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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训9-4线面、面面平行的判定与性质试题

时间:2013-05-30


1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面 α ∩β =l, 是 α 内不同于 l 的直线, m 那么下 列命题中错误的是( .. ) B.若 m∥l,则 m∥β D.若 m⊥l,则 m⊥β

A.若 m∥β ,则 m∥l C.若 m⊥β ,则 m⊥l [答案] D

[解析] A 符合直线与平面平行的性质定理;B 符合直线与平面平行的判

定定理;C 符 合直线与平面垂直的性质;对于 D,只有 α ⊥β 时,才能成立. (理)(2011·泰安模拟)设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,则下列命题中正 确的是( )

A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m? α ,n? β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β [答案] D [解析] A 选项不正确,n 还有可能在平面 α 内,B 选项不正确,平面 α 还有可能与 平面 β 相交,C 选项不正确,n 也有可能在平面 β 内,选项 D 正确. 2.(文)(2011·邯郸期末)设 m,n 为两条直线,α ,β 为两个平面,则下列四个命题 中,正确的命题是( )

A.若 m? α ,n? α ,且 m∥β ,n∥β ,则 α ∥β B.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α C.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n D.若 m,n 为两条异面直线,且 m∥α ,n∥α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β [答案] D [解析] 选项 A 中的直线 m,n 可能不相交;选项 B 中直线 n 可能在平面 α 内;选项 C 中直线 m,n 的位置可能是平行、相交或异面. (理)(2011·浙江省温州市测试)已知 m,n,l 为三条不同的直线,α ,β 为两个不同 的平面,则下列命题中正确的是( A.α ∥β ,m? α ,n? β ? m∥n B.l⊥β ,α ⊥β ? l∥α C.m⊥α ,m⊥n? n∥α )

D.α ∥β ,l⊥α ? l⊥β [答案] D [解析] 对于选项 A,m,n 平行或异面;对于选项 B,可能出现 l? α 这种情形;对于 选项 C,可能出现 n? α 这种情形.故选 D. 3.(2011·宁波模拟)已知直线 l、m,平面 α 、β ,则下列命题中的假命题是( A.若 α ∥β ,l? α ,则 l∥β B.若 α ∥β ,l⊥α ,则 l⊥β C.若 l∥α ,m? α ,则 l∥m D.若 α ⊥β ,α ∩β =l,m? α ,m⊥l,则 m⊥β [答案] C [解析] 对于选项 C,直线 l 与 m 可能构成异面直线,故选 C. 4.(2011·广东揭阳模拟)若 a 不平行于平面 α ,且 a?α ,则下列结论成立的是( A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内与 a 平行的直线不存在 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内的直线与 a 都相交 [答案] B [解析] 由条件知 a 与 α 相交,故在平面 α 内的直线与 a 相交或异面,不存在与 a 平行的直线. 5. (2012·石家庄二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一 组棱)分别相等,且长分别为 2、m、n,其中 m +n =6,则该三棱锥体积的最大值为( A. C. 1 2 3 3 B. D. 8 3 27 2 3
2 2

)

)

)

[答案] D [解析] 令 m=n,由 m +n =6 得 m=n= 3,取 AB 的中点 E,则 BE= ∴PE= 10 10 ,CE= ,∴EF=2, 2 2
2 2

2 ,PB= 3, 2

1 1 1 2 2 1 2 3 2 8 3 ∴VP-ABC= S△PEC·AB= ×( × 2×2)× 2= ,∵ > ,∴ > , > ,故选 D. 3 3 2 3 3 2 3 3 3 27

6.(2011·苏州模拟)下列命题中,是假命题的是(

)

