nbhkdz.com冰点文库

1.2正弦、余弦定理的应用举例


1.2正弦、余弦定理的应用举例
距离 高度 角度

一、测量距离
1、河两侧的两点间的距离

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点, C 测出 AC 的距离是55 m, ? BAC ? 51? , ? ACB ? 75? , 求 A、B 两点间的距离(精确到

0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形 AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得
AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC

51?

75?

AC sin ?ACB 55sin ?ACB AB ? ? sin ?ABC sin ?ABC 55sin 75 55sin 75 ? ? ? 65.7(m) sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54

A, B 两点间的距离为65.7米。 答:

2、河同侧两点间的距离
例2、A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。 转化为例1 B B 分析:用例1的方法可以在 在?ACD中,可求出AC长; 在?BCD中,可求出BC长;
AA
δ C

αβ β
D P a

γγ

在?ABC中,由AC、BC、 δ可求出AB长.

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D ,测得CD ? a , 并且在 C、D 两点分别测得, ?BCA ? ? , ?ACD ? ?
?CDB ? ? , ?BDA ? ? .在 ?ADC和 ?BDC 中,应用正弦定理

得 AC ?

a sin ? a sin ? BC ? ? sin ? ?180 ? (? ? ? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? )

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) A ? sin ? ?180 ? (? ? ? ? ? )? ? sin(? ? ? ? ? )
α D β γ

B

δ

a

C

计算出 AC 和 BC 后,再在 ?ABC 中,应用余弦定理计 算出 AB 两点间的距离

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线, 如例1中的 AC ,例2中的 CD .在测量过程中,要根据实际 需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一 般来说,基线越长,精确度越高. 例如,早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与 月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好 望角,测量计算 ? , ? 的大小和两地之间的距离 AB ,从 而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.(如图) 我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴 长.当然,随着科学技术的发展,还有一些更加先进与准确 A 的测量距离的方法.

?
?

B

图1.2-3

数学理论
仰角、俯角、视角 如图,当我们进行测量时,在视线与水平 线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫做俯角. 由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉 而成的角叫做视角.

1、一个竖直平面内的高度

二、测量高度

例3 :AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的办法 分析: 解直角三角形:


Rt△ACE和
Rt△ADE中, 列方程求解. 解斜角三角形:

D

β

C

α

E

斜△ADC求AC,Rt△ACE中,求AE.

G, H

例4 在山顶铁塔上 B 处测得地面 上一点 A 的俯角? =54? 40' ,在塔 底 C 处测得 A 处的俯角? =50?12' 。 已知铁塔 BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD (精确到1m) B
C
?

?
?

? 分析:根据已知条件,应该设
法计算出 AB 或 AC 的长 解:在 ?ABC 中
?BAD ? ? ??BAC ? ? ? ? ?BCA ? 90? ? ?
所以根据正弦定理,可得

D

A

BC AB ? sin(? ? ? ) sin( 90? ? ? )

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

B
C

?
?

解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? )

27.3 cos 50 1 sin 54 40 D ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177 (m) ?CD ? BD ? BC ? 177 ? 27.3 ? 149.7 ? 150(m)
?

? '

'

A

答:山的高度约为150米。

2、立体中的高度 例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧远处一山顶 D 在西偏北15°的方向上,行驶5km后到 达 B 处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角8°,求此 山的高度 CD .
D

C

25?

8?

15?

A
25
?

B

8?

15?

分析:要测出高 CD ,只要测出高所在的直角三角形的另一 条直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出 BC 的 长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧远处一山顶 D 在西偏北15°的方向上,行驶5km后到 达 B 处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角8°,求此 山的高度 CD .(长度精确到1m) D

解:在 ?ABC 中 ? ? ? ? ? C ? 25 ? 15 ? 10 ?A ? 15 , BC AB ? 根据正弦定理, sin A sin C

C

25?

8?

15?

