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揭阳市2014届高中三年级学业水平考试(理数)

时间:2014-03-04


绝密★启用前

揭阳市 2014 届高中三年级学业水平考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 i(i ? 1) 对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合 A ? {x | y ? lg( x ? 3)}, B ? {x | x ? 2} ,则下列结论正确的是 A. ?3 ? A B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B

3.“ ? ? ? ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为奇函数的” A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4. 向量 BA ? (?1, 2), BC ? (3, 4), 则 AC ? A. (4, 2) B. (?4, ?2) C. (2, 6) D. (?4,2) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

??? ?

??? ?

????

5. 若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a 2 b2
1

A. ?2

B. ? 2

C. ?

1 2

D. ?

2 2

x ?1 ? ? 6. 已知约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为 ? kx ? y ? 0 ?
A.1 B. ?1 C.0 D. ?2

7. 图(1)中的网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画 出了某多面体的三视图,则该多面体的体积为 A. 4 B. 8
2

正视图

侧视图

C. 16

D. 20

8. 已知 f ( x) ? 2 x ? px ? q , g ( x ) ? x ?

4 是定义在集合 x

俯视图 图(1)

5 M ? {x |1 ? x ? } 上的两个函数.对任意的 x ? M ,存在常数 x0 ? M ,使得 f ( x) ? f ( x0 ) , 2
g ( x) ? g ( x0 ) ,且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) .则函数 f ( x) 在集合 M 上的最大值为
A.

9 2

B.4

C. 6

D.

89 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9. ( x ? 1) 的展开式中 x 的系数是
10

2

. (用数字作答) .

10. 若命题: “对 ?x ? R, kx ? kx ? 1 ? 0 ”是真命题,则 k 的取值范围是
2

11. 设函数 f ( x) ? ?

? ?

x ,x ?0

? ? ?x , x ? 0

,若 f (a) ? f (?1) ? 2 ,则实数 a ?



12. 图(2)是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图,其中一个 数字被污损;则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .

13.由恒等式: 1 ? 2 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? ? ? 3 .可得 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ? ;进

而还可以算出 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? ? 、 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? 8 1 ? ? 的值, 并可归纳

猜想得到 1 ? n 1 ? ( n ? 1) 1 ? ( n ? 2) 1 ? ( n ? 3) 1 ? ? ?

. ( n ? N *)

2

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,已知点 P 为方程 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 所表示的曲线上一 动点, Q ? 4,

? ?

??

? ,则 PQ 的最小值为 3?



15. (几何证明选讲选做题)如图(3) ,已知 AB 是圆 O 的直径, C 是 AB 延长线上一点,CD 切圆 O 于 D,CD=4,AB=3BC, 则圆 O 的半径长是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设数列 ? an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? log3 ( 17. (本小题满分 12 分) 根据空气质量指数 AQI (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

3n ) ? log3 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 S n . 2

AQI (数值)
空气质量级别 空气质量类别
空气质量类别颜色

0 ? 50
一级 优 绿色

51 ? 100
二级 良 黄色

101 ? 150
三级 轻度污染 橙色

151 ? 200
四级 中度污染 红色

201 ? 300
五级 重度污染 紫色

? 300
六级 严重污染 褐红色

某市 2013 年 10 月 1 日—10 月 30 日,对空气质量指数 AQI 进行监测,获得数据后得到如图(4)的 条形图: (1)估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ? 为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求 ? 的分布列.
3
10 8 6 4 2 0

天数

空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级

图(4)

18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 cos(

?
3

? A) ? 2cos A, 求 A 的值;

(2)若 cos A ? , 且△ABC 的面积 S ? 19. (本小题满分 14 分)

1 3

2c 2 ,求 sin C 的值.

如图(5),已知 A, B, C 为不在同一直线上的三点,且 AA1 / / BB1 / / CC1 ,

AA1 ? BB1 ? CC1 .
(1)求证:平面 ABC //平面 A1 B1C1 ; (2)若 AA1 ? 平面 ABC ,且 AC ? AA1 ? 4 , BC ? 3, AB ? 5 , 求证:A1C 丄平面 AB1C1

(3)在(2)的条件下,求二面角 C1-AB1 -C 的余弦值.
20.(本小题满分 14 分)
y B

x2 y 2 如图(6) ,已知 F (c,0) 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点; a b

x E O F D

? F : ( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 与 x 轴交于 D, E 两点,其中 E 是椭圆 C 的左焦点.
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 ? F 与 y 轴的正半轴的交点为 B ,点 A 是点 D 关于 y 轴的对称点, 试判断直线 AB 与 ? F 的位置关系; (3)设直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 G ,若 ?BGD 的面积为 21. (本小题满分 14 分) 已知 x ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ?

