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高中数学必修3教学设计:3.2.1《古典概型》教案(新人教A版必修3)

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§3.2.1 古典概型
一、教材分析
【学科】:数学 【教材版本】: 普通高中课程标准实验教科书——数学必修 3 [人教版] 【课题名称】:古典概型 (第三章第 130 页) 【教学任务分析】: 本节课是高中数学 3(必修)第三章概率的第二 节古典概型的第一课时,是在 随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的 数学

模型(由于它在概率论发展初期是主要的研究对象,许多概率的最初结果也是由它得到的,所 以称它为古典概型) ,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些 事件的概率,有利于解释生活中的一些问题。 【教学重点】: 理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 【教学难点】:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件 包含的基本事 件的个数和试验中基本事件的总 数。 【教学方法与理念】:与学生共同探讨,应用数学解决现实问题。

二、教学目标定位
【知识与 技能】 :(1)理解古典概型及其概率计算公式, (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 【过程与方法】 : 根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征: 试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总 结出古典概型 的 概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概 率的计算问题。 【情感态度与价值观】 :概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活 的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让 学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人 合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

三、教法及学法分析
【教法分析】 :根据本节课的特点,采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法,通过提出问题、思 考问题、解决问题等教学过程,观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式,再通过具体问 题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学 习活动中来。 【学法分析】 :学生在教师创设的问题情景中,通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝 试相结合,体现了学生的主体地位,培养了学生由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形 成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神。

四、教学策略
1 通过抛一枚硬币和一枚骰子的试验给出基本 事件的概念; 2 通过两个试验和例一的分析得出古典概型的两个特点和计算公式; 3 例题具有一定实际背景,激发学生的求知欲,每道例题的计算量不大,用列举法都可以数出 基本事件的总个数; 4 在每道例题后都有相应的“探究”或“思考” ,提出问题,引导学生进一步学习,以开拓学生 思路。 在整个教学过程中,一直要学生的思考为中心,把握古典概型的特点,在解决概率的计算上, 教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有 学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施,达到了教师的教学目标。
[来源:学科网]

五、教学过程
项 目 内 容 师生活动 理论依据或意图



[来

源:学科网]

提 出 问 题 引 入 新 课

教 学 过 程 分 析

在课前,教师布置任务,以数学小组为单位, 完成下面两个模拟试验: 试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记 录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每 个数学小组至少完成 20 次(最好是整十数) ,最 后由科代表汇总; 试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记 录“1 点” 、 “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“6 点” 的次数, 要求每个数学小组至少完成 60 次 (最 好是整十数) ,最后由科代表汇总。 在课上,学生展示模拟试验的操作方法和试 验结果,并与同学交流活动感受。 教师最后汇总方法、结果和感受,并提出问 题? 1. 用模拟试验的方法来求某一随机事件的概 率好不好?为什么? 不好,要求出某一随机事件的概率,需要进 行大量的试验,并且求出来的结果是频率,而不 是概率。 2.根据以前的学习,上述两个模拟试验的每 个结果之间都有什么特点?
[来源:学&科&网 Z&X&X&K] [来源:Z|xx|k.Com]

学生展示 模拟试验 的操作方 法和试验 结果, 并与 同学交流 活动感受, 教师最后 汇总方法、 结果和感 受, 并提出 问题。

通过课前的模拟实验的 展示,让学生感受与他 人合作的重要性,培养 学生运用数学语言的能 力。随着新问题的提出, 激发了学生的求知欲 望,通过观察对比,培 养了学生发现问题的能 力。

]



在试验一中随机事件只有两个,即“正面朝 上”和“反面朝上” ,并且他们都是互斥的,由于 硬币质地是均匀的,因此出现两种随机事件的可 能性相等,即它们的概率都是

1 ; 2
学生观察 对比得出 两个模拟 试验的相 同点和不 同点, 教师 给出基本 事件的概 念, 并对相 关特点加 以说明, 加 深新概念 的理解。 让学生从问题的相同点 和不同点中找出研究对 象的对立统一面,这能 培养学生分析问题的能 力,同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物 主义观点来分析问题的 一种方法。 教师的注解可以使学生 更好的把握问题的关 键。

