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【优化指导】高中数学 3-2-1课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第三章

3.2

θ θ 1.已知 是第四象限角,且 cos = 2 2 A.- 2 1+x

1+x ,则 sin θ 的值为(

x

)

x x

B. D.

2 1+x

x
2 -1-x

2 -1-x C.- θ θ 解析:∵ 是第四象限角,由 cos = 2 2 则 sin θ =- 2 -1 ,

x
1+x ,

x

x

∴sin θ =2sin 答案:C

θ θ 2 -1-x cos =- . 2 2 x

1 2.下列各式中,值为 的是( 2 A.sin 67°30′cos 67°30′ C. tan 30° 2 1-tan 30°

) B.cos D.
2

π 2π -sin 6 6

1+cos 60° 2

1 2 π 1 1 2tan 30° 解析:A 中,原式= sin 135°= ;B 中,原式=cos = ;C 中,原式= 2 2 4 3 2 21-tan 30° 1 3 3 = tan 60°= ;D 中, 原式=cos 30°= ,故选 B. 2 2 2 答案:B cos 2α 2 3.若 =- ,则 cos α +sin α 的值为( π? 2 ? sin?α - ? 4? ? A.- C. 1 2
2

)

7 2

1 B.- 2 D. 7 2
2

cos 2α 2 cos α -sin α 解析:则 =- 得 π 2 2 ? ? sin?α - ? α -cos α 4? ? 2

-1-

=-

2 1 ,cos α +sin α = . 2 2

答案:C 4 ? π ? 4.已知 x∈?- ,0?,cos x= ,则 tan 2x=______. 5 ? 2 ? 4 3 ? π ? 解析:∵x∈?- ,0?,cos x= ,∴sin x=- , 5 5 ? 2 ? 3 ∴tan x=- . 4

? 3? 2×?- ? 2tan x 24 ? 4? ∴tan 2x= =- . 2 = 1-tan x 3 7 ? ?2 1-?- ? ? 4?
24 答案:- 7 π? 7 2 7 ? 5.sin?α - ?= ,co s 2α = ,则 sin α 的值是______. 4 ? 10 25 ? π? 7 2 2 7 2 ? 解析:∵sin?α - ?= ,∴ (sin α -cos α )= , 4 ? 10 2 10 ? 7 即 sin α -cos α = . 5 7 7 2 2 又 cos 2α = ,∴cos α -sin α = , 25 25 7 即(cos α +sin α )(cos α -sin α )= . 25 7 7 7 ∵si n α -cos α = ,∴- (cos α +sin α )= , 5 5 25 1 即 sin α +cos α =- . 5 3 联立①②,解得,sin α = . 5 3 答案: 5 1+cos θ +sin θ 1-cos θ +sin θ 6.化简 + . 1-cos θ +sin θ 1+cos θ +sin θ θ θ 2θ 2cos +2sin cos 2 2 2 解:原式= θ θ 2θ 2sin +2sin cos 2 2 2 ② ①

-2-

θ θ θ +2sin cos 2 2 2 + θ θ θ 2 2cos +2sin cos 2 2 2 2sin
2

θ ? θ ? θ ? θ θ ? θ 2cos ?cos +sin ? 2sin ?sin +cos ? 2 2? 2 2? 2? 2? = + θ θ θ θ θ ? θ ? ? ? 2sin ?sin +cos ? 2cos ?cos +sin ? 2 2? 2 2? 2? 2? θ θ 2θ 2θ cos sin cos +sin 2 2 2 2 = + = θ θ θ θ sin cos sin cos 2 2 2 2 = 1 2 = . 1 sin θ sin θ 2

(时间:30 分钟 满分:60 分) 知识点及角度 三角函数式的化简问题 三角函数式的求值问题 三角恒等式的证明 一、选择 题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知 cos A. 3 3 3 3 α 1 α = ,540°<α <720°,则 sin 等于( 2 3 4 B. 6 3 6 3 ) 难易度及题号 基础 3 1、5、7 3 中档 8 2、4、6 4 稍难 10 9

C. -

D.-

α 解析:∵540°<α <720°,∴270°< <360°, 2 α 1-cos 2 3 = . 2 3

α α 135°< <180°,∴sin = 4 4 答案:A

θ 2.已知 2sin θ =1+cos θ ,则 tan 的值为( 2

)

-3-

A.2 1 C. 或不存在 2

B.