图(6)

24 6 c ,求椭圆 C 的标准方程. 13

ax x ?1

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当 f ( x) 有两个极值点(设为 x1 和 x2 )时,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x ?1 ? [ f ( x) ? x ? 1] . x

4

参考答案
一.选择题 CDAA BACC 解析:8.依题意知,两个函数的图象有共同的最低点,由 g ( x) ? x ?

4 4 ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? 2 x x
2

“=” 成立, 故两函数图象的最低点为 (2,4) , 由此得 p ? ?8, q ? 12 , 所以 f ( x) ? 2 x ? 8 x ? 12 ,

f ( x) 在集合 M 上的最大值为 f (1) ? 6 ,选 C.
二.填空题:9.45;10. ?4 ? k ? 0 ;11. ?1 12.

4 ;13.4、 n ? 1;14. 5

6 ;15. 3.

解析:12.设被污损的数字为 x( x ? N ) ,则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得,

88 ? 89 ? 92 ? 91 ? 90 ? 83 ? 83 ? 87 ? 99 ? 90 ? x ,解得 0 ? x ? 8 ,即当 x 取 0,1,??,7 时符合题
意,故所求的概率 P ?

8 4 ? . 10 5

13. 设 1 ? 3 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? ? ? x,则依题意可得 1 ? 2 x ? 3, 解得 x ? 4 ,

类似地可得 1 ? 4 1 ? 5 1 ? 6 1 ? 7 1 ? ? =5,??,由此可猜测

1 ? n 1 ? (n ? 1) 1 ? (n ? 2) 1 ? (n ? 3) 1 ? ? ? n ? 1.
三.解答题: 16.解: (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ,由 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 12 , 得 2q ? 2q ? 12 ? 0 ,即 q ? q ? 6 ? 0 .-------------------------------------------------------------3 分
2 2

解得 q ? 3 或 q ? ?2 ,--------------------------------------------------------------------------------------5 分 ∵ q ? 0 ∴ q ? ?2 不合舍去,∴ an ? 2 ? 3 (2)由 bn ? log3 (
n ?1

;---------------------------------------------------------6 分

3n ) ? log3 an 得 2

bn ? log3 (

3n ? 2 ? 3n ?1 ) ? log 3 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,----------------------------------------------------------8 分 2

∴数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 2 的等差数列,-----------------------------------------------------9 分
5

∴ S n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

?

2(3n ? 1) n(1 ? 2n ? 1) ? ? 3n ? 1 ? n2 .-----------------------------------------------------------12 分 3 ?1 2

17.解: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为 6, ---------------------------1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P ?

6 1 ? .------------------------------------4 分 30 5

(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,----------------------------------------------------------------------5 分 则 P ?? ? 0 ? ?
2 C26 65 ? ,--------------------------------------------------------------------------------7 分 2 C30 87

P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ?

1 1 C4 C26 104 ? ,--------------------------------------------------------------------------------9 分 2 C30 435 2 C4 2 ? -----------------------------------------------------------------------------------11 分 2 C30 145

所以 ? 的分布列为:

?
P

0
65 87

1
104 435

2
2 145

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 分 18.解: (1)由 cos( A ? 得 cos A cos

?
3

) ? 2cos A,

?
3

? sin A sin

?
3

? 2cos A, -------------------------------------------------------------------2 分
3 sin A? 3 cA o,----------------------------------------------s 4分

1 3 ? cos A ? sin A ? 2 cos A, 2 2

∴ tan A ? 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∵0? A?? ∴A?

?
3

;-----------------------------------------------------------------------------------7 分

(2)解法 1:? cos A ? ∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

1 ? , ∴0 ? A ? 3 2
2 2 , -----------------------------------------------------------------------------8 分 3

6

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c -----------12 分

由正弦定理得:

2 2c c a c ,即 ? ? sin A sin C sin A sin C

? sin C ?

sin A 1 ? .----------------------------------------------------------------------------------14 分 2 2 3

【解法 2:? cos A ?