思 考 交 流 形 成 概 念

在试验二中随机事件有六个,即“1 点” 、 “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“6 点” ,并且他 们都是互斥的,由于骰子质地是均匀的,因此出 现六种随机事件的可能性相等,即它们的概率都 是

1 。 6

我们把上述试验中的随机事件称为基本事 件,它是试验的每一个可能结果。 基本事件有如下的两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示 成基本事件的和。 特点(2)的理解:在试验一中,必然事件由 基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成;在 试验二中,随机事件“出现偶数点”可以由基本 事件“2 点” 、 “4 点”和“6 点”共同组成。

项 目





师生活动

理论依据或意图

例 1 从字母 a, b, c, d 中任意取出两个不同字母的 试验中,有哪些基本事件? 分析:为了解基本事件,我们可以按照字典排序 的顺序,把所有可能的结果都列出来。利用树状 图可以将它们之间的关系列出来。 我们一般用列举法列出所有基本事件的结 果,画树状图是列举法的基本方法,一般分布完 成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。
b c b d c d a c d

先让学生 尝试着列 出所有的 基本事件, 教师再讲 解用树状 图列举问 题的优点。

二 教 思

将数形结合和分类讨论 的思想渗透到具体问题 中来。由于没有学习排 列组合,因此用列举法 列举基本事件的个数, 不仅能让学生直观的感 受到对象的总数 ,而且 还能使学生在列举的时 候作到不重不漏。解决 了求古典概型中基本事 件总数这一难点。

(树状图) 解:所求的基本事件共有 6 个:

A ? {a, b} , B ? {a, c} , C ? {a, d } ,
学 考

D ? {b, c} , E ? {b, d } , F ? {c, d }
观察对比, 发现两个模拟试验和例 1 的共同特点: 让 学 生 先 试验一中所有可能出现的基本事件 有“正面 观察对比, 朝上”和“反面朝上”2 个,并且每个基本事件出 找 出 两 个 1 模拟试验 现的可能性相等,都是 ; 和例 1 的 2 试验二中所有可能出现的基本事件有 “1 点” 、 共同特点, “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“6 点”6 个, 再 概 括 总 1 结得到的 并且每个基本事件出现的可能性相等,都是 ; 结论, 教师 6 例 1 中所有可能出现的基本事件有 “A” “B” 、 、 最后补充 “C” 、 “D” 、 “E”和“F”6 个,并且每个基本事 说明。 件出现 的可能性相等,都是 培养运用从具体到抽 象、从特殊到一般的辩 证唯物主义观点分析问 题的能力,充分体现了 数学的化归思想。启发 诱导的同时,训练了学 生观察和概括归纳的能 力。通过用表格列出相 同和不同点,能让学生 很好的理解古典概型。 从而突出了古典概型这 一重点。

交 过 流 程 形





1 ; 6

概 析 念

经概括总结后得到: ( 1 )试验中所有可能出现的基本事件只有有限 个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等。 (等可能 性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率 概型,简称古典概型。 思考交流: (1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果 该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这 是古典概型吗?为什么?