1 2

D.2 或 0

θ sin θ 1 解析:若 1+cos θ ≠0,则 tan = = . 2 1+cos θ 2 若 1+cos θ =0,即 cos θ =-1, θ ∴θ =2kx+π (k∈Z).∴tan 不存在. 2 答案:C 3.若 α ∈(3π ,4π ),则 1+cos α - 2 1-cos α 等于( 2 )

?α π ? A.- 2sin? + ? ?2 4? ?α π ? C.- 2sin ? - ? ?2 4?
解析:原式= cos
2

B. 2sin? D. 2sin? α - 2 sin
2

?α +π ? ? ?2 4? ?α -π ? ? ?2 4?

α 2

α α =|cos |-|sin |, 2 2 α ?3 ? 又 α ∈(3 π ,4π ),∴ ∈? π ,2π ? 2 ?2 ? α α ?α π ? ∴原式=cos +sin = 2sin? + ?. 2 2 ?2 4? 答案:B 4.在△ABC 中,若 sin Bsin C=cos ,则此三角形为( 2 A.等边三角形 C.直角三角形 解析:∵sin Bsin C=cos , 2 1+cos A ∴sin Bsin C= , 2 ∴2sin Bsin C=1+cos [π -(B+C)] ∴2sin Bsin C=1-cos (B+C). ∴cos(B-C)=1.又角 B、角 C 为△ABC 的内角, ∴B-C=0,∴B=C.故选 B. 答案:B
-42 2

A

)

B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

A

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) tan α -1 1 5.若 =- ,则 sin 2α =________. tan α +1 3 1 解析:由已知得 tan α = , 2 2sin α cos α 2tan α 4 ∴sin 2α = 2 = = . 2 2 sin α +cos α tan α +1 5 4 答案: 5 6.?sin

? ?

5π π ? 5π π -sin ? sin +sin ? 的值是_____ _. ? ? 12 12?? 12 12? ?

π ? ? ?π π ? ? ?π π ? 解析:原式=?sin? - ?-sin ?·?sin? - ?+ 12? ? ? 2 12? ? ? 2 12? π π ?? π π? ? π sin ? =?cos -sin ??cos +sin ? ? 12? ? 12 12?? 12 12? =cos
2

π π 3 2π -sin =cos = . 12 12 6 2 3 2

答案:

1 10 7.已知 α 、β 为锐角,且 tan α = , sin β = , 7 10 则 α +2β 的值是________. 解析:由 sin β = 5π ∴0<α +2β < . 6 1 ∵tan β = , 3 3 ∴tan 2β = = , 1 4 1- 9 1 3 + 7 4 π ∴tan(α +2β )= =1,∴α +2β = . 1 3 4 1- × 7 4 π 答案: 4 三、解答题
-5-

10 1 π < ,得 0<β < . 10 2 6

2 3

8.(10 分)设 α ∈? 1 1 + 2 2 解:∵α ∈?

?3π ,2π ?,化简: ? ? 2 ?

1 1 + cos 2α . 2 2

?3π ,2π ?, ? ? 2 ?

α ∴cos α >0,cos <0. 2 故原式= = cos
2

1 1 2 + cos α = 2 2

1 1 + cos α 2 2

α α α =|cos |=-cos . 2 2 2

? π ? ?π ? 1 ?π ? 9.(10 分)已知 sin?x+ ?sin? -x?= ,x∈? ,π ?,求 sin 4x 的值. 4? ?4 ? ? 6 ?2 ? ? π ? ?π ? 解:∵sin?x+ ?sin? -x? 4? ?4 ? ? ?? ?π ? ?π ?π =sin? +x?cos? -? -x?? ?? ?4 ? ?2 ?4 ? π ? ?π ? =sin?x+ ?cos? +x? 4? ?4 ? ?
π? 1 ? = sin?2x+ ? 2? 2 ? 1 1 1 = cos 2x= ,∴cos 2x= . 2 6 3

?π ? ∵x∈? ,π ?,∴2x∈(π ,2π ), ?2 ?
2 ∴sin 2x=- 2. 3 4 2 ∴sin 4x=2sin 2x·cos 2x=- . 9 10.(12 分)已知函数 f(x)=2sin(π -x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间 ?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 2?
解:(1)∵f(x)=2sin(π -x)cos x=2sin xcos x =sin 2x,∴函数 f(x)的最小正周期为 π . π π π (2)由- ≤x≤ 得- ≤2x≤π , 6 2 3

-6-

∴-

3 ≤sin 2x≤1, 2

? π π? ∴f(x)在区间?- , ?上的最大值为 1, ? 6 2?
最小值为- 3 . 2

-7-


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