A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B.平面 α ∥平面 β ,a? α ,过 β 内的一点 B 有唯一的一条直线 b,使 b∥a C.α ∥β ,γ ∥δ ,α 、β 与 γ 、δ 的交线分别为 a、b 和 c、d,则 a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 [答案] D [解析] 三角形的任意两边必相交, 故三角形所在的平面与这个平面平行, 从而第三边 也与这个平面平行,∴A 真;假设在 β 内经过 B 点有两条直线 b、c 都与 a 平行,则 b∥c, 与 b、c 都过 B 点矛盾,故 B 真;∵γ ∥δ ,α ∩γ =a,α ∩δ =b,∴a∥b,同理 c∥d; 又 α ∥β ,γ ∩α =a,γ ∩β =c,∴a∥c,∴a∥b∥c∥d,故 C 真;正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与平面 AA1D1D 和平面 CC1D1D 所成角相等,但平面 AA1D1D∩平面 CC1D1D=DD1,故 D 假. 7.(2012·北京东城区综合练习)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面 α ∥平面 β ,则平面 α 内任意一条直线 m∥平面 β ; ③若平面 α 与平面 β 的交线为 m,平面 α 内的直线 n⊥直线 m,则直线 n⊥平面 β ; ④若平面 α 内的三点 A、B、C 到平面 β 的距离相等,则 α ∥β . 其中正确命题的序号为________. [答案] ② [解析] ①中,互相平行的两条直线的射影可能重合,①错误;②正确;③中,平面

α 与平面 β 不一定垂直,所以直线 n 就不一定垂直于平面 β ,③错误;④中,若平面 α 内的三点 A、B、C 在一条直线上,则平面 α 与平面 β 可以相交,④错误. 8.(2011·福建文,15)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点

F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

[答案]

2

[解析] ∵EF∥平面 AB1C, 平面 ABCD 经过直线 EF 与平面 AB1C 相交于 AC, ∴EF∥AC, ∵E 为 AD 的中点,∴F 为 CD 的中点, 1 1 ∴EF= AC= ×2 2= 2. 2 2 9.(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线 m、n,两个不重合的平面 α 、β ,有下列 命题: ①若 m∥n,n? α ,则 m∥α ; ②若 n⊥α ,m⊥β ,且 n∥m,则 α ∥β ; ③若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,α ∩β =m,n? β ,n⊥m,则 n⊥α . 其中正确命题的序号是________. [答案] ②④ [解析] 对于①,直线 m 可能位于平面 α 内,此时不能得出 m∥α ,因此①不正确; 对于②,由 n⊥α ,m∥n,得 m⊥α ,又 m⊥β ,所以 α ∥β ,因此②正确;对于③,直线

m,n 可能是两条平行直线,此时不一定能得出 α ∥β ,因此③不正确;对于④,由“如果
两个平面相互垂直, 则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知, ④

正确.综上所述,其中正确命题的序号是②④. 10.(文)(2012·辽宁文,18)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC = 2,AA′=1,点 M、N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面 A′ACC′; 1 (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积(锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高). 3 [分析] (1)欲证 MN∥平面 A′ACC′,须在平面 A′ACC′内找到一条直线与 MN 平行, 由于 M、N 分别为 A′B,B′C′的中点,B′C′与平面 A′ACC′相交,又 M 为直三棱柱侧面

ABB′A′的对角线 A′B 的中点, 从而 M 为 AB′的中点, MN 为△AB′C′的中位线, 故 得证. (2)
欲求三棱锥 A′-MNC 的体积,注意到直三棱柱的特殊性和点 M、N 为中点,可考虑哪一个面 1 1 作为底面有利于问题的解决,视 A′MC 为底面,则 S△A′MC= S△A′BC,∴VA′-MNC= VN-A′BC,又 2 2

VN-A′BC=VA′-NBC,易知 A′N 为三棱锥 A′-NBC 的高,于是易得待求体积.
[解析] (1)连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,

AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱,

所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点, 所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,

AC′? 平面 A′ACC′,
因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)连结 BN, 由题意 A′N⊥B′C′, 平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′, 所以 A′N ⊥平面 NBC. 1 又 A′N= B′C′=1, 2 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC= VN-A′BC= VA′-NBC= . 2 2 6 [点评] 本题考查了线面平行的证明,锥体的体积两方面的问题,对于(1)还可以利用 面面平行(平面 MPN∥平面 A′ACC′,其中 P 为 A′B′的中点)来证明; (2)还可利用割补法求解. (理)(2012·浙江文,20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,

AD⊥AB,AB= 2,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交
点.

