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立体几何中几类典型问题的向量解法


立体几何中几类典型问题的向量解法 一、利用向量知识求点到点,点到线,点到面,线到线,线到面,面到面的距离 (1)求点到平面的距离的法向量方法是:设向量 n 是平面 ? 的一个法向量, P 是 ? 外一点, M 是 ? 内任意一点,那么 P 到平面 ? 的距离

?

d ? MP ? cos ? n, MP ? ?

n

? MP n

(2)求两点 P, Q 之间距离,可转化求向量 PQ 的模。 例 1:设 A(2,3,1), B(4,1, 2), C(6,3,7), D (? 5, ? 4,8) ,求点 D 到平面 ABC 的距 离 解:设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z),

n ? AB ? 0, n ? AC ? 0

3 ? ?( x, y, z ) ? (2, ?2,1) ? 0 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ? z ?? ,? ?? 2 ?4 x ? 6 z ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 0, 6) ? 0 ? ? y ? ?z

z ? ?2, 则n ? (3, 2, ?2)
?cos ? n, AD ?? 3 ? (?7) ? 2 ? (?7) ? 2 ? 7 32 ? 22 ? (?2)2 ? (?7)2 ? (?7)2 ? 72

并设 D 到平面 ABC 的距离为 d

d ? AD ? cos ? n, AD ? ?

49 49 17 ? 17 17

例 2:如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 4, BC ? 3, CC1 ? 2, 求平面

A1BC1 与平面 ACD1 的距离。
D1

Z
B1

C1

A1
D X A

C B

Y

1

解:

BC1 // AD1 , AD1 ? 平面ACD1 ,? BC1 // 平面ACD1 ,同理

A1B // 平面ACD1 , 又 A1B BC1 ? B,?平面A1BC1//平面ACD1 ,建立直角坐标
系 D ? xyz ,

AB ? 4, BC ? 3, CC1 ? 2 , A1 (3,0, 2), B(3, 4,0), C1 (0, 4, 2)

? A1B ? (0,4, ?2), BC1 ? (?3,0,2) ,设 n ? ( x, y, z) 为平面 A1BC1 的法
向量,则 n ? A 1B ? n ? A 1B ? 0, ? 4 y ? 2z ? 0, 由 n ? BC1 ? n ? BC1 ? 0 ? ?3x ? 2z ? 0 , 不妨设 z ? 1,? y ?

1 2 2 1 , x ? ,? n ? ( , ,1) 2 3 3 2

二、利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小。 (1)设 l1 , l2 是两条异面直线, A, B 是 l1 上的任意两点,C , D 是直线 l2 上的任意

两点,则 l1 , l2 所成的角 ? 满足 cos? ? 角或者直角)

AB ? CD AB ? CD
(注意:异面直线所成角为锐

(2)设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线,并设 AB 与平面 ? 所成的角为 ? ,向量 AB 与 n 所成角为 AB, n 当 AB, n 为锐角时, ? ?

?

?
2

? AB ,n ;

当 AB, n 为钝角时, ? ? AB ,n ?

?
2

( 3 ) 设 n1 , n2 是 二 面 角 ? ? l ? ? 的 面 ? , ? 的 法 向 量 , 则

2

cos ? n1, n2 ??
的大小。

n ?n n ?n
1 1

2 2



n 与n
1

2

所成角的大小就是二面角的平面角或补角

①当法向量 n1与n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时, 二面角的大小等于法向量 n1与n2 的夹角的大小。 ②当法向量 n1与n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时, 二面角的大小等于法向量 n1与n2 的夹角的补角 ? ? ? n1, n2 ? 。 例 3:在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A B C D 中, EF 分别是 BC , A' D' 的中点,
' ' ' '

(1)求直线 AC与DE 所成角的余弦值; (2)求直线 AD 与平面 B EDF 所成角的余弦值 (3)求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成角的 余弦值 解:
' '

'

A' B'

F
C'

D'

A B E C

D

3

三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例 4:如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4, AB ? 5 ,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:A1C //平面 CDB1;

解:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点, 直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) , A(3,0,0) ,C1(0,0,4) ,B(0,4,0) ,B1(0,4,4) ,D(

