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江西省高安中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题(创新班)

时间:2016-03-22


江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期中考试 高一年级创新班数学试题
一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. ) 1. cos(

2015? ) 的值等于( 3
B.?



A.

1 2

1 2
?

C.

3 2

D.?

3 2


2.已知点 M (5, ?6) 和向量 a ? (1, ?2) ,若 MN ? ?3a ,则点 N 的坐标为( A. (?3, 6) B. (2, 0) C. (6, 2) D. (?2,0)

???? ?

?

3. 在 ?ABC 中, AB ? c, AC ? b 若 点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

? ? ???

?

??? ?

????

????



2? 1? 5? 2? 2? 1? 2? 2? b? c c? b b? c B. C. c ? b D. 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? 2 sin ? ? cos ? 4.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (1, ?2) ,若 a / / b ,则代数式 的值是( ) sin ? ? cos ? 5 3 3 A. B. C. 5 D. 2 4 2
5.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ?

?

2

) 图像的一部分.为了得到这个函
)

数的图像,只要将 y ? sin x (x∈R)的图像上所有的点(

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变. 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变. 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变. 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变. 6 6.已知 ?bn ? 是正项等比数列,且 log2 b1 ? log2 b2 ? ? ? log2 b2015 ? 2015,则 b3 ? b2013 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8

7.已知向量 a , b 的夹角为 是( A. 2 ) B. 3

?
4

,且 a ? 4 , ( a ? b) ? (2a ? 3b) ? 12 ,则向量 b 在向量 a 方向上的投影

1 2

C. 4 2

D. 1

1

8.设 ?ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m= ( 3sin A,sin B), n= (cos B, 3 cos A), 若 m·n=1+

cos( A ? B) ,则 C=(
A.

). B.

2? 5? ? C. D. 3 6 3 9. . 已 知 函 数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x , 如 果 存 在 实 数 x1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有

? 6

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2015) 成立,则 ? 的最小正值为(
A.

) D.

1 2015

B.

1 4030

C.

?
2015

?
4030
y C D F A M B E x

10 如图,已知圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、 F 分别

???? ??? ? 为边 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是(
A. ? ?6 2, 6 2 ?



?

?

B. ? ?6,6?

C. ? ?3 2,3 2 ?

?

?

D. ? ?4, 4?

O ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 11 .已知函数 f ? x ? ? ? x ?6 ,若数列 {an } 满足 an ? f ( n) (n? N? ) ,且对任意的正整数 (x ? 7) ?a m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取值范围是( ) 9 9 A. [ ,3) B. ( ,3) C. (1,3) D. ? 2,3? 4 4

12. 如 图 , 矩 形 An Bn Cn Dn的 一 边 An Bn 在 x 轴 上 , 另 外 两 个 顶 点 Cn , Dn 在 函 数

f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的图象上 . 若点 Bn 的坐为 (n , 0)( ,记矩形 n ? 2,n? N ? ) x
a2 4 a3 4 a4 4 a10 4

An Bn Cn Dn的周长为 an ,则 a2 ? 2 ? a3 ? 2 ? a4 ? 2 ???? ? a10 ? 2
A. 9 ? 2
13

?(
13



B. 9 ? 2 ? 32
14

C. 9 ? 2 ? 24
14

D. 9 ? 2 ? 24

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,若 a1 ? a2 ? ? ? a2015 ? 2015am (m ? N ? ) ,则 m ? _____. 14. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的两个相邻最值点为 ( 函数的解析式为 y ? ____________.

?
6

, 2), (

2? , ?2) ,则这个 3

15.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上是单调递增,若 f ( ) ? 0 , ?ABC 的内角 A 满 足 f (cos A) ? 0 则 A 的取值范围是 ____. 16.在 ?AOB 中, G 为 ?AOB 的重心,且 ?AOB ?

1 2

?
3

.若 OA ? OB ? 6 ,则 OG 的最小值是

??? ? ??? ?

????



三.解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n,都有 an ? 5sn ? 1 成立.
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 4

? 1 ? 1 , 求数列 ? ? 前 n 项和 Tn. an ? bn ? bn?1 ?
??? ?

