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迎初赛苦练本领系列训练天天练020答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 020 答案
(2013 年 2 月 23 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4?10' ? 40' ) 115.若实数 x 、 y 满足条件 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 解: (三角换元) 令 x ? sec ? , y ? tan ? , 代入得:

/>1 2y 的取值范围是 ________ ? x x2

1 2y 1 2 tan ? 1 ? 2 tan ? sec ? 2sin ? ? ? ? ? ? cos2 ? (1 ? ) x2 x sec2 ? sec? sec2 ? cos2 ?
? cos2 ? ? 2sin ? ? 1 ? sin 2 ? ? 2sin ? ? ?(sin ? ? 1)2 ? 2

易知: sin ? ? (?1, 1) ,所以

1 2y ? ? (?2, 2) . x2 x c a b ? ? 的最小值为 ________ a b?c c

116.已知 a, b, c 为非负数,则 f (a, b, c) ?

解: f (a, b, c) ?

c a b c a b?c ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ?1 ? 2 . a b?c c a b?c c

117.设函数 f ( x) : R ? R ,任意 x, y ? R 满足 f ( x) f ( y) ? f (2 xy ? 3) ? 3 f ( x ? y) ? 3 f ( x) ? 6 x , 则 f ( x) ? ________ 解:取 x ? 0 ,代入得 f (0) ? f ( y) ? f (3) ? 3 f ( y) ? 3 f (0) ,即 [ f (0) ? 3] ? f ( y) ? f (3) ? 3 f (0) , 显然 f ( y ) 不恒等于常数,∴ f (0) ? 3 ? 0 且 f (3) ? 3 f (0) ? 0 , ∴ f (0) ? 3, f (3) ? 9 , 又取 y ? 0 ,代入可得: f ( x) ? 2 x ? 3 . 118.设 a1 , a2 , ?, a2010 均为正实数,且 值为 ________ 解:令
1 ? xi 2 ? xi ,则 ai ? 2 ? ,且 x1 ? x2 ? ? ? xi ? 1 ,其中 i ? 1, 2, ? , 2010 ; 2 ? ai xi
1

1 1 1 1 ? ?? ? ? ,则 a1 ? a2 ?? ? a2010 的最小 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2010 2

所以有:
a1 ? a2 ?? ? a2010 ? 22010 ?
? 22010 ?

1 ? ( x2 ? x3 ? ? ? x2010 ) ?( x1 ? x3 ? ? ? x2010 ) ?? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x2009 ) x1 x2 ? x2010

1 ? 2009 ? 2009 x2 x3 ? x2010 ? 209 ? 2009 x1 x3 ? x2010 ?? ? 2009 ? 2009 x1 x2 ? x2009 x1 x2 ? x2010

? 22010 ? 20092010 ? 40182010 .

二、解答题( 2? 30' ? 60' ) 119.设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在 S 中,且添加 S 的其他元素于 A 后不能构成与 A 有相同公差的等差数列,求这种 A 的个数(这里有两项的数 列也看作等差数列) . 解:构造具有如下要求的集合 A: 把 A 中的元素按从小到大的次序排好后,在其最大元素后面添上 S 的任何元素均不能构成具 有原公差的等差数列. 这时,当 A 的首项与公差一旦确定,其整个集合 A 也即确定. 不妨设 A 的首项为 a,公差为 d,则有: a=1,d=1,2,…,n-1 时的集 A 有 n-1 个; a=2,d=1,2,…,n-2 时的集 A 有 n-2 个; ………………………… a= n-1,d=1 时的集 A 有 1 个; 因此,所求 A 的总个数为 1+2+…+(n-1)= 120.已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ,

n(n ? 1) . 2

1 (1)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等的实根,求实数 m 的取值范围; e
(2)如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) , B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 ; 求证: g ?( px1 ? qx2 ) ? 0 (其中正常数 p、q 满足 p ? q ? 1 , q ? p ) . 解: (1)由 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ,求导可得: f ?( x) ?

2(1 ? x)(1 ? x) , x

1 因为 x ? [ , e] ,故 f ?( x) ? 0 在 x ? 1 有唯一的极值点, e 1 1 1 而 f ( ) ? ?2 ? 2 , f (e) ? ?2 ? e2 ,所以 f ( x)极大值 ? f (1) ? ?1 ;且又知 f (e) ? f ( ) ; e e e
2

1 1 所以 f ( x) ? ?m ,在 [ , e] 内有两个不等的实根应满足: ?2 ? 2 ? ?m ? ?1 ; e e
故 m 的取值范围为: (1, 2 ? (2) g ?( x) ?

1 ]; e2

2 ? 2 x ? a ,又 f ( x) ? ax ? 0 有两个不等的实根: x1 、 x 2 ; x

?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) , 则? ,两式相减得到: a ? 2 x1 ? x2 ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0 ?
于是, g ?( px1 ? qx2 ) ?
? 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2( px1 ? qx2 ) ? [ ? ( x1 ? x2 )] px1 ? qx2 x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2 p ? 1)( x1 ? x2 ) px1 ? qx2 x1 ? x2

∵ 2 p ? 1 , 0 ? x1 ? x2 ,∴ (2 p ? 1)( x1 ? x2 ) ? 0 ; 要证: g ?( px1 ? qx2 ) ? 0 ,只需证:
2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0, px1 ? qx2 x1 ? x2

x ?x x 只需证: 2 1 ? ln 1 ? 0 ,即 px1 ? qx2 x2

1? p

x1 x2

x1 ?q x2

? ln

x1 ?0; x2





x1 ? t ,则 0 ? t ? 1, x2 1? t ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1上恒成立; pt ? q

因此,只需证: u (t ) ?

1 1 又∵ u ?(t ) ? ? ? t ( pt ? q)2
∵ p ? q ?1, q ?

p 2 (t ? 1)(t ?

q2 ) p2

t ( pt ? q)2



q 1 ,则 ? 1 ; p 2



q2 q2 ? 1 ,又由 t ? 1,可知 t ?1 ? 0 ,从而 t ? 2 ? 0 ; 2 p p

因此可知: u ?(t ) ? 0 ,∴ u (t ) 在 t ? (0, 1) 上为增函数, 于是, u (t ) ? u (1) ? 0 ,从而知: 即①成立,从而原不等式成立.
x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 ; px1 ? qx2 x2

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