(1)证明:①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值. [分析] (1)①欲证 EF∥A1D1,∵B1C1∥A1D1,∴只需证 EF∥B1C1,故由线面平行的性质 定理“线面平行? 线线平行”可推证. ②要证 BA1⊥平面 B1C1EF,需证 BA1⊥B1C1,BA1⊥B1F,要证 BA1⊥B1C1,只需证 B1C1⊥平面

AA1B1B,要证 BA1⊥B1F,通过在侧面正方形 AA1B1B 中计算证明即可.
(2)设 BA1 与 B1F 交于点 H,连结 C1H,则∠BC1H 就是所求的角. [解析] (1)①∵C1B1∥A1D1,C1B1?平面 ADD1A1, ∴C1B1∥平面 A1D1DA. 又∵平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, ∴C1B1∥EF,∴A1D1∥EF. ②∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1, 又∵B1C1⊥B1A1,∴B1C1⊥平面 ABB1A1.∴B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点, tan∠A1B1F=tan∠AA1B= ∠A1B1F=∠AA1B, ∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1, 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H. 由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 2 ,即 2

在矩形 AA1B1B 中,由 AB= 2,AA1=2,得 BH=

4 6

.

在 Rt△BHC1 中,由 BC1=2 5,BH=

4 6

得,

sin∠BC1H=

BH 30 = . BC1 15
30 . 15

所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是

[点评] 本题主要考查空间点、线、面的位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间 想象能力和推理论证能力. 能力拓展提升 11.(文)(2011·北京模拟)给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的 三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( A.3 [答案] C [解析] ①设 α ∩β =a,当 l,m 都与 a 相交且交点不重合时,满足①的条件,故① 假;②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行,也可能异面,故②假;由三棱柱知③ 真;故选 C. (理) B.2 ) C.1 D.0

如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′ 的中点,G 为△ABC 的重心.从 K、H、G、B′中取一点作为 P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平 面 PEF 平行,则 P 为( A.K C.G [答案] C [解析] 假如平面 PEF 与侧棱 BB′平行则和三条侧棱都平行, 不满足题意, FK∥BB′, 而 排除 A;假如 P 为 B′点,则平面 PEF 即平面 A′B′C,此平面只与一条侧棱 AB 平行,排除 D. 若 P 为 H 点,则 HF 为△BA′C′的中位线,∴HF∥A′C′;EF 为△ABC′的中位线,∴ ) B.H D.B′

EF∥AB,HE 为△AB′C′的中位线,∴HE∥B′C′,显然不合题意,排除 B.
[点评] 此题中,∵EF 是△ABC′的中位线,∴EF∥AB∥A′B′,故点 P 只要使得平面

PEF 与其他各棱均不平行即可,故选 G 点.
12.(文)(2012·江西文,7)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 ( )