学生互相 交流, 回答 补充, 教师 归纳。

两个问题的设计是为了 让学生更加准确的把握 古典概型的两个特点。 突破了如何判断一个试 验是否是古典概型这一 教学难点。

项 目





师生活动

理论依据或意图

思 考 交 流 形 成 概 念

答:不是古典概型,因为试验的所有可能结 果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是 无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相 同” ,但这个试验不满足古典概型的第一个条件。 (2) 如图, 某同学随机地向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命中 9 环……命中 5 环和不中环。你认为这是古典概型 吗?为什么? 答:不是古典概型,因为试验的所有可能结果只 有 7 个,而命中 10 环、命中 9 环……命中 5 环和 不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型 的第二个条件。 问题思考:在古典概型下,基本事件出现的概率 是多少?随机事件出现的概率如何计算? 分析: 实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概 率相等,即 P( “正面朝上” )=P( “反面朝上” ) 由概率的加法公式,得 P( “正面朝上” )+P( “反面朝上” )=P(必然事 件)=1 因此 P( “正面朝上” )=P( “反面朝上” )= 教师提出 问题, 引导 学生类比 分析两个 模拟试验 和例 1 的 概率, 先通 过用概率 加法公式 求出随机 事件的概 率, 再对比 概率结果, 发现其中 的联系。 鼓励学生运用观察类比 和从具体到抽象、从特 殊到一般的辩证唯物主 义方法来分析问题,同 时让学生感受数学化归 思想的优越性和这一做 法的合理性,突出了古 典概型的概率计算公式 这一重点。









1 2

观 程 察 分 分 析 推 析 导 方 程



1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 P (“出现正面朝上”)= = 2 基本事件的总数

试验二中,出现各个点的概率相等,即 P( “1 点” )=P( “2 点” )=P( “3 点” ) =P( “4 点” )=P( “5 点” )=P( “6 点” ) 反复利用概率的加法公式,我们有 P( “1 点” )+P( “2 点” )+P( “3 点” )+P( “4 点” )+P( “5 点” )+P( “6 点” )=P(必然事件) =1 所以 P( “1 点” )=P( “2 点” )=P( “3 点” ) =P( “4 点” )=P( “5 点” )=P( “6 点” )=

1 6

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中 任何一个事件的概率,例如, P( “出现偶数点” )=P( “2 点” )+P( “4 点” ) +P( “6 点” )= 即

1 1 1 3 1 + + = = 6 6 6 6 2

3 “出现偶数点”所包含的基本事件的个数 P (“出现偶数点”)= = 6 基本事件的总数

根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典 概型计算任何事件 的概率计算公式为:
P (A)= A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数

项 目





师生活动

理论依据或意图

三 观 察 分 析 推 导 方 程

提问: (1)在例 1 的实验中,出 现字母“d”的概率是 多少? 出现字母“d”的概率为:
“出现字母d”所包含的基本事件的个数 3 1 P (“出现字母d”)= = = 基本事件的总数 6 2



提问: (2)在使用古典概型的概率公式时,应该注意什 么? 归纳: 在使用古典概型的概率公式时,应该注意: (1)要判断该概率模型是不是古典概型; (2) 要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和 试验中基本事件的总数。 除了画树状图,还有什么方 法求基本事件的 个数呢? 例 2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是 从 A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案。 如果考生掌握了考差的内容,他可以选择唯一正 确的答案。假设考生不会做,他随机的 选择一个 答案,问他答对的概率是多少? 分析: 解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况 下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了 部分考察内容,这都不满足古典概型的第 2 个条 件——等可能性,因此,只有在假定考生不会做, 随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古 典概型。 解: 这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有 4 个:选择 A、选择 B、选择 C、选择 D,即基本 事件共有 4 个,考生随机地选择一个答案是选择 A,B,C,D 的可能性是相等的。从而由古典概 型的概率计算公式得:
“答对”所包含的基本事件的个数 1 P (“答对”)= = =0.25 基本事件的总数 4

教师提问, 学生回答, 加深对古 典概型的 概率计算 公式的理 解。

深化对古典概型的概率 计算公式的理解,也抓 住了解决古典概型的概 率计算的关键。



过 四



例 题



分 析



推 广 应 用

让学生明确决概率的计 学 生 先 思 算问题的关键是:先要 考再回答, 判断该概率模型是不是 教 师 对 学 古典概型,再要找出随 生 没 有 注 机事件 A 包含的基本事 意 到 的 关 件的个数和试验中基本 键 点 加 以 事件的总数。 说明。 巩固学生对已学知识的 掌握。

课后思考: (1)在标准化考试中既有单选题又有多选题, 多选题是从 A,B,C,D 四个选项 中选出所有正 确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道 正确答案,多选题更难猜对,这是为 什么? (2)假设有 20 道单选题, 如果有一个考生答对 了 17 道题,他是随机选择的可能性大,还是他掌 握了一定知识的可能性大? 内 容 师生活动 理论依据或意图