18. (12 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a ? (2,1), A(1,0), B(cos? , t ), (1)若 a // AB ,且 AB ?

?

?
?

??? ?

??? ? ??? ? 5 OA ,求向量 OB 的坐标.
2

(2)若 a ⊥ AB ,求 y ? cos ? ? cos ? ? ( ) 的最小值.
2

??? ?

t 4

19. (12 分 ) 已 知 ?A B C中 , a, b, c 是 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , 关 于 x 的 不 等 式

x2 cos C ? 4x 1 ? cos2 C ? 6 ? 0 的解集是空集.
(1)求角 C 的最大值;

7 3 3 , ?ABC 的面积 S ? ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. 2 2 3? ? ? x) ? cos 2 ? x( ? ? 0) 的最小正周期为 T=π . 20. (12 分) 已知 f ( x) ? 3 sin(? ? ? x)sin( 2 2? ) 的值; (1)求 f ( 3
(2)若 c ? (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若 (2a ? c)cos B ? b cos C ,求求角 B 的大小 以及 f ( A) 的取值范围. 21. (12 分)某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC=25 3 米,为了便于 居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE,EF 和 OF, 考虑到小区整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥ OF,如图所示. (1)设∠BOE=α ,试将△OEF 的周长 l 表示成α 的函数关系式,并求出此函数的定义域. (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 400 元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用. 22. (12 分)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 (an?1 ? an )(2an ? an?1 ) ? 0 , 且 a2

? a4 ? 2a3 ? 4 ,其中

n? N* .
(1) 求数列 {an } 的通项公式; nan (2) 设数列 {bn } 满足 bn ? ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 b1 , bm , bn 成等比数列? (2n ? 1) ? 2 n 若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由。 (3) 令 cn ?

(n ? 1)2 ? 1 5 1 ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,其中 n ? N * ,证明: ? S n ? 。 16 2 n(n ? 1)an?2

3

高一年级创新班数学答案 一. 选择题 (每小题5分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A

二.填空题 (每小题 5 分,共 20 分) 13.1008 14 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

15. ?

? ? ? ? ? 2? ? , ??? ,? ? ?3 2? ? 3 ?

16.2

三.解答题 (本题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=5S1+1,∴a1=﹣ ,…(2 分) 又 an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1, an+1﹣an=5an+1, 即 =﹣ ,…(4 分)

∴数列{an}是首项为 a1=﹣ ,公比为 q=﹣ 的等比数列, ∴an= (Ⅱ)bn=log4| 所以 = ; …(6 分) |=log4|(﹣4) |=n,…(7) = ﹣ …(9 分) )]= …(10 分)
n

所以 Tn=[(1﹣ )+(

)+…+( ﹣

18. (12 分)(1)因为 AB =(cosθ -1,t),又 a∥ AB ,所以 2t-cosθ +1=0 所以 cosθ -1=2t. ①………2 分 又因为| AB |= 5 OA ,所以(cosθ -1) +t =5. ②
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

????

由①②得,5t =5,所以 t =1.所以 t=±1. ………3 分 当 t=1 时,cosθ =3(舍去), 当 t=-1 时,cosθ =-1, 所以 B(-1,-1),所以 OB =(-1,-1). ………5 分 (2)由 a ⊥ AB 可知 t=2-2cosθ ………7 分 所以 y=cos θ -cosθ +
2

2

2

??? ?

?

??? ?

(cos? ? 1) 2 4

4

5 3 1 cos 2 ? ? cos? ? 4 2 4 5 6 1 5 3 1 ? (cos 2 ? ? cos?) ? ? (cos? ? ) 2 ? , ………8 分………10 分 4 5 4 4 5 5 3 1 所以当cos? ? 时, y min ? ? .........10分 5 5 ?
2 18.(1)因为x2 cos C ? 4 x 1 ? cos2 c ? 6 ? 0解集为空集所以? ? (4 1 ? cos2 c) ? 24cos c ? 0

即2 cos2 c ? 3cos c ? 2 ? 0即(cos c ? 2)(2 cos c ? 1 ) ? 0 , cos c ?
所以 0 ? C ?

?

