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浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(一)数学理试题

时间:2016-03-10


嘉兴市 2016 年高三教学测试(一)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的最小正周期为 A.

?
4

B.

?
2

r />C. ?

D. 2?

?x2 ? 4 2. 设函数 f ( x ) ? ? ? 2x
A. ? 6

x?0 ,则 f [ f (1)] 的值为 x?0
B. 0 C. 4 D. 5

?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 4 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 27

4.若 ? 是第二象限角, tan( A. ?

?
3 3 5

? ?) ?

4 ? ,则 cos( ? ? ) ? 3 3
C.

3 5

B.

4 5

D. ?

3 5

5.已知 f ( x) ? ax 3 ? b3 x ? 4 (a , b ? R ) , f [lg(log3 2)] ? 1 ,则 f [lg(log2 3)] 的值为 A. ? 1 B. 3 C. 7 D. 8

6.如图, B 、 D 是以 AC 为直径的圆上的两点,其中 AB ? t ? 1 , AD ? t ? 2 , 则 AC? BD = A. 1 C. t B. 2 D. 2t
? ?

B

D

A

C

(第 6 题) 高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 1 页 共 6 页

7.已知双曲线 近线 y ? ? A. 2

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a , b ? 0) ,若焦点 F 关于渐近线 y ?

b x 的对称点在另一条渐 a

b x 上,则双曲线的离心率为 a
B. 2 C. 3 D. 3
S ?BCD 的值取到最 S ?ACD

8.已知三棱锥 ABCD 中, AB ? CD ,且 AB 与平面 BCD 成 60° 角.当 大值时,二面角 A ? CD ? B 的大小为 A.30° B.45° C.60°

D.90°

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | 1 ? x ? 3} , B ? { x | x ? 2} ,则 A ? B ?
A? B ?







, A ? ( ? R B) =



. ▲ ,该否命题是一

10.已知命题 p :“若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ”,则命题 p 的否命题为 个 ▲ 命题. (填“真”,“假”)

11.如图是一个几何体的三视图,正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是等腰直角三角 形,该几何体的表面积为 ▲ ,体积为 ▲ .

第 11 题

高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 2 页 共 6 页

12. 若函数 f ( x ) 是幂函数, 则 f (1) ?



1 , 若满足 f (4) ? 8 f ( 2) , 则 f( )? 3





13.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB |? 1 ,| CD |? 2 , E、F 分别是 AD 、 BC 的中点,若 ,则 | EF |? AB 与 CD 所在直线的所成角为 60° 14 .已知 F1、F2 分别是椭圆 C :
x2 a2 ? y2 b2





? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, A 是其上顶点,且

延长 AF2 与椭圆 C 交于另一点 B , 若 ?AF1 B 的面积为 6 , ?AF1 F2 是等腰直角三角形, 则椭圆 C 的方程为 ▲ .

15.已知等差数列 {a n } 满足 a 9 ? 0 ,且 a 8 ?| a 9 | ,数列 {bn } 满足 bn ? anan?1an?2 (n ? N * ) ,
{bn } 的前 n 项和为 S n ,当 S n 取得最大值时, n 的值为





三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a ? 2b , (Ⅰ)若 B ? 60 0 ,求 sin C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ?

1 a ,求 cos C 的值. 3

17. (本题满分 15 分) 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD ? 平 面 CDE ,
AD ? DC ? DE ? 4 , ?ADC ? 600 , AD ? DE

A

B

(Ⅰ)求证: DE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小.

D

C

E
高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 3 页 共 6 页

(第 17 题)

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , (Ⅰ)设 g( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ,若 y ? g( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集 合; (Ⅱ)求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值.

19. (本题满分 15 分) 过离心率为
y2 2 x2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线 l 与椭圆 C 2 a b

交于不同的两点 A、B ,设 | FA |? ? | FB | , T ( 2,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 1 ? ? ? 2 ,求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围.

高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 4 页 共 6 页

20. (本题满分 15 分) 数列 {a n } 各项均为正数, a1 ? (Ⅰ)求

1 ,且对任意的 n ? N * ,有 a n?1 ? an ? can 2 (c ? 0) . 2

c c 1 ? ? 的值; 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3

(Ⅱ)若 c ?