3 ,2,0) 2

(1)∵ AC =(-3,0,0) , BC1 =(0,-4,0) ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- (-3,0,4) ,∴ DE ? ∴ AC1//平面 CDB1;

3 ,0,2) , AC1 = 2

1 AC1 ,∴DE∥AC1. ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, 2

4

练习题: 1.如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ∠ABC = 90°,SA⊥面 ABCD,SA = AB = BC = 1, 1 AD ? .求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. 2

S B A D C

2.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2, 点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为
D1 A1 D A E B B1 C C1

? . 4

3. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点, (I) (II) 求证:AC⊥BC1; 求证:AC 1//平面 CDB1;

4.(2007 河北省唐山市三模)如图,在长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2,
点 E 在线段 AB 上. (Ⅰ)求异面直线 D1E 与 A 1 D 所成的角;

5

(Ⅱ)若二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 45 ? , 求点 B 到平面 D1EC 的距离.

D1

C1 B1

A1

D

C

A

E

B

5.(2009 北京卷文) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,

PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上.
(Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与

平面 PDB 所成的角的大小.

6. 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE, AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120 ,F 为 AE 中点。 (Ⅰ) 求证:平面 ADE⊥平面 ABE ; (Ⅱ) 求二面角 A—EB—D 的大小的余弦值;
0

6

(Ⅲ)求点 F 到平面 BDE 的距离。

A F D C
7. (2008 安徽理)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

E

B

?

4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点。 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O M A B N C D

8.(2008 海南、宁夏理)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°。 (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。
D1 A1 P C1 B1

D

C

A

B

7

Z
1.解:如图建立直角坐标系, 则 B(0,1, 0), D( , 0, 0), C (1,1, 0), S (0, 0,1)

S Y B A D X C


1 2

1 1 AD ? ( , 0, 0), SC ? (1,1, ?1), SD ? ( , 0, ?1) 2 2 SA ? 平面ABCD,? AD ? 平面SAB

所以 AD 是平面 SAB 的一个法向量。设平面 SCD 的一个法向量 n ? ( x, y, z)

?x ? y ? z ? 0 ? ? ?x ? 2z ? ?n ? SC ?n ? SC ? 0 ?? 由? ,? ? 1 ,? ? x?z ?0 ? y ? ?z ?n ? SD ?n ? SD ? 0 ? ? ? ?2 AD ? n 6 2 令 z ? 1, n ? (2, ?1,1) , ? cos ? AD, n ?? ? , ? tan ? AD, n ?? 3 2 AD ? n
平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的正切值为

2 2

2. 解:以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标 系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C (0,2,0) (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 ( 2 ) 因 为 E 为 AB 的 中 点 , 则 E ( 1 , 1 , 0 ), 从 而

D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,
? ?n ? AC ? 0, 设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) , 则? AD1 ? (?1,0,1) , ? ?n ? AD1 ? 0,
也即 ? 离为
A1

D1

D A E

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
2 ?1? 2 1 ? . 3 3
平 面 D1EC 的 法 向 量

h?


| D1 E ? n | |n|
3 )

?



n ? (a, b, c)





CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),
由?

?n ? D1C ? 0, ?

?2b ? c ? 0 ?? 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, a ? b ( x ? 2) ? 0. n ? CE ? 0, ? ? ?

∴ n ? (2 ? x,1,2).

8

依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | 2 2 2 ? ? ? . 2 2 2 | n | ? | DD1 | ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 . ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

3.解:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0,0) ,C1(0,0,4) ,B(0,4,0) ,

B1(0,4,4) ,D(

3 ,2,0) 2

(1)∵ AC =(-3,0,0) , BC1 =(0,-4,0) ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- (-3,0,4) ,∴ DE ?

3 ,0,2) , AC1 = 2

1 AC1 ,∴DE∥AC1. 2

4.解:分别以 DA, DB, DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. (Ⅰ)由 A1 (1,0,1) ,得 DA 1 ? (1,0,1) 设 E (1, a, 0) ,又 D1 (0,0,1) ,则 D1E ? (1, a, ?1) 。 ∵ DA 1?D 1E ? 1 ? 0 ?1 ? 0 ∴ DA 1 ?D 1E

90 ? 。 则异面直线 D1E 与 A 1 D 所成的角为
(Ⅱ)m ? (0,0,1) 为面 DEC 的法向量, 设 n ? ( x, y, z ) 为面 CED1 的法向 量,则

n ? ( x, y, z ) | cos ? m, n ?|?
∴z ?x ?y .
2 2 2

| m?n| ? | m || n |

|z| x2 ? y 2 ? z 2


? cos 45? ?

