2 时,g(x)取得最大值,即将 2 百万元用于技术改造,1 百万元用于广告促销,
2 2 2 2 2

该公司由此获得的收益最大. 10.已知 A,B 两地相距 200 千米,一只船从 A 地逆水航行到 B 地,水流的速度为 8 千 米/时,船在静水中的速度为 v 千米/时(8<v≤v0).已知船每小时的燃料费与其在静水中的 速度的平方成正比,当 v=12 千米/时时,每小时的燃料费为 720 元,为了使全程燃料费最 省,船的实际速度应为多少? 【解】 设全程燃料费为 y,每小时的燃料费为 y1,比例系数为 k(k>0),则 y1=kv . 当 v=12 时,y1=720,所以 720=k·12 ,解得 k=5. 1000v 由题意,得 y= , v-8 2000v v- -1000v 所以 y′= v- 2 = 1000v -16000v . v- 2
2 2 2 2 2

令 y′=0,得 v=0(舍去)或 v=16,所以 v=16(千米/时). ∵8<v≤v0,∴当 v0≥16 时,v=16 千米/时,全程燃料费最省,为 32000 元; 当 v0<16 时,v∈(8,v0],y′<0,y 在(8,v0]上是单调递减函数, 1000v0 所以当 v=v0 时,y 有最小值,最小值为 . v0-8 综上可知,当 v0≥16,v=16 千米/时时,全程燃料费最省,为 32000 元; 1000v0 当 v0<16,v=v0 千米/时时,全程燃料费最省,为 元. v0-8 11.某商场预计 2012 年 1 月份起前 x 个月,顾客对某商品的需求总量 p(x)(单位:件) 1 * 与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N , x≤12). 该商品第 x 月的进货单价 2
2 2

q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是:
150+2x, ? ? q(x)=? 160 185- , ? x ?

x∈N*,且1≤x x∈N ,且7≤x
*



(1)写出 2012 年第 x 月的需求量 f(x)(单位:件)与 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,试问商场 2012 年哪个月销售该商品的月利润最大,最大月利润为多少元? 【解】 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N 时,
*

f(x)=p(x)-p(x-1)
1 1 2 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x·(41-2x)=-3x +40x, 2 2

验证 x=1 时也符合, ∴f(x)=-3x +40x(x∈N ,且 1≤x≤12). (2)该商场预计第 x 月销售该商品的月利润为 g(x)=
2 -3x +40x ? ? ? 2 ? -3x +40x ? 2 *

-2x , x∈N ,且1≤x 160 ,

*

, ,

x

x∈N*,且7≤x

即 g(x)=
?6x -185x +1 400x, x∈N ,且1≤x ? ? * ? ?-480x+6 400, x∈N ,且7≤x
3 2 *



当 1≤x≤6,且 x∈N 时,

*

g′(x)=18x2-370x+1 400,令 g′(x)=0,解得 x=5,x=
当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤6 时,g(x)′<0,

140 (舍去). 9

g(x)max=g(5)=3 125;
当 7≤x≤12,且 x∈N 时,
*

g(x)=-480x+6 400 是减函数,
当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040, 综上,商场 2012 年 5 月份的月利润最大,最大利润为 3 125 元.


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