1 ? , ∴0 ? A? 3 2
2 2 , -----------------------------------------------------------8 分 3

∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c -----------12 分 ∵ a ? c ? 8c ? c ? 9c ? b ,∴△ABC 是 Rt△,角 B 为直角,------------------------------13 分
2 2 2 2 2 2

c 1 ? .--------------------------------------------------------------------------------------------14 分】 b 3 1 ? 【:解法 3:? cos A ? , ∴ 0 ? A ? 3 2 ? sin C ?
∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 , ------------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,----------------------------------------------------------10 分 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,∴ a ? 2 2c ----------------12 分 又S ?

1 1 1 ab sin C ? 2c 2 ,得 ? 2 2c ? 3c ? sin C ? 2c 2 ,∴ sin C ? .-----------------------14 分】 2 2 3 1 ? 【解法 4:? cos A ? , ∴ 0 ? A ? 3 2
∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 2 , -----------------------------------------------------------------------------8 分 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc 得 b ? 3c ,------------------------------------------------------10 分 2 3
7

由正弦定理得:

b c ,则 3sin C ? sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ,--11 分 ? sin B sin C
2 2 1 cos C ? sin C , 3 3

3sin C ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C , 3sin C ?
2 2

整理得 cos C ? 2 2 sin C ,代入 sin C ? cos C ? 1 ,得 sin 2 C ? 由c ? b知0 ? C ?

?
2

1 ,-------------------------13 分 9

,

1 ? sin C ? .------------------------------------------------------------------------------------------------14 分】 3
19.解:(1)证明:∵ AA1 / /CC1 且 AA1 ? CC1 ∴四边形 ACC1 A1 是平行四边形,-------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∴ AC / / A1C1 ,∵ AC ? 面 A1 B1C1 , A1C1 ? 面 A1 B1C1 ∴ AC / / 平面 ABC 1 1 1 ,--------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分 同理可得 BC / / 平面 ABC 1 1 1 ,又 AC ? CB ? C , ∴平面 ABC //平面 ABC 1 1 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------4 分
(2)证法 1: ∵ AA1

? 平面 ABC , AA1 ? 平面 ACC1 A1 ∴平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,---------------------5 分

平面 ACC1 A1 ∵ AC ∴ BC ∴ BC

? 平面 ABC = AC ,
∴ AC
2

? 4 , BC ? 3 , AB ? 5

? BC 2 ? AB2

∴ BC ?

AC

--------------------------6 分

? 平面 ACC1 A1 ,--------------------------------------------------------------------------------------- 7 分
? AC ,∵ BC / / B1C1 ∴ B1C1 ? A1C 1

又 AA1 ? AC , AC ? AA1 得 ACC1 A1 为正方形,∴ A1C ? AC1 ----------------------------------- 8 分 又 AC1 ? B1C1 ? C1 ,

∴A1C 丄平面 AB1C1-------------------------------------------------------------------------------------------9分 【证法 2:∵ AC ? 4 , BC ? 3 , AB ? 5
∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 ∴ BC ?
8

AC ,---------------5 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , AA / /CC 1 1

∴ CC1 ? 平面 ABC ---------------------------------------------6分 z
C1 A1 y B1

以点 C 为原点,分别以 AC、CB、CC1 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系如图示,由已知可 A(4, 0, 0), B(0,3, 0), C (0, 0, 0), A1 (4, 0, 4) ,

B1 (0,3, 4), C1 (0, 0, 4) ,

C A x

B

???? ???? ????? 则 A1C ? (?4, 0, ?4), C1 A ? (4, 0, ?4) , C1 B1 ? (0,3, 0) ------------------7 分
∵ A1C ? C1 A ? 0, A1C ? C1B1 ? 0,

???? ????

???? ???? ?

∴ A1C ? C1 A, A1C ? C1B1 ---------8 分

又 C1 A ? C1B1 ? C1 , ∴ A1C ? 平面 AB1C1 .---------------------------------------------------------- 9 分】 (3)由(2)得 CA ? (4,0,0), CB1 ? (0,3, 4) ,------------------------------------------------------------10 分 设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则由 CB1 ? n, CA ? n 得 ?

??? ?

????

????

??? ?

?3 y ? 4 z ? 0 , ?4 x ? 0

令 y ? 4 得 n ? (0, 4, ?3) ------------------------------------------------------------------------------------12 分

???? 由(2)知 AC 1 是平面 AB1C1 的法向量,∴ cos ? n, A 1C ??