A. C.

11 2 9 2

B.5 D.4

[答案] D 1 [解析] 由三视图知该几何体为直六棱柱.其底面积为 S=2×[ ×(1+3)×1]=4,高 2 为 1.所以体积 V=4. (理)(2012·四川文,6)下列命题正确的是( )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 [答案] C [解析] 本题考查了线面角, 面面垂直, 线面平行, 面面平行等位置关系的判定与性质, 对于 A 选项,两条直线也可相交,B 选项若三点在同一条直线上,平面可相交.D 选项 这两个平面可相交(可联系墙角), C 项可利用线面平行的性质定理, 而 再运用线面平行的判 定与性质可得. 本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质. 13.(2012·南昌二模)若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则下列命题中假命题 的序号是________. ①过点 P 有且仅有一条直线与 l, 都平行; m ②过点 P 有且仅有一条直线与 l, 都垂直; m ③过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交;④过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面. [答案] ①③④ [解析] ①是假命题,因为过点 P 不存在一条直线与 l,m 都平行;②是真命题,因为 过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直,这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合;③ 是假命题,因为过点 P 也可能没有一条直线与 l,m 都相交;④是假命题,因为过点 P 可以 作出无数条直线与 l,m 都异面,这无数条直线在过点 P 且与 l,m 都平行的平面上. [点评] 第③个命题易判断错误. 当点 P 与 l 确定的平面 α ∥m 时, 或点 P 与 m 确定的 平面 β ∥l 时,过点 P 与 l、m 都相交的直线不存在. 14.(2012·佛山一模)过两平行平面 α 、β 外的一点 P 作两条直线,分别交 α 于 A、

C 两点,交 β 于 B、D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则 BD=________.
[答案] 12 [解析] 由面面平行的性质定理可知 AC∥BD,又由平行线分线段成比例定理可得 =

PA PB

AC 6 9 ,即 = ,得 BD=12. BD 8 BD
15.(文)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1.

(1)求证:BB1⊥平面 ABC; (2)求证:BC1∥平面 CA1D; (3)求三棱锥 B1-A1DC 的体积. [解析] (1)∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB, 又∵CD⊥DA1,∴CD⊥平面 ABB1A1,∴CD⊥BB1, 又 BB1⊥AB,AB∩CD=D, ∴BB1⊥平面 ABC.

(2)连接 BC1,连接 AC1 交 CA1 于 E,连接 DE,易知 E 是 AC1 的中点,又 D 是 AB 的中点,

则 DE∥BC1,又 DE? 平面 CA1D,BC1?平面 CA1D, ∴BC1∥平面 CA1D. (3)由(1)知 CD⊥平面 AA1B1B, 故 CD 是三棱锥 C-A1B1D 的高, 在 Rt△ACB 中,AC=BC=2,∴AB=2 2,CD= 2, 1 又 BB1=2,∴VB1-A1DC=VC-A1B1D= S△A1B1D·CD 3 1 1 4 = A1B1×B1B×CD= ×2 2×2× 2= . 6 6 3 (理)如图,PO⊥平面 ABCD,点 O 在 AB 上,EA∥PO,四边形 ABCD 为直角梯形,BC⊥AB,

BC=CD=BO=PO,EA=AO= CD.

1 2

(1)求证:BC⊥平面 ABPE; (2)直线 PE 上是否存在点 M,使 DM∥平面 PBC,若存在,求出点 M;若不存在,说明理 由. [解析] (1)∵PO⊥平面 ABCD,

BC? 平面 ABCD,∴BC⊥PO,
又 BC⊥AB,AB∩PO=O,AB? 平面 ABP,PO? 平面 ABP,∴BC⊥平面 ABP, 又 EA∥PO,AO? 平面 ABP, ∴EA? 平面 ABP,∴BC⊥平面 ABPE. (2)点 E 即为所求的点,即点 M 与点 E 重合. 取 PO 的中点 N,连结 EN 并延长交 PB 于 F, ∵EA=1,PO=2,∴NO=1, 又 EA 与 PO 都与平面 ABCD 垂直,∴EF∥AB,

1 ∴F 为 PB 的中点,∴NF= OB=1,∴EF=2, 2 又 CD=2,EF∥AB∥CD, ∴四边形 DCFE 为平行四边形,∴DE∥CF, ∵CF? 平面 PBC,DE?平面 PBC,∴DE∥平面 PBC. ∴当 M 与 E 重合时,DM∥平面 PBC. 16.