3 3 1 ? 3 = ab sin , (2) S ? ………………………………………………………7 分 2 2 3 得 ab ? 6 , ………………………………………………………8 分 49 121 ? a 2 ? b 2 ? ab , 从而得 ( a ? b) 2 ? 由余弦定理得: 4 4 11 则 a?b ? . ………………………………………………………12 分 2
20.(12 分)解:(1)∵f(x)= = sinω xcosω x﹣cos ω x=
2

…………..5 分即 C 的最大值为

? ………….6 分 3

1 ……..4 分 2

sin(π +ω x)sin(

﹣ω x)﹣cos ω x, )﹣ ………3 分

2

sin2ω x﹣ cos2ω x﹣ ,=sin(2ω x﹣

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π . 即: =π ,得 ω =1,………4 分 )﹣ ,∴f( )=sin(2× ﹣ ) =sin ﹣ =﹣1,…6 分

∴f(x)=sin(2x﹣

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC,∴由正弦定理可得:(2sinA﹣sinC)cosB=sinBsinC,………7 分 ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,………9 分 ∵sinA>0,∴cosB= ,∵B∈(0,π ),∴B= ∴2A﹣ ∈(﹣ , ),∴sin(2A﹣ ,∵A+C=π ﹣B= ,∴A∈(0, ), )

)∈(﹣ ,1],∴f(A)=sin(2A﹣

∈(﹣1, ] ………12 分

25 25 ,在 Rt△AOF 中,OF= .………2 分 cos? sin? 25 ? 2 2 , 当点 F 在点 D 时,角α 最小,α = , 在 Rt△OEF 中,EF= OE ? OF ? 6 sin?cos? ? 25(sin? ? cos? ? 1) , ………4 分 当点 E 在点 C 时,角α 最大,α = ,所以 l= 3 sin?cos? ? ? 定义域为[ , ].………5 分 6 3
21.(1)在 Rt△BOE 中,OE=
5

(2)设 t=sinα +cosα ,α ∈[

? ? 3 ?1 , ],所以 ? t ? 2, ………8 分 6 3 2

l?

25 ? t ? 1? 50 ? ? ? 50 t2 ?1 t ?1 ? 2

?

2 ? 1 ,50

? ?

3 ? 1 ? , ………11 分 ?

?

? 时, lmin=50( 2 +1),总费用最低为 20 000( 2 +1)元. ………12 分 4 22 解: (an?1 ? an )(2an ? an?1 ) ? 0 an ? 0 ,所以有 2an ? an?1 ? 0 ,即 2an ? an?1
所以当α = 所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列 由 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 得 2a1 …….2 分
n

从而,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 (n ? N ? ) 。 (2) bn ?

? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 。
………3 分

nan m 2 1 n n ) ? ( ), ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n ? 1) ? 2 2n ? 1 2m ? 1 3 2n ? 1 m2 n m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 即 .由 ,可得 , ? ? ? n m2 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3
6 6 。 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N* ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ?

故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 .使得 b1 , bm , bn 成等比数列。 (3) cn ?

…….7 分

? 1 ? n2 ? n n?2 (n ? 1)2 ? 1 1 n2 ? 2n ? 2 ? ? ? ? ? n?2 n ?1 n ?1 n ?1 ? n(n ? 1)2 2 n(n ? 1) ? 2 2 ? n(n ? 1)2 n(n ? 1) ? 2 ? ? 1? 1 1 1 ? ? n?1 ? ? n n ?1 ? 2 ?2 n ? 2 (n ? 1)2 ?

∴ Sn ?

? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? ? ? n?1 ) ? ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 (n ? 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) 2 ? 1? 1 1 1 n ? 2? 2 ? 1 ?1 ? ? ?2 ? ?1 ? ( ) n ?1 ? ? n ?1 ? 1 2 2 ? 2 (n ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 ? ? 1? 2 1 n ?1 n ? 2 1 1 1 n?2 1 1? 2 3 ? ( ) n ?1 (1 ? ) 递减,∴0< ( ) n ?1 ? ? ( )1?1 ? ? 易知 ( ) ? 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 2 1?1 8 5 1 1 n?2 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ? ]? ∴ …….12 分 16 2 2 n ?1 2

6


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