???? n ? A1C 12 3 2 ? ? , | n | ? | A1C | 20 2 10

即二面角 C1-AB1 -C 的余弦值为 (其它解法请参照给分)

3 2 .---------------------------------------------------------------------14 分 10

20.解:(1)∵圆 F 过椭圆 C 的左焦点,把 (?c,0) 代入圆 F 的方程,得

4c 2 ? a 2 ,故椭圆 C 的离心率 e ?
2 2 2

c 1 ? ;-------------------------------------------------------------- 3 分 a 2
2 2 2 2

(2) 在方程 ( x ? c) ? y ? a 中令 x ? 0 得 y ? a ? c ? b ,可知点 B 为椭圆的上顶点, 由(1)知,

c 1 ? ,故 a ? 2c, b ? a 2 ? c 2 ? 3c ,故 B (0, 3c) ,--------------------------4 分 a 2

在圆 F 的方程中令 y=0 可得点 D 坐标为 (3c,0) ,则点 A 为 (?3c, 0) ,--------------------------5 分

于是可得直线 AB 的斜率 k AB ?

3c 3 ? ,---------------------------------------------------------- 6 分 3c 3

而直线 FB 的斜率 k FB ?

3c ? ? 3 ,------------------------------------------------------------------7 分 ?c

9

∵ k AB ? kFD ? ?1 , ∴直线 AB 与 ? F 相切。--------------------------------------------------------------------------------------- 8 分 (3)椭圆的方程可化为 3x ? 4 y ? 12c
2 2 2

由(2)知切线 AB 的方程为 y ?

3 x ? 3c ------------------------------------------------------------ 9 分 3

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 24 5 3 ? 解方程组 ? ,得点 G 的坐标为 (? c, c) ----------------------------------11 分 3 13 13 y ? x ? 3 c ? 3 ?
而点 D(3c, 0) 到直线 AB 的距离 d ?

| 2 3c | ? 3c ,------------------------------------------------- 12 分 1 1? 3

由 S ?BGD ?

1 1 24 5 3 24 3 2 24 6 ? | BG | ?d ? ? ( c) 2 ? ( c ? 3c) 2 ? 3c ? c ? c 2 2 13 13 13 13

解得 c ? 2 ,-------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 分 ∴椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 .------------------------------------------------------------------------ 14 分 8 6
1 a x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ? ,------------------------------------------2 分 x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2

21.解: (1)∵ f '( x) ?

x ? 0 ,考虑分子 x 2 ? (a ? 2) x ? 1
当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上单调
2

递增;--------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分 当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? 4 时,方程 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个解不相等的实数根:
2
2

x1 ?

(a ? 2) ? (a ? 2) 2 ? 4 (a ? 2) ? (a ? 2) 2 ? 4 , x2 ? ,显然 0 ? x1 ? x2 ,---------------4 分 2 2

∵当 x ? (0, x1 ) 或 x ? ( x2 , ??) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f '( x) ? 0 ;

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a , ) 上单调递减,-------------------------------5 分 ∴函数 f ( x) 在 ( 2 2

10

a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a )和( , ??) 上单调递增. -------------------------------6 分 在 (0, 2 2
(2)∵ x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点,故满足方程 f '( x) ? 0 , 即 x1 , x2 是 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 的两个解,∴ x1 x2 ? 1 ,----------------------------------------------7 分
2

∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln x1 ?

ax1 ax2 ? ln x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 a(2 x1 x 2? x 1 ? x )2 ? ?a -------------------------------------------------9 分 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

? ln( x1 x2 ) ?
而在 f ( x) ? ln x ?

ax x ?1 中, ?a ? ? [ f ( x) ? ln x] -----------------------------------------------10 分 x ?1 x x ?1 因此,要证明 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? [ f ( x) ? x ? 1] , x x ?1 x ?1 等价于证明 ? [ f ( x) ? ln x] ? ? [ f ( x) ? x ? 1] x x
注意到 x ? 0 ,只需证明 f ( x) ? ln x ? f ( x) ? x ? 1 即证 ln x ? x ? 1------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 令 g ( x) ? ln x ? x ? 1,则 g '( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 因此 g ( x)max ? g (1) ? ln1 ? x ? 1 ? 0 ,从而 g ( x) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1,原不等式得证.---14 分

11


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