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高中数学文科公式表 (重要公式记忆版)


一、函数与导数的公式和部分重要结论 函数定义域 1 ①分式的分母不能为零。 ②偶次方根的被开方数非负,零次幂的底数不能为零。 ③对数函数的真数大于零。 ④对数函数指数函数的底数大于零且不等于 1。 注意定义域用集合表示。 ①直接法(简单函数)②配方法(含有二次函数)③换元 ( y=ax+b+
2

4、x 轴上的角: ? = k ?

/>y 轴上的角: ? = k ? +

5、任意角的三角函数:点 p(x,y)是角 ? 终边上的任意的一点(原点除外),r 代表点到原点的距离, 则 sin ? =

? 其中 k ? z 2

y r

cos ? =

x y x tan ? = cot ? = r x y

二正弦

一全正

2

cx ? d ) ④ 逆 求 法 ( 知 道 某 变 量 的 范 围 ) ⑤ 判 别 式 法 求函数的值 ax ? bx ? c (y= 2 (ad ? 0) )⑥导数法(连续函数)⑦不等式法(一正 域 dx ? ex ? f
恒成立问题 二定三相等) 。 f(x)>g(x)恒成立指 f(x)的最小值比 g(x)的最大值大。 f(x)〈g(x)恒成立指 f(x)的最大值比 g(x)的最小值小。 名 称 内
f ?( x) ? y? ? lim
?x ? 0

三正切 6、同角的基本关系: 倒数关系 tan ? ?cot ? =1 商数关系 sin ? / cos ? = tan ? 平方关系 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

四余弦

3

cos ? / sin ? = cot ?

编号 1 2






?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim . ? x ? 0 ?x ?x

7、诱导公式口诀:符号看象限,奇变偶不变。如: sin( 8、和角与差角公式 :

f ?( x )
直线方程的点斜式

3? ? ? ) ? ? cos? , 2

y-y0=k(x-x0)= f ?( x 0) (x-x0) ①C1=0 (C 为常数)② (xn)1=nxn-1 1 1 ③(Sinx) =cosx④(cosx) =-sinx ①和差(u ? v) =u ? v
1 1 1

(n ? Q)

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 变用:tan ? ±tan ? =tan( ? ± ? )(1 ? tan ? tan ? ) 1 ? tan ? tan ?
9、二倍角公式: sin2α =2sinα cosα .

3 4

常见四种函数的导数 导数的四则运算法则

u u 1v ? uv1 ②积(uv) =u v+uv ③商( )1= (v≠0) v v2
1 1 1

5

一般地,函数 f(x)在某个区间可导 ,f1(x) >0 f(x)在这个区间是增函数 1 一般地,函数 f(x)在某个区间可导 ,f (x)〈0 f(x)在这个区间是减函数 一般地,函数 f(x)在某个区间可导, f(x)在这个区间是增函数 f1(x)≥0 一般地,函数 f(x)在某个区间可导, f(x)在这个区间是减函数 f1(x)≤0 一般地,连续函数 f(x)在点 x0 处有极值 f1(x0)=0

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
变用:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

10、合一变形:

6 7

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(辅助角φ 所在象限由点(a,b)的象限决定, tan ? ?

求函数的极值的一般步骤: (1)求导(2)解 f1(x)=0(3)列表确定极值。 一般地,函数在 f(x)点 x0 连续时,如果 x0 附近左侧 f1(x0)>0,右侧 f1(x0)<0,那么 f(x0)是极大值。一般地,函数在 f(x)点 x0 连续时,如果 x0 附近左侧 f1(x0)<0,右侧 f1(x0)>0,那么 f(x0)是极小值。 函数在区间内只有一个点使 f1(x)=0 成立,如果函数在这点有极大(小)值,那么 不与端点值比较,也可以说这就是最大(小)值。如果没有一个点使 f1(x)=0 成立, 则这个函数在这个区间必定单调递增或单调递减。 F1(x0)表示函数图象在点 x0 处的切线的斜率 S1(t)表示物体在时刻 t 处的瞬时速度

b ). a

11.三角函数的周期公式 函数 y=sin(ω x+φ ),x∈R 及函数 y=cos(ω x+φ ),x∈R(A,ω ,φ 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

2?

8 9 10

?



函数 y=tan(ω x+φ ), x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω ,φ 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? ?
1

12、三角函数的值域最值的求法:

① 对于形如 a sin ? ? b cos ? 的三角函数可以先进行合一变形,然后考虑角的范围,利用三角函数 的图象求出函数的值域最值。 ② 对于形如 y=asin2 ? +bsin ? +c 的函数,可以用换元法,令 sin ? =t,(注意 t 的范围)转化成二次 函数来求函数的值域和最值。 ③ 对 于 含 有 sin ? ? cos? , sin ? ? cos?
2

4、等差数列{an}中,如果 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,特殊地,2m=p+q 时,则 2am= ap+aq,am 是

ap、aq 的等差中项。 等比数列{an}中,如果 m+n=p+q,则 aman=apaq,特殊地,2m=p+q 时,则 am2= apaq,am 是 ap、aq 的等比中项。
的 函 数 可 以 用 换 元 法 , 令

5、等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即 Sm,S2m-m,S3m-2m 成等差数列。 等比数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等比数列,即 Sm,S2m-m,S3m-2m 成等比数列。

s i? n ?c o ?? s t , 则 s i? c n o ?? s
域和最值。 14、三角函数的单调区间:

t ?1 , (注意 t 的范围)转化成二次函数来求函数的值 2

6、等差数列{an}中,其前 n 项和 Sn=An2+Bn,当公差 d=0 时,A=0,当公差 d>0 时,A>0,当公 差 d<0 时,A<0。
7、数列的通项的求法:已知 Sn=f(n)或 f(an)用分步讨论法;已知 an=pan-1+q (p,q 为常数)用换元法; 已知 an- an-1= f(n)用叠加;已知 an/ an-1= f(n)用叠乘。 8、数列求和的方法:一套二分三拆四错五倒,最后一定要牢记,公比为 1 不为 1 已知数列是等差或等比直接套公式;已知 an=bn+cn(bn、cn 等差或等比)

? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; 2 2? 2 2? ? ?
y ? cos x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 函 数

(其中A ? 0,? ? 0) y ? A s i n? (x ? ? ) ? B 的最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频

1 (bn 等差)已知 an= bn·cn(bn 等差、cn 等比)用错位相减。 bn c n n(n ? 1)( 2n ? 1) 9、12+22+32+42+…+n2= 6
已知 an= 立体几何公式和重要结论

? ? 率是 f ? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? ( k ? Z ) ,凡是该 2? 2
图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。 数列公式和重要结论

编号 1 2

公式名称 线面角 二面角 点面距(P 点 到平面的距 离) 体积、面积 长方体的对 角线

内 sin ? =∣cos<
? ?



AB, n ? ∣
? ?

?

?

? =〈 m, n ? 或 ? -〈 m, n ?
h=│PA││ cos ? PA, n ? │ V 球=4/3 ? R V 椎=1/3 Sh S 球=4 ? R
? ?

1、等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
其前 n 项和公式 sn ?

3 4 5

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2
(q≠0)

3

V 柱=Sh

2

2、等比数列的通项公式:an= a1qn-1

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1
3、 an ? ?

L= a 2 ? b 2 ? c 2

解析几何公式和重要结论 1、抛物线标准方程的四种形式是: y ? 2 px,y ? ?2 px, x ? 2 py,x ? ?2 py。
2 2 2 2

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2

2、抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标是: ?
2

p ?p ? , 0 ? ,准线方程是: x ? ? 。 2 ?2 ?
2

若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y ? 2 px 上一点, 则该点到抛物线的焦点的距离 (称为焦半径) 是:x 0 ?
2

p , 2

AB ? (1 ? m 2 )( y1 ? y 2 ) 2 。
向量重要公式和结论 1、 共线向量定理:对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 2、 如果 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 3、 如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 4、 实数与向量的积λ a, 当λ >0 时, λ a 与 a 同向, 且|λ a|=λ |a|; 当λ <0 时, λ a 与 a 反向, 且|λ a|=| λ ||a|。 5、 向量 a、b 的数量积 a·b=|a|| b |cos< a, b> 6、 向量 a、b 的夹角 cos< a, b>=
2

过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 2 p 。

x2 y2 y2 x2 3、椭圆标准方程的两种形式是: 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 a b a b
(a ? b ? 0) 。
c x2 y2 a2 0) ,准线方程是 x ? ? 4、椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c, ,离心率是 e ? ,通径 a c a b

a ?b ab

2b 2 2 2 2 的长是 。其中 c ? a ? b 。 a x2 y2 5、若点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1、F2 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的 a b
长是 PF 1 ? a ? ex0 和 PF 2 ? a ? ex0 。

7、

a

2

?

a

=a?a

8.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 9.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

6、双曲线标准方程的两种形式是:

x y y x ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 。 2 a b a b

2

2

2

2

10.线段的定比分公式

? 是实数, P( x, y ) 是线段 PP 设P 且 PP P2 ( x2 , y2 ) , 1 ( x1 , y1 ) , 1 2 的分点, 1 ? ? PP 2 ,

??? ?

????

7、 双曲线

c x2 y2 a2 2b 2 e ? ? ? 1 x ? ? ( ? c , 0 ) 的焦点坐标是 , 准线方程是 , 离心率是 , 通径的长是 , a c a a2 b2

x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? 则? ( ? ? ?1) y ? ? y 1 2 ?y ? ? 1? ? ?
' ' ???? ??? ? ????' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ' ? ? OP ? OP ? PP (图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移 ? ' ' y ? y ? k y ? y ? k ? ? ? ? ???? ' ' ' ' 后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) ). a b c ? ? ? 2R . 12.正弦定理 sin A sin B sin C

渐近线方程是

x2 y2 ? 2 ? 0 。其中 c 2 ? a 2 ? b 2 。 2 a b

11.点的平移公式 ?

8、与双曲线

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1共 ( ? ? 0 ) 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 a2 b2 a2 b2 a2 b2 x y ? 2 ? 1。 2 a ?k b ?k
2 2

变形公式:a=2RsinA SinA=

b=2RsinB

C=2RsinC

a b c SinB= SinC= 2R 2R 2R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? c ? a ? 2ca cos B c ? a ? b ? 2ab cos C . AB ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ; 9、 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线交于两点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则弦长为 b2 ? c2 ? a2 变形公式:cosA= 等 2bc 若直线 x ? my ? t 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为
焦点的双曲线系方程是
3

14.面积定理(1) S ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2

15、在△ABC 中: sin(A+B)=sinC

cos(A+B) ? -cosC tan(A+B) ? -tanC

A? B C A? B C A? B C sin ? cos cos ?sin tg ? ct g 2 2 2 2 2 2 tan A ? t aB n? t C an ? tA a? n B t ?a n C t a n
16.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的 重心的坐标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
向量重要公式和结论

2 2 2 17、如果 A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2)则∣ AB ∣= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )

1、两个正数的均值不等式是:

a?b ? ab 2 a?b?c 3 ? abc 三个正数的均值不等式是: 3
n 个正数的均值不等式是:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n n

2、两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

1、 双向不等式是: a ? b ? a ? b ? a ? b 左边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号,右边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号。

聪明在于学习 知识在于积累

4


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