A

B

AB sin A 5 sin 15? BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10
CD ? BC ? tan ?DBC ? BC ? tan8? ? 1047(m)
答:山的高度约为1047米。

三、测量角
例6 一艘海轮从 A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛 B ,然后从 B 出发,沿北偏东32°的方向航行 54.0n mile后到达海岛 C .如果下次航行直接从 A 出发到达 C , 此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到 0.1°,距离精确到0.01n mile)?

解:在 ?ABC 中
?ABC ? 180? ? 75? ? 32?
根据余弦定理,得

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 67.52 ? 54.02 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 cos137 ? ? 113.15

由正弦定理,得
BC AC ? sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC sin ?CAB ? AC 54.0sin137 ? ? 0.3255, 113.15
所以, ?CAB ? 19.0?

?75? ? ?CAB ? 56?
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.

四、三角形面积
1、面积公式 (1)、面积公式的推导 借助于正弦定理和余弦定理,我们可以进一步解决一些有关 三角形的计算问题,以及一些三角恒等式的证明问题. 在 ?ABC 中,边 BC , CA, AB 上的高分别记为 ha , hb , hc , 那么 C 容易证明: h ? b sin C ? c sin B
a

hb ? c sin B ? a sin C hc ? a sin B ? b sin A
hc

ha

hb

B A (2)、结论 1 根据三角形的面积公式 S ? ah ,应用以上高的公式 ha ? b sin C 2 可以推导出下面的三角形的面积公式: S ? 1 ab sin C

1 同理: S ? bc sin A, 2

1 S ? ca sin B 2

2

2、求三角形的面积 例7 在 ?ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积S
(精确到0.1cm? ) (1)已知 a ? 14.8cm, c ? 23.5cm, B ? 148.5? ; (2)已知 B ? 62.7? , C ? 65.8? , b ? 3.16cm;

(3)已知三边的长分别为a ? 41.4cm, b ? 27.3cm, c ? 38.7cm. 1 1 解: (1) S ? ca sin B ? ? 23.5 ? 14.8 ? sin148.5 ? 90.9(cm 2 ) 2 2 b sin C S ? 1 bc sin A ? 1 b 2 sin C sin A ? 4.0(cm 2 ). (2) A ? 51.5 , c ? , 2 2 sin B sin B c 2 ? a 2 ? b2 (3) cos B ? ? 0.7679,sin B ? 1 ? cos 2 B ? 0.6384, 2ca 1 S ? ca sin B ? 511.4(cm 2 ). 2

3、三角形面积公式的应用
例8 在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成 市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少(精确到0.1m? )? 解:设 a ? 68m, b ? 88m, c ? 127m ,根据余弦定理的推论,

c 2 ? a 2 ? b2 1272 ? 682 ? 882 cos B ? ? ? 0.7532, 2ca 2 ?127 ? 68

sin B ? 1 ? 0.75322 ? 0.6578. 1 应用S ? ca sin B, 得 2 1 2

S ? ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.4(m ). 2

答:这个区域的面积是2840.4m2 .

例9 在?ABC中,求证:

五、三角形中恒等式的证明

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ( 1 ) 2 ? ; 2 c sin C (2)a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(bc cos A ? ca cos B ? ab cos C ). 方法一:边化角 a b c 证明: (1)根据正弦定理,可设 sin A ? sin B ? sin C ? k 显然 k ? 0, a 2 ? b2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B 所以左边 ? ? ? ? 右边 2 2 2 2 c k sin C sin C 方法二:角化边 (2)根据余弦定理的推论, b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 右边 ? ( 2 bc ? ca ? ab ) 2bc 2ca 2ab

? a ? b ? c ? 左边
2 2 2

六、海上台风预报问题的研究
海上台风预报是天气预报中的一个重要课题,是一个庞大 的系统工程.作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生 命财产安全具有重要的意义。 例10、在某海滨城市附近海面有一台风,当前台风中心位于O 2 (如图1)的东偏南 ? (cos ? ? 10 ) 方向 300km 海面 P 处,并以 ? 20km / h 的速度向西偏北 45方向移动 .台风侵袭的范围为圆形 区域,当前半径为 60km ,并以10km / h的速度不断增大.问几个 小时后该城市开始受到台风的侵袭? O

Q

?