(2012·北京海淀区二模)在正方体 ABCD-A′B′C′D′中, AB、 ′、′C′、′D′ 棱 BB B C 的中点分别为 E、F、G、H,如图所示. (1)求证:AD′∥平面 EFG; (2)求证:A′C⊥平面 EFG; (3)判断点 A、D′、H、F 是否共面,并说明理由. [解析]

(1)证明:连结 BC′. 在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=C′D′,AB∥C′D′. 所以四边形 ABC′D′是平行四边形.

所以 AD′∥BC′. 因为 F、G 分别是 BB′、B′C′的中点, 所以 FG∥BC′,所以 FG∥AD′. 因为 EF、AD′是异面直线,所以 AD′?平面 EFG. 因为 FG? 平面 EFG,所以 AD′∥平面 EFG. (2)证明:连结 B′C.

在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,A′B′⊥平面 BCC′B′,BC′? 平面 BCC′B′, 所以 A′B′⊥BC′. 在正方体 BCC′B′中,B′C⊥BC′, 因为 A′B′? 平面 A′B′C,

B′C′? 平面 A′B′C,A′B′∩B′C′=B′,
所以 BC′⊥平面 A′B′C. 因为 A′C? 平面 A′B′C,所以 BC′⊥A′C. 因为 FG∥BC′,所以 A′C⊥FG. 同理可证:A′C⊥EF. 因为 EF? 平面 EFG,FG? 平面 EFG,EF∩FG=F, 所以 A′C⊥平面 EFG.

(3)点 A、D′、H、F 不共面.理由如下:

假设 A、D′、H、F 共面.连结 C′F、AF、HF. 由(1)知,AD′∥BC′, 因为 BC′? 平面 BCC′B′,AD′?平面 BCC′B′. 所以 AD′∥平面 BCC′B′. 因为 C′∈D′H,所以平面 AD′HF∩平面 BCC′B′=C′F. 因为 AD′? 平面 AD′HF,所以 AD′∥C′F. 所以 C′F∥BC′,而 C′F 与 BC′相交,矛盾. 所以 A,D′、H、F 点不共面.

1.设 m、l 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m? α ,则 l⊥α B.若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α ,m? α ,则 l∥m D.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m [答案] B

)

[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,故选 B. 2.

如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明:PA⊥平面 ABCD; (2)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?如果存在,请求出此时 PF?FC 的值; 如果不存在,请说明理由. [解析] (1)因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,所以 AB=AD=AC=a. 在△PAB 中,由 PA +AB =2a =PB ,知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)连结 BD,则平面 PBD 与平面 AEC 的交线为 EO,在△PBD 中作 BM∥OE 交 PD 于 M,则
2 2 2 2

BM∥平面 AEC,在△PCE 中过 M 作 MF∥CE 交 PC 于 F,则 MF∥平面 AEC,故平面 BFM∥平面 AEC,所以 BF∥平面 AEC,F 点即为所求的满足条件的点.由条件 O 为 BD 的中点可知,E 为 MD 的中点.
又由 PE:ED=2:1,∴M 为 PE 的中点, 又 FM∥CE,故 F 是 PC 的中点,∴此时 PF:FC=1. 3.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF= 1.

(1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE. [证明] (1)设 AC∩BD=G,在正方形 ABCD 中,AB= 2,∴AC=2, 1 又∵EF=1,AG= AC=1,又∵EF∥AG, 2 ∴四边形 AGEF 为平行四边形,∴AF∥EG,

∵EG? 平面 BDE,AF?平面 BDE,∴AF∥平面 BDE. (2)连结 FG.

∵EF∥CG,EF=CG=1 且 CE=1, ∴四边形 CEFG 为菱形,∴EG⊥CF. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. 又∵平面 ACEF⊥平面 ABCD 且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, BD⊥平面 ACEF, CF⊥BD. ∴ ∴ 又∵BD∩EG=G,∴CF⊥平面 BDE.


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