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2013年全国高考理科数学数列专题训练


2013 年高考理科数学数列专题训练
一、选择题 1 . ( 2013 年高考上海卷(理) )在数列{an } 中, an

? 2n ? 1 ,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素

ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j ,( i ? 1, 2,
(A)18
【答案】

A.

, 7; j ? 1, 2,
(C)48

,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(D)63

(B)28

2 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案(已校对) ) 已知数列

?an ? 满足

4 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3 1 (A) ?6 ?1 ? 3?10 ? (B) ?1 ? 3?10 ? (C) 3 ?1 ? 3?10 ? 9
【答案】C

(D) 3 1+3?10

?

?
,

3 ( .2013 年高考新课标 ( 1 理) ) 设 ?An Bn Cn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An Bn Cn 的面积为 S n , n ? 1, 2,3,

若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ? A.{Sn }为递减数列 C.{S2 n -1 }为递增数列,{S2 n }为递减数列 【答案】B

cn ? an b ? an ,则( ) , cn ?1 ? n 2 2
B.{Sn }为递增数列 D.{S2 n -1 }为递减数列,{S2 n }为递增数列

4 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) )函数 y =f (x) 的图像如图所示,在

区间 ? a,b ? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn

(A) ?3,4?
【答案】B

(B) ?2,3,4?

(C)

?3,4,5?

(D) ?2,3?

5 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 已知等比数列{an } 的公比为 q,

记 bn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m ,

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定正确的是(

)

A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q m C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q m
【答案】C
2

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q 2 m D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q m
m

6 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) ) 等比数列

?an ?的前 n 项

和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

【答案】C 7 . ( 2013 年高考新课标 1 (理) ) 设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ?

( A.3

) B.4 C.5 D.6

【答案】C 8 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 (理) 试题 (WORD 版) ) 下面是关于公差 d

? 0 的等差数列 ? an ?

的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2
【答案】D

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

(B) p3 , p4

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

9 . ( 2013 年高考江西卷(理) ) 等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24
【答案】A 二、填空题

B.0

C.12

D.24

10 . ( 2013 年高考四川卷(理) )在等差数列{an } 中, a2

? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求数列 {an } 的

首项、公差及前 n 项和.
【答案】解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 sn .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? .
2

所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 ,

解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2

11 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) ) 等差数列

?an ?的前 n 项

和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为________.
【答案】 ?49 12( .2013 年高考湖北卷 (理) ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,,

第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形 2 2 2
1 2 1 n ? n 2 2

数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N ? n,3? ?

N ? n, 4 ? ? n 2
N ? n,5? ? 3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ___________. 选考题
【答案】1000 13 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )在正项等比数

列 {an } 中 , a5 ? _____________.
【答案】12

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ? an 的 最 大 正 整 数 n 2

的值为

14 . ( 2013 年高考湖南卷(理) ) 设 S n 为数列

?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ?

1 , n ? N ?, 则 2n

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S 2 ? ??? ? S100 ? ___________.
【答案】 ?

1 1 1 ? 1) ; ( 16 3 2100

15 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 当 x ? R,

x ? 1 时,有如下表达

式: 1 ? x ? x ? ... ? x ? ... ?
2 n

1 . 1? x

两边同时积分得:

?

1 2 0

1dx ? ? xdx ? ? x dx ? ... ? ? x dx ? ... ? ?
2 n

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 dx. 1? x

从而得到如下等式: 1?

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ... ? ? ( ) n ?1 ? ... ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 1 1 2 1 1 1 n ? ? C n ? ( ) 2 ? C n ? ( )3 ? ... ? ? ( ) n ?1 ? _____ C n 2 2 2 3 2 n ?1 2 1 3 【答案】 [( ) n ?1 ? 1] n ?1 2

C

0

n

16 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) ) 已知

?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差

d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____
【答案】 64 17 . ( 2013 年上海市春季高考数学试卷 (含答案 ))若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n

项和 S n = __________.
【答案】

5 2 7 n ? n 6 6

18( .2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) 卷 (纯 WORD 版) ) 在等差数列

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,



3a5 ? a7 ? _____.

【答案】 20 19 . ( 2013 年高考陕西卷(理) ) 观察下列等式:

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10
n ?1 2 2 2 n -1 2 ( - 1) 1 2 ? 3 ? ? ( 1 ) n ? n(n ? 1) ____. 照此规律, 第 n 个等式可为___ 2 n ?1 n -1 2 ( - 1) - 2 2 ? 32 - ? ? ( - 1) n ? n(n ? 1) 2

【答案】 1

2

20 . ( 2013 年高考新课标 1 (理) ) 若数列 { an } 的前 n 项和为 Sn =

2 1 an ? , 则数列 { an } 的通项公式是 3 3

an =______.
【答案】 an = ( ?2)
n ?1

.