项 目



例 题 分

例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2) 其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (1)掷一个骰子的结果有 6 种,我们把两个 骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的结 果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对,我们 用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰 子的一个结果(如表) ,其中第一个数表示 1 号骰 子的结果,第二个数表示 2 号骰子的结果。 (可由 列 表法得到)
1号骰子 2号骰子

1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)



1

析 推

2 3 4 5 6



广 应 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种。 (2)在上面的结果中,向上的点数之和为 5 的结 果有 4 种,分别为: (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) (3)由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上 点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种,因 此,由古典概型的概率计算公式可得
P (A)= A所包含的基本事件的个数 4 1 = = 基本事件的总数 36 9

先给出问 题, 再让学 生完成, 然 后引导学 生分析问 题, 发现解 答中存在 的问题。 引导 学生 用列表来 列举试验 中的基本 事件的总 数。





利用列表数形结合和分 类讨论,既能形象直观 地列出基本事件的总 数,又能做到列举的不 重不漏。深化巩固对古 典概型及其概率计算公 式的理解,和用列举法 来计算一些随机事件所 含基本事件的个数及事 件发生的概率。 培养学生运用数形结合 的思想,提高发现问题、 分析问题、解决问题的 能力,增强学生数学思 维情趣,形成学习数学 知识的积极态度。



分 五 析 探 究 思 考 巩 固 深 化

问题思考:为什么要把两个骰子标上记号?如果 不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因 吗? 如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的 结果将没有区别。这时,所有可能的结果将是: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6)共有 21 种,和是 5 的结 果有 2 个,它们是(1,4) (2,3) ,所求的概率
A所包含的基本事件的个数 2 为P (A)= = 基本事件的总数 21

要求学生 观察对比 两种结果, 找出问题 产生的原 因。

这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的 要求了。 可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的 点,感受第二种方法构造的基本事件不是等可能 事件,另外还可以利用 Excel 展示第二种方法中 构造的 21 个基本事件不是等可能事件。 从而加深 印象,巩固知识。 内 容 师生活动

通过观察对比,发现两 种结果不同的根本原因 是——研究的问题是否 满足古典概型,从而再 次突出了古典概型这一 教学重点,体现了学生 的主体地位,逐渐养成 自主探究能力。

项 目

理论依据或意图



六 总 结 概 括 加 深 理 解





1.我们将具有 ( 1 )试验中所有可能出现的基本事件只有有限 个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等。 (等可能 性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简 称古典概型。 2.古典概型计算任何事件的概 率计算公式
P (A)= A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数

学生小结 归纳, 不足 的地方老 师补充说 明。



3. 求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实 验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树 状图和列表) ,应做到不重不漏。

使学生对本节课的 知识有一个系统全面的 认识,并把学过的相关 知识有机地串联起来, 便于记忆和应用,也进 一步升华了这节课所要 表达的本质思想,让学 生的认知更上一层。

分 析

七 布 置 作 业

P135

练习 1、2 题

进一步让学生掌握古典 学 生 课 后 概型及其概率公式,并 自主完成。 能够学以致用,加深对 本节课的理解。

六、板书设计:

七、设计说明:
本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概 念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解;再通过学生观察类比推导出古典 概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一 般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施,达 到了教师的教学目标。 古典概性的教学应该让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结 果出现的等可能性。让学生初步会把一些实际问题化为古典概型。教学中不把重点放在“如何计算” 上,应着重于概念的理解和从简单的试验推出公式的计算过程。让学生理解古典概型的定义及概率 的计算公式。 例 1 的目的是训练学生用列举法表示一个随机试验的全部基本事件。 例 2 中,讨论这个问题 什么情况下可以看成古典概型是此题的关键。 例 3 的目的试通过此题的教学要使学生体会到,使用公式计算时要验证第二个条件,否则计算 是错误的。 限于学校目前条件,如果结合多媒体课件教学效果更好!


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