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浙江省“温州八校”2015届高三上学期返校第一次联考(数学理)


“温州八校”2015 届高三上学期返校第一次联考 数学(理)试题 第Ⅰ卷(选择题部分 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 已 知 函 数 f ( x ) ?

1 1 ? x2

的 定 义 域 为 M

, g ( x) ? ln(1 ? x) 的 定 义 域 为 N , 则 M U (CR N ) =

( ) A. {x | x ? 1}

B. {x | x ? 1}

C. ?

D. {x | ?1 ? x ? 1}

2. 若 “ 0 ? x ? 1 ” 是 “ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ” 的 充 分 而 不 必 要 条 件 , 则 实 数

a 的取值范围是


) A. [ ?1,0]

B. ( ?1,0)

C. ( ??,0]

[1, ??) D. (??, ?1) (0, ??)

3.如图,三棱锥 V ? ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA ? VC ,已知其正视图的 面积为

2 ,则其侧视图的面积为( 3
3 2
B.

)

A.

3 3

C.

3 4

D.

3 6


4.为了得到函数 y ? cos( 2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象(

5? 5? 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 5? 5? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 6 6 5.已知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有最大值,
那么 Sn 取得最小正值时 n 等于( A.20
2



B.17

6.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间

?1,5? 上有解,则实数 a 的取值范围为(
C.(1,+∞) D. (??,?1)

C.19

D.21



A. ( ?

23 ,?? ) 5

B. [ ?

23 , 1] 5

x 7.设 x ? R ,若函数 f ( x ) 为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f ? ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1 ( e 是自然

·1 ·

对数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A. 1 B. e ? 1 C.3

) D. e ? 3

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点,A 是椭圆上一动点, 圆 C 与 F1 A 的延长线、 F1F2 4 3 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M (t ,0) 为其中一个切点,则 ( ) A. t ? 2 B. t ? 2 C. t ? 2 D. t 与 2 的大小关系不确定 E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的动 9.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, D1 点,且 A1F / / 平面 D1 AE ,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值 t 构成的集 B1 A
8.已知 F F2 分别是椭圆 1、 合是 ( )
1

C1

? ? ? 2 5 ? ? t ? 2 3? A. ?t ? ? ? 5 ?
C. t 2 ? t ? 2 3

?

?

? ? ? 2 5 ? ? t ? 2? B. ?t ? ? ? 5 ?
D. t 2 ? t ? 2 2

.F
B

E

?

?

D

C

A

10.定义 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a , b 间的“距离” ,若向量 a , b 满足:① | b |? 1 ;② a ? b ; ③对任意的 t ? R ,恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则( A. (A) a ? b B. (B) a ? (a ? b) ) D. (a ? b) ? (a ? b) C. b ? (a ? b)

第Ⅱ卷(非选择题部分
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

共 100 分)

( 11.设 sin

?

1 +?) = ,则 sin 2? ? ___________. 4 3

?x ? 1 ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值为 1(其中 ? ax ? by ? c ? 0 ?
c b ? 0) ,则 的值为_____________. b
13 . 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ?

bn 1 * , an ? bn ? 1 , bn ?1 ? ,则 b2014 ? ___ . 2 (n? N ) 1 ? an 2
1 | 若函数 . 2

2 14. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x ? [0,3) 时 , f ( x) ? | x ? 2 x ?

y ? f ( x) ? a 在区间 [?3, 4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是_________.
15.已知点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且 a 2 b2
·2 ·

垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取 值范围是________.
16. 设 O 是 ?ABC 外 接 圆 的 圆 心 , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 对 应 的 边 , 已 知 b ? 2b ? c ? 0 , 则
2 2

uuu r uuu r BC ? AO 的范围是_________________.

17.一个直径 AB 等于 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点 S ,使 AS ? AB , C 为半圆上的一个动点, M 、 N 分别为 A 在 SB 、 SC 上的射影。当三棱锥 S ? AMN 的体积最大时, SC 与平面 ABC 所成角的正弦值是________________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? sin(?x ?

x ? 1(? ? 0) 直线 y ? 3 与函数 2 f ( x) 图像相邻两交点的距离为 ? .(Ⅰ)求 ? 的值(II)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别 B 是 a 、b 、c ,若点 ( ,0) 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中心,且 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2 6 ) ? 2 cos 2
19. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,

?

?

PD ? DC , E 是 PC 的中点.
(I)证明: PA //平面 BDE ; (II)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ? 证明你的结论.

20. (本小题满分 14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? (Ⅰ)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (II)求证:数列 {bn } 为递增数列;

1 3 , a2 ? , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * ) ,数列 4 4 * {bn } 满足: b1 ? 0 , 3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn .

(Ⅲ)若当且仅当 n ? 3 时, Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 21. (本小题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? b ( a, b ? R ).
2

(Ⅰ)当 a ? ?6 时,函数 f ( x ) 定义域和值域都是 [1, ] ,求 b 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上与 x 轴有两个不同的交点,求 b ? ab ? b ? 1的取值范围.
2

b 2

x2 y2 ? (a ? .b ? 0) 直线 y ? x ? 6 与以原点为圆心,以 a2 b2 椭圆 C 的短半轴为半径的圆相切, F1 , F2 为其左右焦点, P 为椭圆 C 上的任意一点, ? F1 PF2 的重 心为 G ,内心为 I ,且 IG // F1 F2 .
22. (本小题满分 15 分)已知椭圆 C :
·3 ·

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 A 为椭圆 C 上的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M , N 两点,若 AM , AN 的斜 率 k1 , k 2 满足 k1 ? k 2 ? ?

1 ,求直线 MN 的方程. 2

2014 学年第一学期温州八校高三返校联考

理科数学试卷参考答案
1—10:AABACACADC

?
11—17:

7 2014 1 1 3 0?a? [? , 2) 9 ;4; 2015 ; 2 ; (1, 2) ; 4 ; 2

18.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin ?x cos

?
6

? cos ?x sin

?
6

?2

1 ? cos ?x ?1 2

3 3 ? sin ?x ? cos?x ? 3 sin(?x ? ) ,………………4 分 2 2 3 ? f ( x) 的最大值为 3 ,? f ( x) 的最小正周期为 ? ? ? ? 2 .………………7 分 ? ? ? (Ⅱ)由(1)知 f ( x ) ? 3 sin( 2 x ? ) ? 3 sin( B ? ) ? 0 ? B ? ,…………8 分 3 3 3 2 2 2 2 2 a ?c ?b a ?c ?9 1 ? cos B ? ? ? , ac ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 2ac ? 9 , ac ? 9 .……12 分 2ac 2ac 2 1 3 9 3 9 3 故 S?ABC ? ac sin B ? , ?ABC 面积的最大值为 .……14 分 ac ? 2 4 4 4 ?
19.解:法一: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 ,则 A(2, 0, 0) , P(0, 0, 2) , E (0,1,1) , B(2, 2,0) …………2 分

PA ? (2,0,?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2,2,0)
设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 BDE 的一个法向量, 则由

? ?n 1 ? D E? 0 ,得 ? y ? z ? 0 ? ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n 1 ? D B? 0

·4 ·

取 y ? ?1 ,得 n1 ? (1, ?1,1) .

………………4 分 …………5 分

∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,? PA ? n1,又PA ? 平面BDE,? PA / /平面BDE

(II)由(Ⅰ)知 n1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量,又 n 2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的 一个法向量. ………………7 分

设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由图可知 ? ?? n1 , n 2 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n 2 ??

n1 ? n 2 2 3 . ? ? | n1 | ? | n 2 | 3?2 3
3 . 3
………………10 分

故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为 (Ⅲ)∵ PB ? (2,2,?2), DE ? (0,1,1)

∴ PB DE ? 0 ? 2 ? 2 ? 0,? PB ? DE. 假设棱 PB 上存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ,设 PF ? ? PB(0 ? ? ? 1) , 则 PF ? (2?, 2?, ?2? ) , DF ? DP ? PF ? (2?, 2?, 2 ? 2? )
2 2 由 PF ? DF ? 0 得 4? ? 4? ? 2? (2 ? 2? ) ? 0

………………13 分

1 1 ? (0,1),此时 PF ? PB 3 3 1 即在棱 PB 上存在点 F , PF ? PB ,使得 PB ⊥平面 DEF . ………………14 分 3 法二: (I)连接 AC , AC 交 BD 于 O ,连接 OE .在 ?PAC 中, OE 为中位线,? OE // PA 又PA ? 平面BDE ,? PA //平面 BDE .………………4 分 (II) PD ⊥底面 ABCD ,? 平面 PDC ⊥底面 ABCD , CD 为交线, BC ⊥ CD PD = DC , E 是 PC 的中点? DE ⊥ PC ? 平面 BCE ⊥平面 PDC , PC 为交线, ? DE ⊥平面 PBC ,? DE ⊥ BE ? ?BEC 即为二面角 B ? DE ? C 的平面角.
∴? ? 设 PD ? DC ? a ,在 Rt ?BCE 中, CE ?

2 6 3 a, BC ? a, BE ? a,? cos ?BEC ? 2 2 3

故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为

3 .………………9 分 3

(Ⅲ)由(II)可知 DE ⊥平面 PBC ,所以 DE ⊥ PB ,所以在平面 PDE 内过 D 作 DF ⊥ PB ,连
·5 ·

EF,则 PB ⊥平面 DEF . 在 Rt ?PDB 中, PD ? a , BD ? 所以在棱 PB 上存在点 F , PF ? 分 20. 解: (Ⅰ)? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) .

2a , PB ? 3a , PF ?