1 ,是否存在 n ? N * ,使得 a n ? 1 ,若存在,试求出 n 的最小值,若不存 2016

在,请说明理由.

2015 年高三教学测试(一)
理科数学
有一项是符合题目要求的) 1.C; 5.C; 2.A; 6.A; 3.B; 7.B; 4.A; 8.A.

参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9. [2,3] , (1,??) , (1,2) ; 11. 4 ? 3 ? 7 , 13. 15. 6.
高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 5 页 共 6 页

10.若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ,真;

2 3 ; 3

3 7 或 ; 2 2

1 ; 27 x2 2y2 ? ?1; 14. 9 9
12. 1 ,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且 3a ? 2b , (Ⅰ)若 B ? 60 0 ,求 sin C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ?

1 a ,求 cos C 的值. 3

解: (Ⅰ)∵ 3a ? 2b ,∴ 3 sin A ? 2 sin B 又∵ B ? 60? ,代入得 3 sin A ? 2 sin 60? ,解得 sin A ?
A? ∵ a : b ? 2 : 3 ,∴ A ? B ,即 c o s 6 3 3?3 2 . 6 3 . 3

C ? s i nA ( ? B) ? s i n Ac o s B?cos As i n B? ∴s i n

…7 分

(Ⅱ)设 a ? 2t , b ? 3 t ,则 c ? b ?
a 2 ? b2 ? c 2 则 cos C ? ? 2ab

1 7 a? t 3 3
…7 分

7 ( 2t ) 2 ? ( 3t ) 2 ? ( t ) 2 17 3 . ? 2 ? ( 2t ) ? ( 3t ) 27

17.(本题满分 15 分)
?ADC ? 600 ,AD ? DE 如图, 平行四边形 ABCD ? 平面 CDE ,AD ? DC ? DE ? 4 ,

(Ⅰ)求证: DE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小. 证明: (Ⅰ)过 A 作 AH ⊥ DC 交 DC 于 H . ∵平行四边形 ABCD ? 平面 CDE ∴ AH ⊥平面 CDE 又∵ DE ? 平面 CDE ∴ AH ⊥ DE ① 由已知, AD ⊥ DE ② AH ? AD ? A ③ 由①②③得, DE ⊥平面 ABCD ; …7 分

A

B

D

H

C

E
高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 6 页 共 6 页

解: (Ⅱ)过 C 作 CM ⊥ AD 交 AD 于 M ,过 C 作 CN ⊥ AE 交 AE 于 N , 连接 MN . 由(Ⅰ)得 DE ⊥平面 ABCD , 又∵ DE ? 平面 ADE , ∴平面 ADE ⊥平面 ABCD . ∴ CM ⊥ AE , 又∵ CN 垂直 AE ,且 CM ? CN ? C . ∴ AE ⊥平面 CMN ,得角 CNM 就是所求二面角的一个平面角. 又∵ CM ? 2 3 , MN ? 2 ,

A

B

N
M

D

C

E
∴所求二面角的余弦值为
7 . 7

…8 分

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , (Ⅰ)设 g( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ,若 y ? g( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集 合; (Ⅱ)求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值. 解: (Ⅰ) (1)若 f ( x ) ? 0 恰有一解,且解不为 即 a 2 ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?2 (2)若 f ( x ) ? 0 有两个不同的解,且其中一个解为 代入得

3 , 2

3 , 2

9 3 13 ? a ?1? 0,a ? ? 4 2 6 13 ,?2,2} . 6
…7 分

综上所述, a 的取值集合为 {?

高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 7 页 共 6 页

(Ⅱ) (1)若 ? (2)若 0 ? ?

a ? 0 ,即 a ? 0 ,则 y max ? f (1) ? 2 ? a 2

a ? 1 ,即 ? 2 ? a ? 0 ,此时 ? ? a 2 ? 4 ? 0 2

?a ? 2 a ? ?1 y max ? max{ f (0), f (1)} ? max{1, a ? 2} ? ? a ? ?1 ? 1

(3)若 ?

a ? 1 ,即 a ? ?2 ,此时 f (1) ? 2 ? a ? 0 2

a ? ?3 ? 1 , y max ? max{ f (0),? f (1)} ? max{1,?a ? 2} ? ? ?? a ? 2 a ? ?3
a ? ?1 ? a?2 ? ?? 1 ? 3 ? a ? ?1 ?? a ? 2 a ? ?3 ?