21 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 试题 (纯WORD 版) ) 如图,互不-相同的点 A1 , A2

, Xn,

和 B1 , B2

, Bn ,

分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积均相等.设

OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是_________.

【答案】 a n

? 3n ? 2 , n ? N *

22 . ( 2013 年高考 北京卷(理 ) ) 若等比数列 {an }满足 a2 +a4 =20,a3 +a5 =40, 则公比 q=_______; 前 n 项和

Sn =___________.
【答案】2,

2n ?1 ? 2

23 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )已知等比数列

?an ? 是递增数列, Sn

是 ?an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________.
【答案】63 三、解答题 24 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 设函数

f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 ? ? 22 32
n

?

xn ( x ? R, n ? N n ) ,证明: n2
2 3

(Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (Ⅱ)对任意 p ? N n ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n

【答案】解: (Ⅰ)

? 当x ? 0时,y ?

xn x2 x3 x4 xn 是单调递增的 ? f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? 是 n n2 2 2 32 4 2 n2

x 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

? 存在唯一x n ? (0,1], 满足f n ( x n ) ? 0,且1 ? x1 ? x 2 ? x3 ? x n ? 0
x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2

? 0 ? f n ( x n ) ? ?1 ? x n ?

xn 1 2 ? ? ( x n ? 2)(3 x n ? 2) ? 0 ? x n ? [ ,1] 4 1 ? xn 3

2

综上,对每个 n ? N n ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕) (Ⅱ) 由题知 1 ? x n ? x n ? p ? 0, f n ( x n ) ? ?1 ? x n ?

2 3

xn x x x ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 2 3 4 n

2

3

4

n

f n ? p ( x n ? p ) ? ?1 ? x n ? p ?


xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

???

xn? p n2
3

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2
4

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2
n ?1

?0 上 式 相
:

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p x x x x x n ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? x n ? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ??? 2 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) (n ? p) 2

2

n

n? p

xn - xn? p ? (
?

xn? p - xn 22

2

2

?

xn? p - xn 32

3

3

?

xn? p - xn 42

4

4

???

xn? p - xn n2

n

n

) ? (

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2



1 1 1 1 ? ? ? x n - x n? p ? . n n? p n n

法二:

25 . ( 2013 年高考上海卷(理) ) (3 分+6 分+9 分)给定常数 c ? 0 ,定义函数

f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | ,

数列 a1 , a2 , a3 ,

满足 an ?1 ? f (an ), n ? N * .

(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an ?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,
【答案】:(1)因为 c ? 0 , a1

an ,

成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明理由.

? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c =0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an ?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an ?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c ?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ? a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意;

若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,

, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意;

综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .
26 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 本小题满分

10 分.
k个







1,- 2,- 2, 3, 3, 3 ,- 4 ,- 4 ,- 4 ,?an ?:

k -1 k -1 4 , , ( -1 ) k, ,( -1 ) k

,





(k ? 1 )k ( k k ?1 ) k ?1 (-1 ) k ,记 S n ? a1 ? a2 ?n? k ? N ? ? 时, an ? ? 2 2
集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ?,且1 ? n ? l (1)求集合 P11 中元素的个数;

? an ? n ? N ? ? ,对于 l ? N ? ,定义

?

?

(2)求集合 P2000 中元素的个数.

【答案】 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析

解决问题能力及推理论证能力. (1) 解 : 由 数 列

?a n ?







得: a1 ? 1 , a 2 ? ?2 , a3 ? ?2 , a 4 ? 3 , a5 ? 3 , a 6 ? 3 , a 7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5 ∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S 8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 ,

S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a 6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1) 事实上, ① ② 当 i ? 1 时, S i ( 2i ?1) ? S 3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m ( 2 m ?1) ? ? m ? (2m ? 1)

则: i ? m ? 1 ,时,

S ( m ?1)[ 2 ( m ?1) ?1} ? S ( m ?1)( 2 m ?3} ? S m ( 2 m ?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2
? ?(2m 2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)

综合①②得: S i ( 2i ?1) ? ?i (2i ? 1)

于是

S (i ?1)[ 2i ?1} ? S i ( 2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i (2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: S i ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a ( i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2, ? ,2i ? 1) ,所以 S i ( 2i ?1) ? j ? S i ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a (i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2, ? ,2i ? 1) 的倍数
又 S ( i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a ( i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2, ? ,2i ? 2) 所以 S ( i ?1)( 2i ?1) ? j ? S ( i ?1)( 2i ?1) ? j (2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j (2i ? 2) 不是 a ( i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2, ? ,2i ? 2) 的 倍数 故当 l ? i (2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? (2i - 1 ) ? i2 于是当 l ? i (2i ? 1) ? j( 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 ? j ? 2i ? 1 )

(2 ? 31 ? 1 ) ? 47 又 2000 ? 31 ?
故集合 P2000 中元素的个数为 312 ? 47 ? 1008

27 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 在公差为 d 的等差数列 {an } 中,

已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2) 2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ; ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当 1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

②当 12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ? (a12 ? a13 ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? 2 ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n 2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? ? ; 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
28 . ( 2013 年高考湖北卷(理) ) 已知等比数列

?an ? 满足: a2 ? a3

? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. am

【答案】解:(I)由已知条件得: a2

? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 ,

所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3n ?2 (II)若 q ? ?1 ,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; am 5

1 1 若 q ? 3, ? ? a1 a2

m 1 9 ? ?1? ? 9 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . am 10 ? ? 10 ? ? 3? ?