2 2

由 C (0, 2,0) ,得 DC ? (0,2, ?1) ,则 n ? D1C ,即 n ? D1C ? 0 1 ∴ 2y ? z ? 0 由①、②,可取 n ? ( 3,1, 2)
9



又 CB ? (1,0,0) ,所以点 B 到平面 D1EC 的距离

d?

| CB ? n | 3 6 。 ? ? |n| 4 2 2

5.解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 设 AB ? a, PD ? h, 则

A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ?0, a,0? , D ?0,0,0? , P ?0,0, h? ,
(Ⅰ)∵ AC ? ? ?a, a,0 ? , DP ? ? 0,0, h ? , DB ? ? a, a,0 ? , ∴ AC ? DP ? 0, AC ? DB ? 0 , ∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . ( Ⅱ ) 当

PD ? 2 AB 且

E



PB

的 中 点 时 ,

?1 1 2 ? P 0, 0, 2a , E ? ? 2 a, 2 a, 2 a ? ?, ? ?

?

?

设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∵ EA ? ?

?1 ? 1 2 ? 2 ? a , ? a , ? a , EO ? 0, 0, ? a? ? ? ?2 ? ? ?, 2 2 2 ? ? ? ?

∴ cos ?AEO ?

EA ? EO EA ? EO

?

2 , 2
?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 6.解:取 BE 的中点 O,连 OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE,又 AB⊥平面 BCE. 以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O-xyz, 则由已知条件有: A 0, 3, 2 , B 0, 3, 0 , C ?1,0,0? , D ?1,0,1? ,

?

z
A F D

?

?

?

?

E 0, ? 3,1 , F ? 0,0,1? ……………………………2 分
设平面 ADE 的法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

?

?

E

O
C

B

y

10

x

则由 n · EA ? ? x1 , y1 , z1 ? ? 0, 2 3, 2 ? 2 3 y1 ? 2z1 ? 0.
1 1 1

? 及 n · DA ? ? x , y , z ? ? ? ?1, 可取 n ? ? 0,1, ? 3 ? ? ?

?

3,1 ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0.

?

又 AB⊥平面 BCE,∴AB⊥OC,OC⊥平面 ABE, ∴平面 ABE 的法向量可取为 m = ?1,0,0 ? . ∵ n · m ? 0,1, ? 3 · ?1,0,0 ? =0, ∴ n ⊥ m ,∴平面 ADE⊥平面 ABE. (Ⅱ)设平面 BDE 的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则由 p · ED ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 1, 3,1 ? x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0. 及 p · EB ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 0, 2

?

?

? 3, 0 ? ? 2

3y2 ? 0. 可取 p ? ?1,0, ?1?

∵平面 ABE 的法向量可取为 m = ?1,0,0 ? ∴锐二面角 A—EB—D 的余弦值为 cos ? m, p ??

2 | m? p | = , | m |?| p | 2

∴二面角 A—EB—D 的余弦值为

2 。 2

(Ⅲ)点 F 到平面 BDE 的距离为

| OF ? p | 2 。 ? 2 | p|

7.解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立 坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
,

2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0
(1) MN ? (1 ?

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2)
∵ MN n ? (1 ? 2 2 , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4
11

z O

M

A x B N CP

D y

? MN‖ 平面OCD
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 , , ?1) 2 2

∴cos? ?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2

AB MD

(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影 的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ?

OB ? n n

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 3

8.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) ,. 连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) , 由已知 ? DH, DA ?? 60 ,

z
D?
A?

H P D

C?
B?

, DH ? 由 DA DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m2 ?1 . 解得 m ?

C B

y

? 2 2 ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , ?. 2 ? ? x 2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 2 2 2 CC ? ?? ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , 2 1? 2 CC? ?? 45 . 所以 ? DH, 即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . (Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

A

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 DC ?? 2 ? , 因为 cos ? DH, 2 1? 2

DC ?? 60 . 所以 ? DH,
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .

12


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