45
?



rP

设在时刻 t (h) 台风中心位于Q 如图所示,此时台风侵袭 的圆形区域的半径为10t ? 60(km) ,则时刻t 城市 O 受 OQ ? 10t ? 60 到台风侵袭的条件为

解:由余弦定理知 OQ2 ? PQ2 ? PO2 ? 2PQ PO cos ?OPQ 4 ? 容易计算得: cos ?OPQ ? cos(? ? 45 ) ? 54 2 2 2 于是可以得到 (20t ) ? 300 ? 2 ? 20t ? 300 ? ? (10t ? 60) 5 解得 12 ? t ? 24
答:12小时后该城市受到台风侵袭,24小时后风过天晴。
O
Q

O
?

?


45?

P

45

?



rP

练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在 A 处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到 B 处,在 B 处看灯塔在 船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这艘船可 以继续沿正北方向航行吗?

解:在 ?ASB 中,?SBA= 115?,?S ? 45?,
由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787(n mile) sin 45? sin 45? 设点S到直线AB的距离为h, 则h ? SB sin 65? ? 7.06(n mile)

h ? 6.5n mile ?此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6? 20' ,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). (1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6? 20' ,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). 已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC. 解:由余弦定理,得 最大角度

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ?1.95 ?1.40 ? cos66 20? ? 3.571

C
A

? BC ? 1.89(m)
答:顶杆BC约长1.89m。

B

回顾小结
解斜三角形应用中应注意的问题: (1)认真分析题意,将已知元素和未知元素弄 清楚,根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义,将 实际问题中的数量关系归结为数学问题. (3)在选择关系式时,一是要力求简便;二是 尽可能使用题中原有的已知数据,尽量减少计 算中误差的积累,并根据题目要求的精确度确 定答案及注明单位.


1.2.1正弦、余弦定理应用

1.2.1正弦余弦定理应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。学习方法报社 全新...我们将举例来说 明解斜三角形在实际中的一些应用 二、讲解范例:王新敞奎屯 ...

1.2.2正弦、余弦定理应用

1.2.2正弦余弦定理应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1.2.2正弦余弦定理应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...

1.2正弦定理和余弦定理的应用举例

3a 的军事基地 C 和 D 2 § 解三角形的应用举例 1.2 【学习目标】 姓名 审核:高一数学组 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测...

正余弦定理的应用举例教案

天津职业技术师范大学 人教 A 版数学必修 5 1.2 正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学 0701 田承恩 一、 教材分析本课是人教 A 版数学必修 5 第一章 ...

1.正弦定理余弦定理应用举例doc

1.正弦定理余弦定理应用举例doc_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§1.2 应用举例 一、基础知识填空 (一)在解决与三角形有关的实际问题时,经常出现一些有关的...

1.2.4正弦、余弦定理应用

学习方法报社 全新课标理念,优质课程资源 1.2.4 正弦、余弦定理复习学习目的: 1 进一步掌握利用正、余弦定理的应用。 2 熟练掌握并正确应用正弦余弦定理 学习重点...

1.2正弦定理和余弦定理的应用举例

1.2正弦定理和余弦定理的应用举例1.2正弦定理和余弦定理的应用举例隐藏>> 解三角形应用举例 1.2 解三角形应用举例 第二课时 一、教学目标 1、能够运用正弦定理...

第1章 解三角形 §1.2 正弦定理和余弦定理 应用举例(一)

第1章 解三角形 §1.2 正弦定理和余弦定理 应用举例(一)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§ 1.2 应用举例(一) 对点讲练 一、测量距离问题 例 1 要测...

1.2.2正弦、余弦定理应用

1.2.2正弦余弦定理应用_数学_高中教育_教育专区。正弦、余弦定理应用,高中数学,解三角形,优秀教案。英格教育文化有限公司 http://www.e-l-e.net.cn 全新课...