29 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) ) 设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

且 S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 项和 Rn .

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n 2n

【答案】解:(Ⅰ)设等差数列

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,



S 4 ? 4 S 2 a2 n ? 2an ? 1
,



4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2 an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1 nS n * , n ? N ,其中 c 2 n ?c

30 . ( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 本小题满分

16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和.记 bn ? 为实数.
* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: S nk ? n S k ( k , n ? N );
2

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .
【答案】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d

? 0) , S n 是其前 n 项和

∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 2 2 4 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴左边= S nk ? (nk ) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nS n 1 1 ∴ (d1 ? d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N ? 恒成立 2 2 2 n ?c

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d1 ? 由③式得: c ? 0

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

n[(n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

2

由此: S n ? n a , S nk ? (nk ) a ? n k a , n S k ? n k a .
* 故: S nk ? n S k ( k , n ? N ).
2

nS (2) bn ? 2 n ? n ?c

n2

(n ? 1)d ? 2a 2 , n2 ? c

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c n2
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 故有: ≠0, ? 0 ,即 c ? 0 ,而 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
31 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案(已校对) ) 等差数列

?an ? 的前 n 项

和为 S n ,已知 S3 =a2 2 ,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式.
【答案】

32 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) ) 已知首项为

3 的等比数列 {an } 不是 2

递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3 , S5 + a5 , S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
【答案】

1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

33 . ( 2013 年高考江西卷(理) ) 正项数列{an }的前项和{an }满足: sn

2

? (n 2 ? n ? 1) sn ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an }的通项公式 an ; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn }的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a
2 2 Sn ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 . 2

【答案】(1)解:由

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n ? n .
2 2 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n .

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

34 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) ) 设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn .

已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】.(1) 解:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3

又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2 S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3
? 当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2 S n ? 2 S n ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

2an ? 2 S n ? 2 S n ?1

? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n
? an ? n 2 , n ? N *
*

当 n ? 1 时,上式显然成立.
2

(3)证明:由(2)知, an ? n , n ? N

①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n 2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? ? 1 1 1 ? ? ? an 12 22 ?

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4
? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

35 . ( 2013 年高考北京卷(理) )已知{an }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An ,第 n

项之后各项 an ?1 , an ? 2 ,的最小值记为 Bn ,dn =An -Bn

.

(I)若{an }为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N* , an ? 4 ? an ),写出 d1 ,d2 ,d3 ,d4 的值; (II)设 d 为非负整数,证明:dn =-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an }为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1 =2,dn =1(n=1,2,3,),则{an }的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.

【答案】(I) d1

? d 2 ? 1, d3 ? d 4 ? 3. ? an ? .

(II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? 因此 An ? an , Bn ? an ?1 , d n ? an ? an ?1 ? ? d (n ? 1, 2,3, (必要性)因为 d n ? ? d ? 0 (n ? 1, 2,3,

).

) ,所以 An ? Bn ? d n ? Bn .
于是 An ? an , Bn ? an ?1 .

又因为 an ? An , an ?1 ? Bn ,所以 an ? an ?1 .

因此 an ?1 ? an ? Bn ? An ? ? d n ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列.

(III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1 ,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1 . 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am ?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? d m ? 2 ? 1 ? 1 , Bm ?1 ? min ?am , Bm ? ? 2 . 故 d m ?1 ? Am ?1 ? Bm ?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 d m ?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1, an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? d n ? 2 ? 1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
36 . ( 2013 年高考陕西卷(理) )

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式;
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.

(Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

① 当q ? 1时,数列{a n }是首项为a1的常数数列,所以S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 . ② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? qS n ? qa1 ? qa 2 ? ? ? qa n ?1 ? qa n .

1 - q ) S n ? a1 ? (a 2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa 2 ) ? ? (a n ? qa n ?1 ) ? qa n ? a1 ? qa n . 上面两式错位相减: (

? Sn ?

a1 ? qa n a (1 ? q n ) . ?. 1 1- q 1- q

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

(q ? 1) (q ? 1)

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列{an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N ,使得a n ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列.
*

②当 ?n ? N ,使得a n ? 1 ? 0 成立,则
*

a n ?1 ? 1 a1 q n ? 1 ? ? 恒为常数 a n ? 1 a1 q n ?1 ? 1

? a1 q n ? 1 ? a1 q n ?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列{an ? 1} 不是等比数列.


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