综上所述, y max

…8 分

19. (本题满分 15 分) 过离心率为
y2 2 x2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线 l 与椭圆 C 2 a b

交于不同的两点 A、B ,设 | FA |? ? | FB | , T ( 2,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 1 ? ? ? 2 ,求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ e ?
2 , c ? 1 ,∴ a ? 2 , c ? 1 2
x2 ? y2 ? 1. 2

即椭圆 C 的方程为:

…7 分

(Ⅱ) (1)当直线的斜率为 0 时,显然不成立. (2)设直线 l : x ? my ? 1 ,设 A( x 1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 联立 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ? 0 得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0
高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 8 页 共 6 页

得 y1 ? y 2 ?

? 2m m ?2
2

, y1 y 2 ?

?1 m2 ? 2



由 | FA |? ? | FB | ,得 y1 ? ??y 2 ∵? ? ? ∴ m2 ?
y y ( y ? y2 )2 1 1 ? 4m 2 ? 1 ? 2 ,∴ ? ? ? ?2? 1 ? 2 ? ? y2 y1 ?? y1 y 2 m ?2

2 7

又∵ AB 边上的中线长为

1 ? ? 1 | TA? TB |? ( x1 ? x 2 ? 4) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 2 2

?

4m 4 ? 9m 2 ? 4 (m 2 ? 2) 2
2 ( m ? 2)
2 2

?

?

7 m ?2
2

? 4 ? [1,

13 2 ] 16

…8 分

20. (本题满分 15 分) 数列 {a n } 各项均为正数, a1 ? (Ⅰ)求

1 ,且对任意的 n ? N * ,有 a n?1 ? an ? can 2 (c ? 0) . 2

c c 1 ? ? 的值; 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3

1 ,是否存在 n ? N * ,使得 a n ? 1 ,若存在,试求出 n 的最小值,若不存 2016 在,请说明理由.
(Ⅱ)若 c ? 证明: (Ⅰ)∵
1 a n?1

1 1 ? a n?1 a n ? ca n 2



?

1 c 1 1 c ? ? ? ,即 a n 1 ? ca n a n a n ? 1 1 ? ca n

1 1 c ? ? a 1 a 2 1 ? ca 1

1 1 c ? ? a 2 a 3 1 ? ca 2

…… 1 1 c ? ? a n a n ? 1 1 ? ca n ∴
1 1 c c c ? ? ? ??? a 1 a n ?1 1 ? ca 1 1 ? ca 2 1 ? ca n
高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 9 页 共 6 页

∴ 得

1 c c c 1 ? ? ??? ? a 1 1 ? ca 1 1 ? ca 2 1 ? ca n a n ?1 c c 1 1 ? ? ? ?2 1 ? ca 1 1 ? ca 2 a 3 a 1

(说明:依次求出 a 2 , a 3 也得满分) (Ⅱ)∵ a n?1 ? a n ? 得

1 2 a n ? a n ,∴ {a n } 单调递增. 2016

1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2016 2
an 2016
2

由 a n?1 ? a n ?

?

1 1 1 ? ? a n a n ?1 a n ? 2016 1 1 1 1 ? ? ??? a 2017 a 1 ? 2016 a 2 ? 2016 a 2016 ? 2016

?2?

∵ a i ? 0(i ? 1,2, ? ,2016) ∴2?
1 a 2017 ? 1 ? 2016 2016

解得: a 2017 ? 1 此时, a1 ? a 2 ? ? ? a 2017 ? 1 又∵ 2 ? ∴2?
1 1 1 1 ? ? ??? a 2018 a 1 ? 2016 a 2 ? 2016 a 2017 ? 2016

1 1 ? ? 2016 ? 1 a 2018 1 ? 2016

解得: a 2018 ? 1 即数列 {a n } 满足: a1 ? a 2 ? ? ? a 2017 ? 1 ? a 2018 ? a 2019 ? ? . 综上所述,存在 a n ? 1 ,且 n 的最小值为 2018 . …8 分

高三教学测试(一) 理科数学 试题卷 第 10 页 共 6 页


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