3 a. 3
. ………………14

1 PB ,使得 PB ⊥平面 DEF 3

?{an } 是等差数列. 1 3 又? a1 ? , a 2 ? 4 4 1 1 2n ? 1 ? a n ? ? (n ? 1) ? ? ………………3 分 4 2 4 1 n ? bn ? bn ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) 3 3 1 n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? bn ? ? ? bn ? ? (bn ? ) 3 3 4 3 12 3 4 1 ? (bn ? a n ) . 3 1 又? b1 ? a1 ? b1 ? ? 0 4 1 1 ?{bn ? a n }是b1 ? 为首项,以 为公比的等比数列.………………6 分 4 3 1 1 n ?1 2n ? 1 (Ⅱ)? bn ? a n ? (b1 ? ) ? ( ) , a n ? . 4 3 4 1 1 2n ? 1 ? bn ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ? . 4 3 4 1 2 1 1 n?2 当 n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ? (b1 ? )( ) . 2 3 4 3 又 b1 ? 0 , ? bn ? bn?1 ? 0 . ?{bn } 是单调递增数列. ………………10 分
(Ⅲ)?当且仅当n ? 3 时, S n 取最小值.

?b3 ? 0 ?? , ?b4 ? 0

1 1 ?5 ? (b1 ? )( ) 2 ? 0 ? ?4 4 3 即? , ? 7 ? (b ? 1 )( 1 )3 ? 0 1 ? 4 3 ?4

? b1 ? (?47,?11) .………………14 分
2 21. 解: (Ⅰ)f ( x) ? x ? 6x ? b , 函数对称轴为 x ? 3 , 故 f ( x ) 在区间 [1,3] 单调递减, 在区间 (3, ??)

单调递增.
·6 ·

b ? f (1) ? ? b ? 2 ① 当 2 ? b ? 6 时, f ( x ) 在区间 [1, ] 上单调递减;故 ? ,无解; 2 ? f (b) ? 1 ? ? 2
② 当 6 ? b ? 10 时 , f ( x ) 在 区间 [1,3] 上 单 调递减 , (3, ] 上 单 调递 增, 且 f (1) ? f ( ) ,故

b 2

b 2

b ? ? f (1) ? 2 , b ? 10 ; ? ? ? f (3) ? 1 ? b b b ?f( )? ③当 b ? 10 时, f ( x ) 在区间 [1,3] 上单调递减,(3, ] 上单调递增, 且 f (1) ? f (2b) , 故? 2 2, 2 ? ? f (3) ? 1
无解. ? b 的值为 10.
2

………………8 分

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的两个零点为 x1 、 x2 ( 0 ? x1 , x2 ? 1) ,则 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) . 又 f (0) ? b ? x1 x2 ? 0 , f (1) ? 1 ? a ? b ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ,

?b2 ? ab ? b ? 1 ? b(1 ? a ? b) ? 1 ? f (0) f (1) ? 1 ,而
x1 ? 1 ? x1 2 x2 ? 1 ? x2 2 1 ) ( ) ? , 由 于 x1 ? x2 , 故 2 2 4 1 5 0? f ( f0 ? ) , (? 11 ? ) b 2 ? ab ? b ? 1 ? . ………………15 分 4 4 x y 22.解: (Ⅰ)设 P( x0 , y0 ) , I ( xI , yI ) ,则 G ( 0 , 0 ) . ………………2 分 3 3 y0 又 IG // F1 F2 , yI ? , | F1F2 |? 2c , 3 |y | 1 1 ? S?F1PF2 ? | F1 F2 || y0 |? (| F1 F2 | ? | PF1 | ? | PF2 |) 0 .………………4 分 2 2 3 2a ? 2c ? 2c ? ,故 a ? 2c . 3 | 6| 又直线 y ? x ? 6 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴为半径的圆相切, b ? ? 3 ………6 1?1 0 ? f (0) f (1) ? x1 x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (
分,

x2 y 2 ? ? 1 .………………7 分 4 3 (Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,显然 k1 ? k2 ? 0 不合题意;……………8 分 则直线 l 的斜率存在.
? a ? 2 , c ? 1 .?
·7 ·

设直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ,直线 l 和椭圆交于 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 将 y ? k ( x ?1)代入3x2 ? 4 y 2 ? 12中得到 :

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 2 依题意: ? ? 9k ? 9 ? 0得k ? 1或k ? ?1 ………………10 分 ? 8k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 3 ? 4k 2 由韦达定理可知: ? 2 ? x x ? 4k ? 12 ? 1 1 3 ? 4k 2 ? y1 y2 x ? 1 x2 ? 1 又 k AM ? k AN ? ? ? k( 1 ? ) x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 1 1 ? k[2 ? 3( ? )] x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? x2 ? 4 1 1 而 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

8k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) 2k 2 ? 1 ? 2 ? 4k ? 12 ? 16k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) 3k 2
2k 2 ? 1 1 1 ) ? ? ? ? ………………14 分 从而 k AM ? k AN ? k (2 ? 3 ? 2 k 2 3k 求得 k ? 2 符合 k ? 1 . 故所求直线 MN 的方程为: y ? 2( x ? 1) .………………15 分

·8 ·


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